复习参考题第二课时教案

简单的三角恒等变换

简单的三角恒等变换

能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．

知识点一

半角公式

ααα1．用cos α表示sin2

，cos2

，tan2

. 222α1－cos αα1＋cos αsin2＝；cos2

＝；

2222α1－cos αtan2

＝. 21＋cos αααα2．用cos α表示sin ，cos ，tan . 222αsin ＝±

2αtan ＝±

21－cos αα；cos ＝±

221－cos α. 1＋cos α1＋cos α；

2α3．用sin α，cos α表示tan . 21－cos ααsin αtan ＝＝. 21＋cos αsin αα易误提醒

应用“sin＝±

21－cos αα”或“cos＝±

221＋cos αα”求值时，可由22所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定．

必记结论

用tan α表示sin 2α与cos 2α

cos2α－sin2α2sin αcos α2tan α22sin 2α＝2sin αcos α＝2＝；cos 2α＝cosα－sinα＝2＝sinα＋cos2αtan2α＋1cosα＋sin2α1－tan2α. 1＋tan2α[自测练习] 15πθ1．已知cos θ＝－，<θ<3π，那么sin＝(

) 522A.C.10

515

5B．－D．－10

515

55π5πθ3π解析：∵<θ<3π，∴<<. 2422

θ∴sin＝－2答案：D 1－cos θ＝－211＋515＝－. 25知识点二

辅助角公式

b其中tan φ＝. asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)a易误提醒

在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点(a，b)所在象限决定，当φ在第一、二象限时，一般取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角．

[自测练习] 2．函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(

) A．π

C．2π

πB.

2πD.

4π2x＋，

解析：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin4∴T＝π.

答案：A πx＋的值域为(

) 3．函数f(x)＝sin x－cos6A．[－2,2]

C．[－1,1]

B．[－3，3] D.－33

，22πππ31x＋＝sin x－cos xcos＋sin xsin＝sin x－cos x＋sin x＝解析：∵f(x)＝sin x－cos666223π31x－(x∈R)，

sin x－cos x＝3sin622∴f(x)的值域为[－3，3]．

答案：B

考点一

三角函数式的化简|

化简：

(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；

12cos4x－2cos2x＋2(2). ππ22tan4－xsinx＋4解：(1)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°) cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°＝sin 50°·

cos 60°cos 10°cos60°－10°＝sin 50°·

cos 60°cos 10°

＝＝2sin 50°cos 50°

cos 10°sin 100°cos 10°＝＝1. cos 10°cos 10°12cos2xcos2x－1＋2(2)原式＝

π2π2tan4－x·cos4－x－4cos2xsin2x＋11－sin22x＝＝

πππ4cos4－xsin4－x2sin2－2xcos22x1＝＝cos 2x. 2cos 2x2考点二

辅助角公式的应用|

(1)函数y＝sin 2x＋2 3sin2x的最小正周期T为________．

π[解析]

y＝sin 2x＋23sin2x＝sin 2x－3cos 2x＋3＝2sin(2x－)＋3，所以该函数的32π最小正周期T＝＝π.

2[答案]

π

(2)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________. [解析]

f(x)＝sin x－2cos x

＝5525sin x－cos x＝5sin(x－φ)，

55

255其中sin φ＝，cos φ＝，

55π当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时函数f(x)取到最大值，

2

π即θ＝2kπ＋＋φ时函数f(x)取到最大值，

225所以cos θ＝－sin φ＝－. 525[答案]

－

5

(1)利用asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)把形如y＝asin x＋bcos x＋k的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．

b(2)化asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)时φ的求法：①tan φ＝；②φ所在象限由(a，b)a点确定．

πx＋. 已知函数f(x)＝2sin xsin6求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间．

解：f(x)＝2sin x31sin x＋cos x

221－cos 2x1＝3×＋sin 2x

22π32x－＋. ＝sin32函数f(x)的最小正周期为T＝π.

πππ由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

232π5π解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

1212π5π－＋kπ，＋kπ，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递增区间是1212

考点三

三角恒等变换的综合应用|

三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：

1．三角恒等变换与三角函数性质的综合．

2．三角恒等变换与三角形的综合．

3．三角恒等变换与向量的综合．

探究一

三角恒等变换与三角函数性质的综合

πππω>0，－≤φ<的图象关于直线x＝对称，且图象上1．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)223相邻两个最高点的距离为π.

(1)求ω和φ的值；

α2π3π<α<，

(2)若f＝32463πα＋的值．

求cos2解：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从2π而ω＝＝2. Tπ又f(x)的图象关于直线x＝对称，所以

3ππ2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，…. 32ππ因为－≤φ<，所以k＝0，

22π2ππ所以φ＝－＝－. 236ααπ32·－＝，

(2)由(1)得f＝3sin2264π1π2πππα－＝.由<α<，得0<α－<，

所以sin646362πα－＝所以cos6πα－＝1－sin2612151－＝. 44ππ3πππππ1315α＋＝sin α＝sinα－6＋＝sinα－cos＋cosα－sin＝×＋因此cos2666664243＋151×＝. 28探究二

三角恒等变换与三角形的结合

ππ2ωx－(ω>0)的相邻2．(2016·台州模拟)已知实数x0，x0＋是函数f(x)＝2cos2ωx＋sin62的两个零点．

(1)求ω的值；

3bc2a(2)设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若f(A)＝且＋＝，2tan Btan Ctan A试判断△ABC的形状，并说明理由．

解：(1)f(x)＝1＋cos 2ωx＋＝31sin 2ωx－cos 2ωx

2231sin 2ωx＋cos 2ωx＋1 22

π2ωx＋＋1，

＝sin62π由题意得T＝π，∴＝π.∴ω＝1. 2ωπ2x＋＋1，

(2)由(1)得f(x)＝sin6π32A＋＋1＝，

∴f(A)＝sin62π12A＋＝. 即sin62ππ13π∵0

666π5ππ∴2A＋＝，即A＝. 663由bc2abcos Bccos C2acos A＋＝得＋＝，所以cos B＋cos C＝2cos A＝1，

tan Btan Ctan Asin Bsin Csin A2π2π－B＝1，

又因为B＋C＝，所以cos B＋cos33ππB＋＝1，所以B＝C＝. 即sin63综上，△ABC是等边三角形．

探究三

三角恒等变换与向量的综合

θ－π，1，b＝(3,0)，其中θ∈π，5π，若a·3．(2015·合肥模拟)已知向量a＝cosb424＝1. (1)求sin θ的值；

(2)求tan 2θ的值．

π1θ－π＋π＝sinθ－πcosπθ－π＝22，θ－＝，解：(1)由已知得：cossinsin θ＝sin43434444ππ4＋2θ－·＋cossin44＝6. π122θ－＝得sin θ＋cos θ＝，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝，即sin 2θ＝－(2)由cos433974272，而cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，∴tan 2θ＝. 998

三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．

5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板

πx＋. 【典例】

(12分)(2015·高考山东卷)设f(x)＝sin xcos x－cos24(1)求f(x)的单调区间；

A(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f2＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．

[思路点拨]

(1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f(x)的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f(x)的单调区间．

(2)首先求出角A的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC面积的最大值．

sin 2x[规范解答]

(1)由题意知f(x)＝－2＝sin 2x1－sin 2x－

22π2x＋1＋cos22

1＝sin 2x－.(3分) 2ππππ由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，

k∈Z；(4分) 2244π3ππ3π由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

2244所以f(x)的单调递增区间是

－π＋kπ，π＋kπ(k∈Z)；(5分) 44π3π＋kπ，＋kπ(k∈Z)．(6分) 单调递减区间是44A11(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，

222由题意知A为锐角，所以cos A＝3.(8分) 2由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，(9分) 可得1＋3bc＝b2＋c2≥2bc，(10分) 即bc≤2＋3，且当b＝c时等号成立．

2＋31因此bcsin A≤.(11分) 24所以△ABC面积的最大值为2＋3.(12分) 4

[模板形成]

[跟踪练习]

已知函数f(x)＝23sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)．

π0，上的最大值和最小值；

(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间2π6(2)已知△ABC为锐角三角形，A＝，且f(B)＝，求cos 2B的值．

35解：(1)由f(x)＝23sin xcos x＋2cos2x－1得

π2x＋. f(x)＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin6所以函数f(x)的最小正周期为π.

ππππ2x＋在区间0，上为增函数，在区间，上为减函数，

因为f(x)＝2sin6662ππ＝－1，

又f(0)＝1，f＝2，f62π0，上的最大值为2，最小值为－1. 所以f(x)在区间2(2)因为△ABC为锐角三角形，且A＝60°，

所以2ππ0

ππππ7π，，所以2B＋∈，. 即B∈62626π62B＋＝，

由(1)可知f(B)＝2sin65π3π42B＋＝，cos2B＋＝－，

即sin6565ππ2B＋－

所以cos 2B＝cos66ππππ2B＋cos＋sin2B＋sin

＝cos6666＝3－43. 10

A组

考点能力演练

π1α－＝(

) 1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝，则cos2431A．－

31C.

32B．－

32D.

3π2α－1＋cos21＋sin 2αππ22α－＝α－＝. 解析：∵cos2＝，∴cos44322答案：D 2．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ＝(

) 5A.

99C.

512B.

55D.

123解析：∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－，

23－2×2122tan θ∴tan 2θ＝＝. 2＝951－tanθ1－4答案：B π24π3．sin 2α＝，0<α<，则2cos4－α的值为(

) 2521A.

57C.

51B．－

51D．±

5πππ－2α＝2cos2－α－1，所以2cos－α＝±1＋sin 2α，因解析：因为sin 2α＝cos244ππ247ππππ－α＝±，因为0<α<，所以－<－α<，所以2cos－α＝为sin 2α＝，所以2cos4542524447. 5答案：C 4．(2015·太原一模)设△ABC的三个内角分别为A，B，C，且tan A，tan B，tan C,2tan B成等差数列，则cos(B－A)＝(

)

310A．－

10C.10

10B．－10

10310D.

1031解析：由题意得tan C＝tan B，tan A＝tan B，所以△ABC为锐角三角形．又tan A＝225tan B2tan C＋tanB1－tan(C＋B)＝－＝－＝tan B，所以tan B＝2，tan A＝1，所以tan(B321－tan CtanB1－tan2B2tan B－tan A2－11310－A)＝＝＝.因为B>A，所以cos(B－A)＝，故选D. 101＋tan Btan A1＋2×13答案：D ππ，π，且3cos 2α＝sin－α，则sin 2α的值为(

) 5．若α∈241A.

1817C.

18解析：依题意得3(cos2α－sin2α)＝＝1B．－

1817D．－

1822(cos α－sin α)，cos α＋sin α＝，(cos α＋sin α)226117221＝，即1＋sin 2α＝，sin 2α＝－，故选D. 1818618答案：D sin250°6．计算＝________. 1＋sin 10°1－cos 100°1－cos90°＋10°1＋sin 10°1sin250°解析：＝＝＝＝. 1＋sin 10°21＋sin 10°21＋sin 10°21＋sin 10°21答案：

2ππα－＋sin2α＋－sin2α的结果是________．

7．化简sin266π2α－1－cos3解析：法一：原式＝

2π2α＋1－cos3＋－sin2α

21πcos 2α22α－π＋cos2α＋π－sin2α＝1－cos 2α·＝1－coscos－sinα＝1－－332321－cos 2α1＝. 22

111法二：令α＝0，则原式＝＋＝. 4421答案：

2π8．设sin 2α＝－sin α，α∈2，π，则tan 2α的值是________．

解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，

1∴cos α＝－，

2π3，π，∴sin α＝，tan α＝－3，

又α∈22－232tan α∴tan 2α＝＝＝3. 1－tan2α1－－32答案：3 πωx－，x∈R. 9．设函数f(x)＝sin ωx＋sin21(1)若ω＝，求f(x)的最大值及相应x的集合；

2π(2)若x＝是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f(x)的最小正周期．

8πωx－. 解：由已知：f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin41π1(1)若ω＝，则f(x)＝2sin2x－4. 21π又x∈R，则2sin2x－4≤2，

1ππ∴f(x)max＝2，此时x－＝2kπ＋，k∈Z，

2423πx＝4kπ＋，k∈Z. 即x∈x2

π(2)∵x＝是函数f(x)的一个零点，

8ππππω－＝0，∴ω－＝kπ，k∈Z，

∴2sin4884π2x－，此时其最小正周期为π.

又0<ω<10，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin410．(2016·沈阳模拟)已知函数f(x)＝sin x－3cos x＋2，记函数f(x)的最小正周期为β，7α＋β0<α<π，且a·向量a＝(2，cos α)，b＝1，tanb＝. 4232π4π(1)求f(x)在区间3，3上的最值；

2cos2α－sin 2α＋β(2)求的值．

cos α－sin α解：(1)f(x)＝sin x－3cos x＋2 πx－＋2，

＝2sin32π4πππ，，∴x－∈，π，

∵x∈3333∴f(x)的最大值是4，最小值是2. (2)∵β＝2π，

7∴a·b＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝，

31∴sin α＝，

32cos2α－sin 2α＋β2cos2α－sin 2α∴＝＝2cos α

cos α－sin αcos α－sin α＝21－sin2α＝42. 3B组

高考题型专练

xxx1．(2015·高考北京卷)已知函数f(x)＝2sincos－2sin2. 222(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．

解：(1)因为f(x)＝22sin x－(1－cos x) 22π2x＋－，所以f(x)的最小正周期为2π.

＝sin423πππ(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤. 444ππ3π当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值．

4243π2－＝－1－. 所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f421cos x，－，b＝(3sin x，cos 2x)，x∈R，设函数2．(2013·高考陕西卷)已知向量a＝2f(x)＝a·b. (1)求f(x)的最小正周期；

π0，上的最大值和最小值．

(2)求f(x)在21cos x，－·解：f(x)＝2(3sin x，cos 2x) 

131＝3cos xsin x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x

222πππ2x－. ＝cossin 2x－sincos 2x＝sin6662π2π(1)f(x)的最小正周期T＝＝＝π，

ω2即函数f(x)的最小正周期为π.

πππ5π(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤. 2666πππ当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1. 623ππ1当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－，

662π1π5π当2x－＝π，即x＝时，f2＝2，

662π110，上的最大值是1，最小值是－. ∴f(x)的最小值为－.因此，f(x)在2223．(2014·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－c＝6b.sin B＝6sin C. 6(1)求cos A的值；

π2A－的值．

(2)求cos6解：(1)在△ABC中，由有a＝2c. b2＋c2－a26c2＋c2－4c26所以cos A＝＝＝. 22bc426c(2)在△ABC中，由cos A＝610，可得sin A＝. 44bc6＝，及sin B＝6sin C，可得b＝6c.又由a－c＝b，sin Bsin C61于是，cos 2A＝2cos2A－1＝－，

4sin 2A＝2sin A·cos A＝15. 4π15－3ππ2A－＝cos 2A·所以coscos＋sin 2A·sin＝. 6668