小结教案和课堂实录

《平面向量》全章复习与巩固

【学习目标】

1.平面向量的实际背景及基本概念

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义及其几何表示；

2.向量的线性运算

（1）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；

（2）通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；

（3）了解向量的线性运算性质及其几何意义. 3.平面向量的基本定理及坐标表示

（1）了解平面向量的基本定理及其意义；

（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；

（3）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；

（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 4.平面向量的数量积

（1）通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力. 【知识网络】

【要点梳理】

要点一：向量的有关概念

1.向量：

既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法：

(1)字母表示法：如a,b,c,等. (2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如AB，CD等. (3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA的起点O为在坐标原点，终点A坐标为x,y，则x,y称为OA的坐标，记为OA=x,y. 3.相等向量：

长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量a与b相等，记为ab. 4.零向量：

长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. 5.单位向量：

长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量：

方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：0与任一向量共线.注：共线向量又称为平行向量. 7.相反向量： 长度相等且方向相反的向量.

要点二、向量的运算

1.运算定义

运 算

加法与减法

图形语言

符号语言

坐标语言

OA+OB=OC

OBOA=AB

记OA=(x1，y1)，OB=(x2，y2) 则OAOB=(x1+x2，y1+y2) OBOA=(x2-x1，y2-y1) OA+AB=OB

实数与向量的乘积



ABa

记a=(x，y) 则ax，y

记a(x1,y1),b(x2,y2)

则ab=x1x2+y1y2



两个向量的数量积

2.运算律

加法：

R

ababcosa,b

①abba(交换律)； ②(ab)ca(bc)(结合律) 实数与向量的乘积：

①(ab)ab；

②()aaa；③(a)()a

两个向量的数量积：

①a·b=b·a；

②(a)·b=a·(b)=(a·b)；③(a+b)·c=a·c+b·c

3.运算性质及重要结论

(1)平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2，称1e12e2为e1,e2的线性组合. ①其中e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底；

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量e1,e2的方向分解为两个向量的和，且这种分解是唯一的. ③当基底e1,e2是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 

向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，

即若A(x，y)，则OA=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=(x2-x1，y2-y1) (2)两个向量平行的充要条件

符号语言：a//bab(b0)

坐标语言为：设非零向量ax1,y1,bx2,y2，则a∥b(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0. (3)两个向量垂直的充要条件

符号语言：abab0

坐标语言：设非零向量ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y20

(4)两个向量数量积的重要性质：

①a|a|

即

|a|222a(求线段的长度)；

②abab0(垂直的判断)；

③cosabab (求角度). 要点诠释：

1. 向量的线性运算

(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；

(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提. 2. 共线向量与三点共线问题

向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题. (1)用向量证明几何问题的一般思路：

先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向

量的运算来证明. (2)向量在几何中的应用：

①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件

a//bab(b0)(x1，y1)=(x2，y2) 

②证明垂直问题，常用垂直的充要条件

abab0x1x2y1y20

③求夹角问题，利用cosabab2x1x2y1y2x1y122x2y222

④求线段的长度，可以利用|a|【典型例题】

类型一：平面向量的概念

例1.给出下列命题：

①若|a|=|b|，则a=b；

(x2x1)2(y2y1)2

a或PP12②若A，B，C，D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a=b，b=c，则a=c；

④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；

⑤

若a//b，b//c，则a//c；

其中正确的序号是 . (2)设a0为单位向量，(1)若a为平面内的某个向量，则aaa0；(2)若a与a0平行，则aaa0；(3)若a与a0平行且a1，则aa0.上述命题中，假命题个数是( ) A.0

B.1

C.2

D.3 【思路点拨】利用平面向量的相关基本概念和基本知识进行判断。

【解析】(1)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；

②正确；∵

ABDC，∴

|AB||DC|且AB//DC，又 A，B，C，D是不共线的四点，∴

四边形

ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB//DC且|AB||DC|，因此，ABDC. ③正确；∵

a=b，∴

a，b的长度相等且方向相同；又b=c，∴

b，c的长度相等且方向相同，∴

a，c的长度相等且方向相同，故a=c. ④不正确；当a//b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a//b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件；

⑤不正确；考虑b=0这种特殊情况；

综上所述，正确命题的序号是②③. (2)向量是既有大小又有方向的量，a与aa0模相同，但方向不一定相同，故(1)是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时aaa0，故(2)、(3)也是假命题.综上所述，答案选D. 【总结升华】本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多，因而容易遗忘.为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想.向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念. 举一反三：

【变式】判断下列各命题正确与否：

(1)0a0；

(2)0a0；

(3)若a0,abac，则bc；

(4)若abac，则bc当且仅当a0时成立；

(5)(ab)ca(bc)对任意a,b,c向量都成立；

2(6)对任意向量a，有aa. 2【解析】(1)错；(2)对；(3)错；(4)错；(5)错；(6)对. 【总结升华】通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别与联系，重点清楚0a为零向量，而0a为零. 类型二：平面向量的运算法则

例2.如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若BA=a，BC=b，试用a，b将向量OE，BF，BD，FD表示出来. 【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用AaF向量a，b来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可. 【解析】因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，

所以BABCBAAOBO，BO=a＋b，OE= BO=a+b，

BbCOED

由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以BF=BO＋OF=BO+BA=a+b+a=2a+b，

同样在平行四边形BCDO中，BD=BCCD=BCBO=b＋(a＋b)=a＋2b，FD=BCBA=b-a. 【总结升华】其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用

a，b表示，且可用规定其中任两个向量为a，b，另外任取两点为起点和终点，也可用a，b表示. 举一反三：

【变式1】设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：

①ABBCCD，②DBACBD，③OAOCOBCO. 【解析】①原式= (ABBC)CDACCDAD；

②原式= (DBBD)AC0ACAC；

③原式= (OBOA)(OCCO)AB(OCCO)AB0AB. 【变式2】设x为未知向量，a、b为已知向量，解方程2x(5a+3x4b)+【解析】原方程可化为：(2x3x)+(5a+∴x=1a3b=0

21a)+(4b3b)=0，

29a+b. 2【总结升华】平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质. 类型三：平面向量的坐标及运算

例3.已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6)，试用向量方法求直线AC和OB(O为坐标原点)交点P的坐标. 【解析】设P(x,y)，则OP(x,y),AP(x4,y)

因为P是AC与OB的交点，所以P在直线AC上，也在直线OB上. 即得OP//OB,AP//AC，由点A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC(2,6),OB(4,4). 得方程组6(x4)2y0x3，解之得. 4x4y0y3故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3). 例4.已知a4,3，b1,2，mab,n2ab，按下列条件求实数的值.(1)mn；(2)m//n；(3)mn.

【解析】mab4,32,n2ab7,8

52；

91(2)m//n483270；

2(1)mn473280(3)mn423227282524880

2211. 5【总结升华】此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算. 举一反三：

【变式】平面内给定三个向量a3,2,b1,2,c4,1，回答下列问题：

(1)求满足ambnc的实数m，n；

(2)若akc//2ba，求实数k；

(3)若d满足dc//ab，且dc5，求d. 5mm4n39. 【解析】(1)由题意得3,2m1,2n4,1，所以，得82mn2n9(2)akc34k,2k,2ba5,2，

234k52k0,k(3)dcx4,y1,ab2,4

16；

13由题意得4x42y10x3x5，得或. 22x4y15y1y3例5.已知a(1,0),b(2,1).

(1)求|a3b|；

ab与a3b平行，

平行时它们是同向还是反向？

(2)当k为何实数时，k22【解析】(1)因为a(1,0),b(2,1).所以a3b(7,3)，则|a3b|7358

(2)kab(k2,1)，a3b(7,3)

1因为kab与a3b平行，所以3(k2)70即得k. 37ab(k2,1)(,1)，a3b(7,3)，此时k则a3b3(kab)，即此时向量a3b3与kab方向相反. 【总结升华】上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法. 举一反三：

【变式】已知a=(3，4)，b=(4，3)，求x，y的值使(xa+yb)⊥a，且｜xa+yb｜=1. 【解析】由a=(3，4)，b=(4，3)，有xa+yb=(3x+4y，4x+3y)；

又(xa+yb)⊥a(xa+yb)·a=０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；

即25x+24y=０ ①；

２又｜xa+yb｜=1｜xa+yb｜=１；

(３x+4y)２＋(４x+3y)２=１；

整理得25x＋48xy+25y=１即x(25x+24y)+24xy+25y=１ ②；

由①②有24xy+25y=１ ③；

将①变形代入③可得：y=±２２２２5；

72424xx3535和再代回①得：. 55yy77【总结升华】这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想. 类型四：平面向量的夹角问题 例6.|a|=1，|b|=2，c= a+ b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( ) A.30°

B.60°

C.120° D.150°

【答案】C 【解析】设所求两向量的夹角为

ca，

ca(ab)aaab0

cab，　2|a|2|a||b|cos，

即：cos|a|2|a||b|1

2|b||a|

所以120.

【总结升华】解决向量的夹角问题时要借助于公式cosab|a||b|，要掌握向量坐标形式的运算.向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑.对于a.b|a||b|cos这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直(平行)的充要条件必需掌握. 举一反三：

【变式】与向量a7117,,b,的夹角相等，且模为1的向量是 ( ) 2222(A) 434343, (B) ,或,

555555(C)221221221,,, (D)或

333333【解析】设所求平面向量为c，由c4343,或,时，c1

5555当c143,时，cosa,c；

2551

2当c,时，cosa,c4355故平面向量c与向量a7117,,b,的夹角相等.故选B. 22223， 2ba11，例7.设向量a与b的夹角为，且a3，，则cos=_____. 【思路点拨】本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积，以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题. 32x3，2y311，【解析】设bx，y，由2ba2x，y3，

得2x31x1　　b1，2

2y31y2abab3132323212220cosa，b310310，故填.

1010例8.已知两单位向量a与b的夹角为120，若c2ab,d3ba，试求c与d的夹角.

【解析】由题意，ab1，且a与b的夹角为120，

所以，ababcos1202001，

2ccc(2ab)(2ab)4a24abb27，

c7，

同理可得d13. 而cd(2ab)(3ba)7ab3b2a设为c与d的夹角，

则cos2217，

21727131791. 182例9.已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角θ。

【思路点拨】把向量垂直转化为数量积为0联立求a与b的关系应用夹角公式求结果。

【解析】

由已知：(a3b)(7a5b)0,(a4b)(7a2b)0.即7a16ab15b07a30ab8b02222222

两式相减，得2abb,代入其中任一式，得ab，12bab1cos22.602abb例10.已知向量a(cos(),sin()),b(cos(),sin())，（1）求证：ab;（2）若存22kt2在不等于0的实数k和t，使xa(t3)b,ykatb,满足xy试求此时的最小值。

t2【思路点拨】（1）可通过求ab0证明ab;

kt2（2）由xy得xy0，即求出关于k，t的一个方程，从而求出的代数表达式，消去一个t量k，得出关于t的函数，从而求出最小值。

【解析】（1）

abcos()cos()sin()sin()sincossincos0.

22ab（2）由xy得xy0，即

[a(t23)b](katb)0,ka(t33t)b[tk(t23)]ab0ka(t33t)b0.又a1,b1,kt33t0,kt33t.kt2t3t23t2111tt3(t)2.tt241kt211故当t时，有最小值.2t4【总结升华】平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理.可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度. 类型五：平面向量综合问题

例11.已知向量u(x,y)与v(y,2yx)的对应关系用vf(u)表示. (1)证明：对于任意向量a,b及常数m，n恒有f(manb)mf(a)nf(b)成立；

(2)设a(1,1),b(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；

(3)求使f(c)(p,q)，(p，q为常数)的向量c的坐标. 【解析】(1)设a(a1,a2),b(b1,b2)，则manb(ma1nb1,ma2nb2)，

故f(manb)(ma2nb2,2ma22nb2ma1nb1)m(a2,2a2a1)n(b2,2b2b1)，

∴f(manb)mf(a)nf(b)

(2)由已知得f(a)=(1，1)，f(b)=(0，-1) (3)设c=(x，y)，则f(c)(y,2yx)(p,q)，

∴y=p，x=2p-q，即c=(2p-q，p). 例12.求证：起点相同的三个非零向量a，b，3a-2b的终点在同一条直线上. 证明：设起点为O，OA=a，OB=b，OC=3a-2b，

222222

则ACOCOA=2(a-b)，ABOBOA=b-a，AC2AB，

∵

AC,AB共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，

即向量a，b，3a-2b的终点在同一直线上. 【总结升华】

(1)利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：①

证明向量平行；②

说明两个向量有公共点；

(2)用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：①证明向量平行；②说明两向量无公共点. 例13.已知ab1，cd1，求证：|acbd|1. 【思路点拨】ab1，cd1，可以看作向量x(a，b)，y(c，d)的模的平方，而22222222acbd则是x、y的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式. 【证明】设x(a，b)，y(c，d)

|x|则xyacbd，a2b2，|y|c2d2.

|xy||x||y|，|acbd|abcd12222【总结升华】在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如|ab||a||b|，|ab||a||b|；ab|ab||a||b|等. 例14. 已知a=(cosx+sinx,sinx), b=(cosx-sinx,2cosx). （1）记f(x)= a·b,若x∈［0,］，求f(x)的值域；

2（2）求证：向量a与向量a不可能平行. 【解析】（1）f(x)=ab=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx =cosx-sinx+sin2x=cos2x+sin2x 222sin(2x),

45［0,］,2x［,］,

又x2444∴f(x)的值域为［-1，2］. （2）假设a//b则2cosx(cosx+sinx) =sinx(cosx-sinx), 即2cosx+2sinxcosx=sinxcosx-sinx, 22

sinx+sinxcosx+2cosx=0, ①当cosx=0时，sinx=1,上式不成立；

②当cosx≠0时，tanx+tanx+2=0无解. 故假设不成立，向量a与向量b不平行. 举一反三：

【变式】设函数fxab，其中向量a=(m，cos2x)，b=(1+sin2x，1)，x∈R，且函数y=f(x)的222222图象经过点，2，

4(Ⅰ)求实数m的值；

(Ⅱ)求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合. 【解析】(Ⅰ)fxabm1sin2xcos2x，

由已知fm1sincos2，得m1. 224(Ⅱ)由(Ⅰ)得fx1sin2xcos2x12sin2x，

4当sin2x1时，fx的最小值为12，

4由sin2x

3，得值的集合为1x|xk，kZx.

48