2.1.3 相等向量与共线向量教学设计

课时序号

学生人数

课 题

课标要求

55

49 55 授课日期

09-11-20

授课班级

出 席

55

高一（9）（10）

课型

55

缺课学生

2.2.3 向量相等与共线

共线的含义。

通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量知识

与

理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行. 技能

教学过程

通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实数与向与

目量积的几何意义,掌握实数与向量的积的运算律. 方法

标

情感态度通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积与价极进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用. 值观

教学1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用. 重点

内教学对向量共线的等价条件的理解运用. 容难点

分内容向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运析

分析算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向量与

的乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量,进而引整合

出共线向量定理. 学情运算简单，但理解运算的几何意义有一定难度。

分析

教学

方法

探究 讨论 讲授

教具

多媒体 投影仪 （多媒体）

教学过程

教学环节与教学内容

导入新课

一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课. 新知探究

提出问题

①已知非零向量a,试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).

引导学生回顾相关知识并猜想结果,对于运算律的验证,点拨学生师生活动

②你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗? ③引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？

对问题①,学生通过作图1可发现,OC=OA+AB+BC=a+a+a.类似数的乘法,可把a+a+a记作3a,即OC=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.同样,由图1可知, 通过作图来进行.通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引导学生特别注意0·a=0,而不是0·a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但又处处存在,稍不注意就会出错,所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可以求积,但是不能进行加、减运算,比如λ+a,λ-a都无法

图1 进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,只是数乘运算的分配律有两种不同的形式:(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相同.判断两个向量是否平行(共线),实际上就是看能否找出一个实数,使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.一定要切实理解两向量共线的条件,它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段.

PN=PQQMMN=(-a)+(-a)+(-a),

即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍,这样,3(-a)=-3a.

对问题②,上述过程推广后即为实数与向量的积.

我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下: (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反. 由(1)可知,λ=0时,λa=0. 根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律. 实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数,那么

(1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb.

特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.

对问题③,向量共线的等价条件是:如果a(a≠0)与b共线,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.推证过程教师可引导学生自己完成,推证过程如下:对于向量a(a≠0)、

b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么由向量数乘的定义,知a与b共线.反过来,已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a与b同方向时,有b=μa;当a与b反方向时,有b=-μa.

层探究,让学生思考,若去掉a≠0这一条件,上述条件成

立吗?其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量

共线的等价条件的认识.在判断两个非零向量是否共线

时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与

这两个向量的长度无关.在没有指明非零向量的情况

下,共线向量可能有以下几种情况:(1)有一个为零向

量;(2)两个都为零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不

等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等.

例1 计算:

(1)(-3)×4a;

(2)3(a+b)-2(a-b)-a;

(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).

训练

1. 若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.

2.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若

1

AD=2DB,CD=CA+λCB,则λ等于(

)

3

21A.

B.

3312

C.-

D.-

33课堂小结

1.让学生回顾本节学习的数学知识:向量的数乘运算法

则,向量的数乘运算律,向量共线的条件,体会本节学习

中用到的思想方法:特殊到一般,归纳、猜想、类比,分类

讨论,等价转化.

2.向量及其运算与数及其运算可以类比,这种类比是我

们提高思想性的有效手段,在今后的学习中应予以充分

的重视,它是我们学***的引路人.

作业

课本习题2.2

A组题11、12.

关于向量共线的条件,教师要点拨学生做进一步深