小结教案2

《二轮复习专题训练——平面向量》教学设计

新华中学 邬楠 一、教学目标

1．巩固和强化利用“基底法”或“坐标法”解决以平面图形为载体的向量数量积问题。

2．学会根据题目所给条件和图形特点选择合适的方法．

二、教学重难点

1．重点：熟练掌握“基底法”、“坐标法”两种基本方法，明确各自使用条件和特点．

2．难点：向量的表示，数量积的计算．

三、课程类型

复习课．

四、教学用具

多媒体. 五、教学过程

（一）课题导入

一轮复习：全面复习基础知识。平面向量概念、线性运算、数量积，基于平面向量基本定理，可将平面上任何一个向量通过两个不共线基底的线性组合来表示，基于正交基底，建立直角坐标系，将平面向量问题转化为代数运算. 二轮复习：专题复习。重点放在运用向量知识解决常规问题，以及向量与其它知识的结合。

专题训练：依据前面复习和考查的情况，向量仍有较大提升空间，因此针对高考题型特点，进行专题训练. 天津高考平面向量题型特点：考查以平面图形为载体的向量数量积问题，中高档题，分值5分. 年份

2013 2014 2015 2016 2017 位置

填空13 填空13 填空13 选择7 填空14 图形

平行四边形，60

菱形，120

等腰梯形，60

等边三角形

三角形，60

考题特点

已知数量积，求边长

解题方法

两种方法均可使用：

已知数量积，求参数

求数量积

求数量积

已知数量积，求参数

1.“基底法”：基于平面向量基本定理

2.“坐标法”：将问题转化为代数运算

提出问题：

1.

“基底法”中基底如何确定？

2.

求数量积和求参数的区别与联系. 3. “基底法”和“坐标法”的适用条件和特点是什么？如何选择？

（二）新课教学

类型一：用“基底法”解决数量积问题．

例1.（2015天津文，13）在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC，AB2，BC1，ABC60，点E和点F分别在线段BC和CD上，且BE为

．

21BC，DFDC，

则AEAF的值36【分析】画图，由题意选取AB，BC（夹角为60）和AB，AD（夹角为120）作为基底，分别表示AE，AF，在计算数量积AEAF的过程中，需注意到AD，BC夹角为60. 【易错】容易忽略AB与AD夹角为120，确定两向量夹角需“共起点”. 【解析】在等腰梯形ABCD中,由AB//DC，AB2，BC1，ABC60

得ADBC1，DABABC60，DC1AB，

2∴AEABBEAB2BC，

311AFADDFADDCADAB，

612221121∴AEAFABBCADABABADABBCADBCAB, 3121231821cos60121292211cos6012cos120.

1231818（设计意图：通过2015年天津高考真题，加强学生对高考题型的认知，强化“基底法”，使学生学会选取适当的基底求向量的数量积．）

练习1.（2014天津文，13）已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC、DC上，BC3BE，DCDF，若AEAF1，则的值为

．

【分析】画图，由于已知BAD120，因此选取AB，AD（夹角为C F E B 120）作为基底，表示AE，AF，由已知AEAF1，列出关于的D A

方程，解方程即可求出的值. 【易错】向量线性关系条件，容易看反，BC3BE，DCDF，需转化为BE1BC，3DF1DC. 【解析】在菱形ABCD中，由边长为2，BAD120，BC3BE，DCDF

1111BCAD，DFDCAB，

331∴AEABBEABAD，

31AFADDFADAB，

得ABAD2，BE2211111∴AEAFABADADABABADABADADAB, 33322cos120∵AEAF1，

∴211442222222cos1202，

333314421，解得2.

33（设计意图：通过2014年天津高考真题，练习“基底法”，使学生体会“求数量积”和“已知数量积，求参数”两种问法之间的联系，它们没有本质区别，只不过前者是直接计算求值，后者是列方程求解.）

扩展练习.（2017河东区校级模拟）ABC中，E为AC的中点，BD2DC，且AD与EB夹角为120，AD1，BE2，则ABAC

．

【分析】画图，由于已知AD与EB夹角为120，因此选取AD，EB（夹角为120）作为基底，但发现用此基底表示所求AB，AC非常困难，同时发现反之非常容易，因此先用AB，AC表示AD，EB，再通过解方程组得到AB，AC用基底表示的结果，最后进行数量积ABAC的运算. 【解析】在ABC中，由E为AC中点，BD2DC，AD与EB夹角为120，AD1，BE2，

12ADABAC346233得，解得ABADEB，ACADEB，

5555EBAB1AC2C D E A B

224262483618∴ABACADEBADEBADADEBEBADEB, 55552525252518218832112cos12022.

25252525（设计意图：此题基底明确，但用其表示所求向量困难，可逆向思维，用所求表示基底，再通过解方程组得到想要的表示.）

类型二：用“坐标法”解决数量积问题．

例2.（2017全国卷Ⅱ）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PAPBPC的最小值是（

）

A.2

B.34

C.

D.1

23【分析】画图，此题若考虑“基底法”，等边ABC的任意两边构成的向量都可以作为基底，但由于点P的位置是任意的，因此无法用基底表示PA，PB，PC.同时发现此题的图形为规则图形——等边ABC，可以建立平面直角坐标系，使用“坐标法”解决. 【解析】以等边ABC底边BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，如图建立平面直角坐标系，则O0,0，A0,3，B1,0，C1,0，

设Px,y，x,yR，

则PAx,3y，PB1x,y，PC1x,y，

∴PAPBPCx2x3y2y2x222y223y, 333，

2x22y222当x0，y33时，PAPBPC有最小值.

22（设计意图：如果无法使用“基底法”解决问题，并且图形规则，便于建系，可以采用“坐标法”，建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，进而写出相关向量的坐标，将平面几何问题转化为代数运算.）

练习2.（2015福建卷）已知ABAC，AB且AP1，ACt，若点P是ABC所在平面内的一点，tABAB4ACAC，则PBPC的最大值等于（

）

A.13

B.15

C.19

D.21 【分析】画图，此题和例2相比，虽然通过APABAB4ACAC可知点P的位置是确定的，但形式较复杂，同时此题很明显有两个垂直向量，以此为坐标轴建系，使用“坐标法”解决更简便. 【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，如图建立平面直角坐标系，则1A0,0，B,0，C0,t，显然t0，

t∵APABAB4ACAC1t，其中ABAB表示AB方向上的单位向量，ACAC表示AC方向上的单位向量，∴P1,4，PB1,4，PC1,t4，

∴PBPC114t44t174t1724t1713, 当且仅当t1t1t1t1t1时，PBPC有最大值13.

2（设计意图：如果图形含有垂直向量，并且不便使用“基底法”解决问题，也可以采用“坐标法”来解决.）

类型三：用“基底法”或“坐标法”解决数量积问题．

例3.（2016天津文，7）已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则AFBC的值为（

）

A.5

8B.1

8

C.1

4

D.11

8【分析】画图，由于图形为等边三角形，因此可以采用“基底法”，选取AB，AC（夹角为60）作为基底；也可以采用“坐标法”，以等边ABC一边所在直线为x轴，该边中线所在直线为y轴，建系. 【易错】F点坐标的计算. 【解析】

解法一:“基底法”

在等边ABC中，由边长为1，点D，E分别是边AB、BC的中点，DE2EF，

得ABAC1，BAC60，DE13AC，DFDE，

22∴AFADDF13ABAC，

24

BCACAB，

22311331∴AFBCABACACABABACABACACAB, 4224421133111cos60121211cos60.

22448解法二：“坐标法”

以AB中点D为原点，AB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，如图建立平面直角坐标系，则13333311，E,，F,，

0,D0,0，A,0，B,0，C2224488则AF73313，BC,,8822，

1．

8∴AFBC或以BC中点E为原点，BC所在直线为x轴，EA所在直线为y轴，如图建立平面直角坐标系，1313311，

则E0,0，A0,，F,,0，C,0，D,2，B822448则AF,1853，BC1,0，

8∴AFBC1．

8（设计意图：通过近两年的天津高考真题，强化“基底法”和“坐标法”两种常用方法，体会各自的特点，选择适当的方法和自己擅长的方法解题．）

练习3.（2017天津文，14）在ABC中，A60，AB3，AC2，若BD2DC，AEACAB(R)，且ADAE4，则的值为

．

【分析】画图，由于图形为一个角为60的三角形，因此可以采用“基底法”，选取AB，AC（夹角为60）作为基底；也可以采用“坐标法”，以AB所在直线为x轴，AB边上的高所在直线为y轴，建系. 【易错】D点坐标的计算. 【解析】

解法一:“基底法”



在ABC中，A60，AB3，AC2，BD2DC，

∴AD12ABAC，

33又∵AEACAB，

2221221∴ADAEABACACABABACABACACAB, 333333332cos6012211322223cos605，

3333∵ADAE4，

∴11354，解得.

311解法二：“坐标法”

过C作COAB于O，以O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，如图建立平面直角坐标系，则O0,0，A1,0，B2,0，C0,3，D223，

,33523则AD,33，AB3,0，AC1,3，AEACAB3,3，

∴ADAE53233115, 333∵ADAE4，

∴11354，解得.

311（设计意图：通过近两年的天津高考真题，强化“基底法”和“坐标法”两种常用方法，体会各自的特点，选择适当的方法和自己擅长的方法解题．此题基底明显，而D点坐标计算易出错，因此更倾向于“基底法”．）

（三）总结提升

1.“基底法”中基底如何选取？基底的夹角如何确定？

通常找已知角的两边，确定夹角需要基底“共起点”. 2.求数量积和求参数的区别与联系.

没有本质区别，前者是直接运算，后者是解方程. 3. “基底法”和“坐标法”的适用条件和特点是什么？如何选择？

“基底法”基于平面向量基本定理，是解决向量数量积问题最根本的方法，适用于绝大多数题目，关键在于找准基底；

“坐标法”适用于图形比较规则，便于建系的题目，注意计算要准确. “基底法”为主，“坐标法”为辅，选择题目适合的、自己擅长的！

（四）课后作业

1.（2013天津文，13）在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点，若ACBE1，则AB的长为

．

2.（2012天津文，8）在ABC中，A90，AB1，AC2，设点P，Q满足APAB，AQ1AC，R，若BQCP2，则（

）

A.1

3

B.2

3

C.4

3

D.2 3.（2017南开区二模）已知直角梯形ABCD中，AB//CD，BCD60，E是线段AD上靠近A的三等分点，F为DC的中点，若AB2，AD3，则EBEF

．

4.（2009天津文，15）若等边ABC的边长为23，平面内一点M满足CM12CBCA，则63MAMB

．

5.（2018十二校联考）在等腰梯形ABCD中，已知AB//CD，AB3，BC2，ABC60，动点E，F分别在线段BC和CD上，且BE2BC，DF13DC，则DEAF的取值范围为

．