2.1.2 向量的几何表示教案评析

《平面向量的实际背景及基本概念》教学设计

一、教材内容分析

1．教材的地位和作用

本节内容是选自人教A版高中数学必修4第二章第一节，由于向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它具有几何形式和代数形式的“双重身份”，因而成为数形结合的桥梁，成为沟通代数、几何、三角的得力工具.向量的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，反过来，它的理论和方法又成为解决生活实际问题和的物理学重要工具.它之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，可以使复杂问题简单化、直观化，使代数问题几何化、几何问题代数化.正是由于向量所特有的数形二重性，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，在高中数学教学内容中有广泛的应用.本节课是向量的入门课，概念较多，但难度不大，学生可借鉴对物理学中的位移、力、速度等的认识来学习.

2.学情分析：

高一学生在认识能力、抽象能力和思维能力等方面相对较弱，由于对向量的认识还是比较单一的（往往只考虑大小而忽略方向），所以学生对它的认识不可能一步到位。因此，进行概念教学时，除了对概念进行逐字逐句分析外，还要通过日常生活中的实例和不同的例题对概念进行分析，并通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入。

3.教学目标的确定

根据本课教材的特点，新课标的教学要求，学生身心发展的需要，本节课确定教学目标如下：

知识与技能

（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；

（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；

并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系

（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 过程与方法

引导发现法与讨论相结合。这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下，学生的主体地位和作用。

情感目标与价值观

通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。

4、教学重点及难点

（1）．重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等

（2）．难点：向量的概念和共线向量的概念

二．教法分析：

向量的概念是从生活实例和物理素材中抽象出来的，如物理学中的位移、力、速度等概念，其几何背景是有向线段，虽然是抽象的形式符号，教学时依然可以用位移、力等物理量为背景，理解上并不困难.因此教学时要注意把握概念的物理意义，理解有关概念的实际背景，有助于学生认同新概念的合理性.而相等向量、共线向量等概念可以让学生在对向量的两要素（大小、方向）的认识中结合具体案例主动构建，让学生自己得出的概念比简单的告诉印象要深刻得多.总之，为了加深学生对向量内涵的理解，应精心选

例设问，引导学生的思考置疑.通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移. 三．学法指导：

本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习。本课学生的学习主要采用下面的模式进行：

通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程。

学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图像与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备；学生间通过一学期的共同学习，其合作探究的习惯和意识已然养成，这就为本节课的学习提供了认知准备.

四：教学流程设计

创设情境 导入新课

提出问题

分析问题

引

出

概

念

ysinx,x[0,2]应用概念

巩固提升

小结

布置作业

ysinx,x[0,2]五、教学过程与操作设计

教学环节

创

设

情

境

问题设计

力也是物理中常见的量，同样满足既有大小，又有方向，从以下四个图示进行说明（课件展示）

从本章引言，我们知道位移是既有大小，又有方向的量，可用有向线段表示。

（*引申出有向线段的概念）

具有方向的线段就叫做有向线段。

有向线段的三要素：起点、方向、长度。

思考：还能举出物理学中的这样的一些实例吗？

从中归纳数学中向量的定义。 师生互动

情境设置符合学生的认知规律；从具体到抽象，从特殊到一般，从学生熟悉的经验和感兴趣的问题开始，从而顺利地将学生引导到向量的学习中来。

生：观察、思考、总结、概括得出结论，并相互进行交

流。

新

课

探

并类比得到数量的定义。

2、向量的几何表示

（类比实数的数轴表示并结合实例过渡到向量的几何表让学生进一步体会示）

到向量的方向性

向量的几何表示：用有向线段表示；

3、向量的相关概念

（1）向量的字母表示：用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）

等表示，书写用a，b等；或用有向线段的起点与终

点字母：AB等；

（2）向量AB的大小就是有向线段AB的长度（或称模），

||；向量方向就是其有向线段的箭头指向。

AB记作1、向量定义：我们把既有大小又有方向的量叫向量

设问：时间、路程、功是向量吗？速度与加速度呢？

从而归纳出数量与向量的相关概念：数量只有大小，是一个代数量；向量有方向，大小，双重性. （3）零向量、单位向量概念：（从向量的大小方面过渡）

①长度为0的向量叫做零向量，记作0。0的方向是任意的。

②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 4、平行向量定义（从向量的方向关系进行引入）：

①方向相同或相反的非零向量叫做平行向量；

若向量a，b平行，记作a∥b

②我们规定0与任一向量平行，即都有0∥a. 说明：综合①、②才是平行向量的完整定义；

探究：“若a∥b，且b∥c，则a∥c正确吗？

（注意与直线平行传递性的区别）

5、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 说明：（1）若向量a与b相等，记作a=b；

（2）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向这个说法

究

学

习

例

题

线段来表示，并且与有向线段的起点无关.（结合向量与．．．．．．．．．．有向线段的构成要素进行说明，并用课件展示其生成过程）

6、共线向量与平行向量关系：（课件展示）

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）. ．．．．．．．．．．．探究：（1）平行向量可以在同一直线上吗？

（注意与两平行线位置关系的区别）

类比有助于将学生认知进行迁移，顺利形成向量的知识。 向量的几何表示

a

B

A

记做a或AB

（2）共线向量可以相互平行吗？

（注意与同在一直线上的线段位置关系的区别）

让学生独立思考，得到结论，加深对a

有向线段和向量的b理解。

组织学生进行思考、交流能根据向量的平行性质得出正确的结论。

例1、如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图

中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移

巩固向量概念及其几何表示。

AB表示A地至B地的位移，解：且|AB|≈____________

AC表示A地至C地的位移，且|AC|≈

____________

研

究

尝

试

练

习

拓展

例2判断：

让学生能够通过这些问题，弄清向量（1）平行向量是否一定方向相同？ 学习中比较容易混（2）不相等的向量是否一定不平行？

淆的几个基本概念

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什

么向量？

（6）两个非零向量相等的应满足

什么条件？

（7）共线向量一定在同一直线上

吗？

例3

如图，设O是正六边形

ABCDEF的中心，分别写出图中

与向量OA、OB、OC相等的向

量.

让学生巩固相等向解：（学生口答）

量与平行向量的概

念。

变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向

量？（存在）

变式三：与向量OA共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由

（1）向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点让学生自己能通过必在一直线上；

这次课的学习，独立思考，完成练习，（2）单位向量都相等；

达到检测学习的效（3）若|a||b|且a∥b，则ab

果。

（4）若|a||b|，则ab；

（5）若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝DC. 2．书本86页练习2、3、4 *思考：将所有的单位向量移到同一起点，问这些向量的终点构成的图形是什么？（以此点为圆心，半径为1的圆）

思考：

（1）如图，以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种不同的向量？（共20种）

分析（从向量的长度与方向考虑。）

（2）“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？

答：错误。向量与有向线段的联系与区别：

联系：向量可以用有向线段表示。

发现

收获与

体会

区别：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段

通过本节课的学习，了解向量的实际背景，掌握了向量的各个基本概念；并且明白平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比及平行向量与共线向量的关系。

书本77页习题2.1 A组第2、3、5题

A D a

C a

B 进行适时小结，让学生对这次课的学习有个系统的认识，加深学习印象。

布置适当的作业巩固学习效果。

作业

回馈

六、板书设计

课题

例2：

例3：

点评：

一、向量定义及几何表示: 二、向量的相关概念：

三：平行向量定义（从向量的方向关系进行引入）：

四：相等向量定义：

五：共线向量与平行向量关系：（课件展示）

学生练习区域

例1：

七.课后反思

此课稿是按照“教师为主导,学生为主体，课本为主线”的原则而设计的。教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题。向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等的教学是本节课的重点，由于其几何背景是有向线段，虽然是抽象的形式符号，所以学生对它的认识不可能一步到位。因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过日常生活中的实例和不同的例题对概念进行分析，并通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入, 通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.