3.3.2 均匀随机数的产生优秀教学设计

3.3.2

均匀随机数的产生

项目

内容

3.3.2

均匀随机数的产生

课题

（共1课时）

1.

了解均匀随机数的概念，掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法. 教学

2.

会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题. 目标

3.

体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力. [来源学科网]反思与创新

教学重点：掌握［0,1］上均匀随机数的产生，利用计算器或计算机产生教学重、

均匀随机数并运用到概率的实际应用中.

难点

教学难点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中. 教学

多媒体课件

准备

导入新课

（一）复习引入，推进新课

复习提问：（1）什么是几何概型和古典概型？（2）几何概型和古典概型的概率公式是怎样的？（3）几何概型和古典概型的特点是什么？这节课我们接着学习下面的内容,均匀随机数的产生. 教学过（二）提出问题，新知探究

Com]程

(1)请说出古典概型的概念、特点和概率的计算公式？

(2)请说出几何概型的概念、特点和概率的计算公式？

(3)给出一个古典概型的问题,我们除了用概率的计算公式计算概率外,还可用什么方法得到概率？对于几何概型我们是否也能有同样的处理方法呢？

(4)请根据整数值随机数的产生,用计算器（计算机）模拟产生［0,1］上的均匀随机数.

(5)［a,b］上均匀随机数的产生. 讨论：学生回顾所学知识,相互交流,在教师的指导下,类比前面的试验,一一作出回答,教师及时提示引导. 讨论结果：

(1)在一个试验中如果

a.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

b.每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. 古典概型计算任何事件的概率计算公式为：P（A）=A所包含的基本事件的个数. 基本事件的总数(2)对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.

几何概型的基本特点：

a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

b.每个基本事件出现的可能性相等. 几=何概型的概率公式：P（A）构成事件A的区域长度(面积或体积). 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)(3)我们可以用计算机或计算器模拟试验产生整数值随机数来近似地得到所求事件的概率,对于几何概型应当也可. (4)我们常用的是［0,1］上的均匀随机数.可以利用计算器来产生0—1之间的均匀随机数(实数),方法如下：

试验的结果是区间［0,1］内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,因此,就可以用上面的方法产生的0—1之间的均匀随机数进行随机模拟. (5)a.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数. b.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50, B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数. (6)［a,b］上均匀随机数的产生：

利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数X=RAND, 然后利用伸缩和平移变换,X=X*(b-a)+a就可以得到［a,b］上的均匀随机数,试验结果是［a,b］内任何一实数,并且是等可能的. 这样我们就可以通过计算机或计算器产生的均匀随机数,用随机模拟的方法估计事件的概率. （三）例题讲解

例1

假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

讨论：用计算机产生随机数模拟试验,我们可以利用计算机产生0—1之间的均匀随机数,利用计算机产生B是0—1的均匀随机数,则送报人送报到家的时间为B+6.5,利用计算机产生A是0—1的均匀随机数,则父亲离家的时间为A+7,如果A+7＞B+6.5,即A＞B-0.5时,事件E={父亲离家前能得到报纸}发生.也可用几何概率的计算公式计算. 解法一：1.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数. 2.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50,B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.用A列的数加7表示父亲离开家的时间,B列的数加6.5表示报纸到达的时间.这样我们相当于做了50次随机试验. 3.如果A+7>B+6.5,即A-B>-0.5,则表示父亲在离开家前能得到报纸.

4.选定D1格,键入“=A1-B1”；再选定D1,按Ctrl+C,选定D2—D50,按Ctrl+V. 5.选定E1格,键入频数函数“=FREQUENCY（D1：D50,-0.5）”,按Enter键,此数是统计D列中,比-0.5小的数的个数,即父亲在离开家前不能得到报纸的频数. 6.选定F1格,键入“=1-E1/50”,按Enter键,此数是表示统计50次试验中,父亲在离开家前能得到报纸的频率.[来源:Z,xx,k.Com]

解法二：以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲离家时间,建立平面直角坐标系,父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是下图：

由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到11112227. 报纸,即事件A发生,所以P(A)=18例2

在如下图的正方形中随机撒一把豆子,用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值.

解法1：随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即

圆的面积落在圆中的豆子数. 正方形的面积落在正方形中的豆子数假设正方形的边长为2,则圆的面积. 正方形的面积224由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以

π≈落在圆中的豆子数×4, 落在正方形中的豆子数这样就得到了π的近似值. 解法2：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a1=RAND（）,b1=RAND（）. （2）经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2. （3）数出落在圆x2+y2=1内的点（a,b）的个数N1,计算π=落在正方形中的点（a,b）的个数）. 小结：可以发现,随着试验次数的增加,得到圆周率的近似值的精确度会越来越高,利用几何概型并通过随机模拟的方法可以近似计算不规则图形的面积. 例3

利用随机模拟方法计算下图中阴影部分（y=1和y=x2所围成的部分）的面积. 4N1（N代表N

分析：师生共同讨论,在坐标系中画出矩形（x=1,x=-1,y=1和y=-1所围成的部分）,利用模拟的方法根据落在阴影部分的“豆子”数和落在矩形的“豆子”数的比值,等于阴影面积与矩形面积的比值.

解：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a1=RAND（）,b=RAND（）. （2）进行平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2. （3）数出落在阴影内（即满足00）的样本点数N1,用几何概型公式计算阴影部分的面积. （四）练习与巩固:

1下列说法与均匀随机数特点不符的是(

) A我们常用的是[0,1]内的均匀随机数

B它是一个随机数

C出现每一个实数是等可能的

D是随机数的平均数

2 在Excel中产生[0,1]区间上的均匀随机数的函数为(

) A.

Rund( )

B.

Rand( )

B.

Randbetween( )

D.

Frequency( ) 3.

由于计算器不能直接产生[a , b]区间上的均匀随机数，只能通过线性变换得到：如果

x 是[0 , 1]区间上的均匀随机数，则

a + (b-a)x

就是[a , b]区间上的均匀随机数。

据此，[0 , 1]区间上的均匀随机数0.5对应于[3 , 5]区间上的均匀随机数为

(

) 。

（五）课堂小结

均匀随机数在日常生活中有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是：建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量. （六）作业

课本习题3.3A组题.

板书设

计

本节课我们根据问题的需要利用一组随机数进行模拟试验,也利用两组随机数进行模拟试验.用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在教学反短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识；相信通过本节思

的学习一定会提高同学们学习数学的兴趣和实际操作能力.