小结国家优质课一等奖

知识改变命运，学习成就未来

第二章

平面向量全章小结

（一）学习目标

1.进一步理解向量的有关概念; 2.掌握向量的线性运算,掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义. 3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用. 4.掌握平面向量的数量积,并会应用其判断两个平面向量的垂直关系。

5.能够用向量解决一些具体问题,如平面几何中的一些问题和物理中的一些问题. （二）重点难点

1.重点是让学生理解向量的相关概念和向量的运算

2. 难点是如何向量方法解决一些问题. （三）教学过程

教教学内容

学环节

全章知识结构介绍

师生互动

让学生根据表根中的各项要,回忆相关的概念

概念的让学上设计意图

让学生从整体上对本章内容有一个宏观的了解

体现概念的重

向量定义： 既有大小又有方向的量叫向量。

重要概念： （1）零向量：长度为0的向量，记作0. （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反

欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

邮箱：zxjkw@163.com 第 1 页

共 10 页

知识改变命运，学习成就未来

的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：长度相等且方向相反的向量. 自要己性

总结回答老师不充指导

老师提出问题学生回答

让学生自己先解决问题,让后同学进行回答,教师理解向量的坐标意义

向量的表示

几何表示 : 有向线段

字母表示 : a, AB 坐标表示 : (x，y) 若 A(x1,y1), B(x2,y2) 则 AB = (x2 － x1 , y2 － y1)

向量的模（长度）

1. 设 a = ( x , y ),则

ax2y22. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别

为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则

aABx1x22y1y22

已知向量a=（5，m）的长度是13，求m. 答案： m = ± 12

欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

邮箱：zxjkw@163.com 第 2 页

共 10 页

知识改变命运，学习成就未来

进行指导

复

习

让学生自己先解决问题,让后同学进行回

答,教师进行指导

说明:给出这组题的目的是,在复习向量的加减法,坐标运算和其相关的几何表示都要掌握平面向量复习1.向量的加法运算三角形法则AB+BC=ACAC平行四边形法则BCOA+OB=OCBOA重要结论：AB+BC+CA=0坐标运算:设a = (x1, y1), b = (x2, y2)则a + b =( x1 + x2 , y1 + y2 )平面向量复习2.向量的减法运算1）减法法则：OA－OB =BA2）坐标运算:若a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )则a －b=(x1 －x2 , y1 －y2)3.加法减法运算率1）交换律：2）结合律：

BOAa+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

邮箱：zxjkw@163.com 第 3 页

共 10 页

知识改变命运，学习成就未来

,并且要会结合在一起使用.

平面向量复习例1 化简（1）（AB + MB）+ BO + OM分析（2）AB + DA + BD －BC－CA利用加法减法运算法则，借助结论AB=AP+PB；AB=OB－OA；AB+BC+CA=0进行变形.解：原式=AB +（BO + OM + MB）（1）= AB + 0= AB原式=AB + BD + DA －（BC + CA）（2）例1

= 0－BA = AB说明:让学生首要注意一些数据表明的一些几何信息以及平面向量复习练习2 如图，正六边形ABCDEF中，AB=a、BC=b、AF=c，用a、b、c表示向量AD、BE、BF、FC. 答案：AD=2 bAcFBE=2 cBF= c－aFC=2 a思考：a、b、c 有何关系？

aBbCD0Eb =a + c欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

邮箱：zxjkw@163.com 第 4 页

共 10 页

知识改变命运，学习成就未来

向量的代数式也可以告诉我们一些相关的几何信息,从而突出代数和几何关系. 平面向量小复习练习3 （课本P149 复习参考题五A组7）已知点A（2，－1）、B（－1，3）、C（－2，－5）求（1）AB、AC的坐标；（2）AB+AC的坐标；（3）AB－AC的坐标.答案：（1）AB=（－3，4），AC =（－4，－4 ）（2）AB+AC=（－7，0 ）（3）AB－AC= （1，8）

平面向量复习实数λ与向量a 的积定义：λa是一个向量.它的长度|λa| =|λ| |a|；它的方向(1) 当λ≥0时,λa 的方向与a方向相同；(2) 当λ＜0时,λa 的方向与a方向相反.其实质就是向量的伸长或缩短！坐标运算：若a= (x, y), 则λa =λ (x, y)=(λx, λy)

欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

邮箱：zxjkw@163.com 第 5 页

共 10 页

知识改变命运，学习成就未来

平面向量复***行（共线）的充要条件向量表示：a∥ba=λb （λ∈R且b≠0）坐标表示：设a = ( x1, y1 ) , b = ( x2, y2 )，则a∥bx1y2－x2y1=0

例3.(向量基本定理)

会让学生在给出基底的情况下表示其它向量. 平面向量复***面向量的基本定理设e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任何一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2使a=λ1 e1+λ2e2不共线的向量e1和e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底向量相等的充要条件λ1 e1+μ1 e2=λ2 e1+μ2 e2λ1= λ2μ1=μ2

欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

邮箱：zxjkw@163.com 第 6 页

共 10 页

知识改变命运，学习成就未来

数量积1、平面向量数量积的定义：ab|a||b|cos2、数量积的坐标运算abx1x2y1y23、运算律:（）1abba（2）（a）b（ab）a（b）（3）（ab）cacbc

4、向量垂直的判定向量表示（）1abab0坐标表示（2）abx1x2y1y205、向量的模（）1aa|a|2，|a|a（2）设a（x，y），则|a|2x2y222（y1y2）（3）若（Ax1，y1），（Bx2，y2），则|AB|（x1x2）6、向量的夹角cosab|a||b|θ∈[0°, 180°]cosθ=x1x2y1y222x1y122x2y2

7、线段的定比分点P点P（x，y）分有向线段（，y1），P（）1P2所成定比为，其中P1x12x2，y2PP2即P1P定比分点P的坐标中点坐标x1x2x1yy1y21x1x2x2当1时，yy1y22

例4.(向量的应用) 教师这部欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

邮箱：zxjkw@163.com 第 7 页

共 10 页

知识改变命运，学习成就未来

要对平面向量复习学例2 已知a=(1, 2), b=(－3, 2), 当k为何值时, 生ka+b与a－3b平行? 平行时它们是同向还是反向?进先求出向量ka+b 和a－3b的坐标，再根据向量行分析平行充要条件的坐标表示,得到关于k方程, 解出k, 适最后它们的判断方向.当解: ka+b=k(1, 2)+(－3, 2)=(k－3,2k+2)的提a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)=(10, －4)示－4(k－3)－10(2k+2)=0(ka+b)∥(a－3b). 11041,=－(a－3b)K=－3∵ka+b=333分问题的对学生的要求较高,让学生会应用向量方法解决相关问题,而这包括用向量和坐标方法. ∴它们反向例2

思考: 此题还有没有其它解法?平面向量小复习n为何值时, 向量a=（n，1）与b=(4,n)共线且方向相同?答案：n= 2思考: 何时n=±2 ?

欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

邮箱：zxjkw@163.com 第 8 页

共 10 页

知识改变命运，学习成就未来

平面向量复习例3分析设AB=2(a+5b)，BC= 2a+ 8b，CD=3(ab)，求证：A、B、D 三点共线。要证A、B、D三点共线，可证AB=λBD关键是找到λ解：∵BD=BC+CD= 2a+ 8b+ 3(ab)=a+5b∴AB=2 BDAB∥BD且AB与BD有公共点B∴A、B、D 三点共线例3

平面向量小复习已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－10）求λ和μ，使c =λa+μb.答案：λ=－1，μ= 0

归本节主要复习向量的概念和相关的运算, 纳如何用向量来解决问题

小结

欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

邮箱：zxjkw@163.com 第 9 页

共 10 页

知识改变命运，学习成就未来

布课本126页习题. 置作业

学

生自主完成

（四）教学资源建议

教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规

（五）教学方法与学习指导策略建议

向量是沟通代数,几何,三角函数的工具,掌握向量的解题技巧,方法显得非常重要.向量的解题方法有向量法和坐标法.而要熟练应用这些方法,学生应该对相应的基本概念比较清楚,因此教师在复习时,应该在引导学生得到结果基础之上,让同学理解相关的意义和了解其实际背景.应该把几何的直观性和向量的运算有机的结合在一起.运算和运算律是向量的灵魂,是连接数与形的纽带,教师应该突出这一点.因此,教师在讲授时, （1）关注解题方法产生的思维过程

引导学生探究如何将把问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的的思维过程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力. （2）强化学生的应用意识

一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生活现象的习惯和意识，强化学生的应用意识；二是为学生提供充足的动手操作的机会

，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成，让学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力. （3）引导学生探究解题规律

指导学生做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识. 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

邮箱：zxjkw@163.com 第 10 页

共 10 页