2.1.2 系统抽样教学设计实例

2.1.2系统抽样

一、【教学目标】

重点:理解系统抽样的概念，能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题. 难点：当N不是整数，如何实施系统抽样. n知识点：理解系统抽样的定义及特点，会用系统抽样的方法从总体中抽取样本．

能力点：通过对实际问题的探究，归纳应用数学知识解决实际问题的方法，理解分类讨论的数学方法.

教育点：通过数学活动，感受数学对实际生活的需要，体会现实世界和数学知识的联系.

自主探究点：理解系统抽样与简单随机抽样的关系. 考试点：会用系统抽样的方法从总体中抽取样本。

易错易混点：能运用所学知识判断、分析和选择抽取样本的方法. 拓展点：通过对系统抽样的学习，更加突出的体会它在中学数学中的地位及在日常生活中的应用. 二、【引入新课】

回顾过去，诸多食品安全事件挑战公众神经.经历过瘦肉精事件的炸雷、上海染色馒头的喧闹、浙江地沟油事件的轰动，到如今的问题胶囊事件，如何检验食品安全问题已经成为社会大众的焦点。

问题1：一家药厂某时段生产一批胶囊10000件，要求抽取200件，检验该批药品质量

指标是否合格.如何抽样？

采用抽签法，这样抽取的样本能够反映总体的情况. 考虑到总体数目为10000，较大，生1的方法在实际操作中会有两个问题：(1)制签比较繁琐.(2)不能保证总体“均匀搅拌”，即样本的代表性会降低. 抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的个体很多时，将总体“搅拌均匀”会比较困难，就不能保证每个个体被抽中的机会均等，从而使样本的代表性变差.随机数表法的优点是节省人力、物力、财力和时间，缺点是所产生的样本不是真正的简单样本. 因此，本节课我们学习一种新的抽样方法-——系统抽样。（板书课题：2.1.2 系统抽样）

【设计意图】

通过设置问题情境，激发学生的求知欲，让他们积极主动配合老师的“诱导式”教学，顺利进入新课. 三、【探究新知】

问题2：系统抽样到底如何抽样？问题1中如何抽取这200个样本？

（1）学生带着问题阅读教材P58后，分组交流讨论，自由发言；

（2）师生共同总结.

讨论结果：

可以将这10000件胶囊随机编号110000，分成200组，每组50人，第1组是150，第二组51100，依次分下去，然后用简单随机抽样在第1组抽取1人,比如号码是2，然后每隔50个号抽取一个，得到2,52,102,这种抽样方法称为系统抽样．

【设计意图】通过问题比较，突显出总体特征的变化，引导学生探究发现新知识新方法.学生参与问题解决的全过程，通过交流与合作发现“等距抽样”的特征，从而形成感性的系统抽样的概念和方法. 1．系统抽样的定义：

一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样.

说明：由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特征：

（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样.

,9952．这样就得到一个容量为200的样本．

（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k

n（3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号.

（4）系统抽样与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；

（5）简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的. 练习：下列抽样中不是系统抽样的是（

）

A.从标有115号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i,以后

为i5,i10

(超过15则从1再数起)号入样; B.工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产

品检验; C.搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止; D.电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈. 解析：（2）C不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样. 问题4：若问题1中胶囊的件数为10003件，那又如何抽取一个容量为200的样本呢？

教师引导学生讨论，并由此总结系统抽样的步骤. 讨论结果：从10003件胶囊中随机的剔除3件，再按照系统抽样的方法进行抽样. 【设计意图】当总体数目与样本容量不能整除时，学生完成思考，并形成一般思路与方法. 问题5：系统抽样的步骤是怎样的？（全班统一意见，形成系统抽样的一般步骤，多媒体出示）

2.

系统抽样的步骤

N

1°编号：将总体中个体编号（可直接利用个体身份所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等）. 2°分段：对编号进行分段.如果总体中的个体数不能被样本容量整除，则利用简单随机NN'抽样的方法剔除多余（余数个）个体，确定的分段间隔为k或k. nn3°确定第一段中入样个体的编号：在第一段中用简单随机抽样的方法确定所抽取的号码l. 4°等距抽样：在各段中等距抽样，依次得到编号为：l,lk,l2k,,l(n1)k.

【设计意图】由上述过程让学生概括系统抽样的特点和步骤，教师完善，强调关键点培养学生总结归纳的能力。

四、【理解新知】

1．系统抽样的定义：

一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样(又称等距抽样).

2.系统抽样的特点：

（1）总体容量N较大. NN'（2）总体分段：分成均衡的若干段，且分段间隔为k或k.

nn（3）预先制定的规则有两个：①确定起始编号l，在第1段内采用简单随机抽样确定；②等距抽样，依次得到编号：l,lk,l2k,（4）等可能抽样. 3. 系统抽样的一般步骤: 简记为：编号；分段；在第一段确定起始号；加间隔获取样本

（1）从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想. （2）如果遇到,l(n1)k. N不是整数的情况，可以先从总体中随机的剔除几个个体，使得总体中n剩余的个体数能被样本容量整除

【设计意图】应用整合，举一反三，强化新知，让学生进一步熟悉系统抽样，触类旁通，做到烂熟于心. 五、【运用新知】

例1．某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．

分析：按1∶5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号．

解：抽样过程是：

（1）按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们把259名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1—5的5名学生，第2组是编号为6—10的5名学生，依次下去，59组是编号为291—295的5名学生；

（2）采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l(l5)；

（3）按照一定的规则抽取样本．抽取的学生编号为l5k(k0,1,2,个个体作为样本，如当k3时的样本编号为3，8，13，…，288，293．

点评：系统抽样与简单随机抽样一样，每个个体被抽到的概率都相等,从而说明系统抽样是等概率抽样，它是公平的．系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，当将总体均分后对每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样．

变式训练

1.某小礼堂有25排座位，每排20个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是_________抽样方法．

答案：系统

2.从已编号为1—50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（

）

A.5，10，15，20，25B.3，13，23，33，43 C.1，2，3，4，5 D.2，4，6，16，32 分析：用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为k,kd,k2d,k3d,k4d,其中,58)，得到59d5010,k是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B满足要求. 5

答案：B

点评：利用系统抽样抽取的样本的个体编号按从小到大的顺序排起来，从第2个号码开始，每一个号码与前一个号码的差都等于同一个常数，这个常数就是分段间隔．

【设计意图】实例巩固，在得出新课的有关知识之后，再次让学生在解决实际问题的过程中，进一步理解掌握系统抽样的方法步骤，达到学以致用的技能，培养“学数学，用数学”的意识。

例2

为了了解参加某种知识竞赛的1 003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本．

分析：由于步骤：

（1）随机地将这1003个个体编号为1，2，3，…，1003．

（2）利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体（可利用随机数表），剩下的个体数1 000能被样本容量50整除，然后再重新编号为1，2，3，…，1000．

（3）确定分段间隔．1003不是整数，所以先从总体中随机剔除3个个体．

501000=20，则将这1 000名学生分成50组，每组20人，第1组是501，2，3，…，20；第2组是21，22，23，…，40；依次下去，第50组是981，982，…，1000．

（4）在第1组用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l20). （5）按照一定的规则抽取样本．抽取的学生编号为120k(k0,1,2,个个体作为样本，如当k2时的样本编号为2，22，42，…，982．

点评：如果遇到19)，得到50N不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中n剩余的个体数能被样本容量整除．

变式训练

1.某校高中三年级有1242名学生，为了了解他们的身体状况，准备按1∶40的比例抽取一个样本，那么（

）

A.剔除指定的4名学生

B.剔除指定的2名学生

C.随机剔除4名学生D.随机剔除2名学生

分析：为了保证每名学生被抽到的可能性相等，必须是随机剔除学生，由于数是2，所以要剔除2名学生. 1242的余40

答案：D

2.从2 005个编号中抽取20个号码，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为（

）

A.99B.99.5C.100D.100.5 答案：C

【设计意图】]通过题目设置，让学生体会当法. 六、【课堂小结】

1. 系统抽样的优点是（1）简单易行；（2）对总体结构有一定的了解时，可以更合理地分段，从而提高分段效率；（3）当总体的个体存在自然编码时，便于实施系统抽样. 缺点是：不了解总体结构时，抽取的样本可能有一定的偏差. 2.当总体和样本容量都较小时，或当总体容量较大，样本容量较小时，可用简单随机抽样法；当总体的容量较大或非常大，样本容量也较大时，可用系统抽样法. 3.当N不是整数是，为了保证“等距”分段，须先从总体中用简单随机抽样法剔除多余nN不是整数时，系统抽样的一般思路与方n（余数个）个体，然后再用系统抽样法进行抽样. 4.两种抽样方法比较

抽样方法

简单随机抽样

随机数表法

抽签法

系统抽样

共同点

（1）抽样过程中每个个体被抽到的概率相等；（2）都要先编号

各自特点

从总体中逐一抽取

先均分，再按事先确定的规则在各部分抽取

相互联系

在起始部分抽样时采用简单随机抽样

适用范围

总体中的个体数较少

总体中的个体数较多

【设计意图】在轻松、愉快的氛围中结束课程，使学生学会回顾反思，培养学生良好的学习

习惯. 七、【布置作业】

1、必做题：（必做题）1．从2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为 （ ） A. 99 B. 99.5 C. 100 D.100.5 2．从学号为1～50的50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是 （ ）

A. 1，2，3，4，5 B. 5，16，27，38，49

C. 2, 4, 6, 8 D. 4，13，22，31，40 3．某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程. 八、【教后反思】

这篇案例主要研究了系统抽样的思想方法，属于概念课．我主要采用“学生为主体，教师为主导”的探究性学习模式。教学过程首先从学生日常熟悉的问题情境入手，然后展开讨论，并让学生大胆设想抽样方法．虽然他们的方法并不完善，但可以充分使学生参与知识的形成，并形成合作学习的意识，最后的“课外延伸”是本节内容的应用和深化．该案例充分体现了从具体到抽象又从抽象到具体的模式，符合学生的认知规律．整堂课设计思路清晰，目标明确．在数学课堂教学中，注重调动学生的积极性，让学生充分的参与课堂教学，较好的发挥了教师的主导和学生的主体作用．学生在有层次的问题驱动下高效地完成了既定的数学学习任务．在教学中，让学生能够在解题过程中，灵活地选择适当的抽样方法，以解决学习问题，这是我做得成功之处。但我在锻炼学生的实际应用能力、创新能力方面，还做得不够，我将在以后的教学过程中更加注重培养学生的实践能力和创新精神. 要注重信息反馈，坚持师生间的多向交流。要引导学生多思、多说、多练，要充分暴露他们所遇到的知识障碍，并在师生之间的多向交流中，不断的得到解决，使知识深化. 九、【板书设计】

2.1.2系统抽样

一、新知探究

系统抽样的含义

二、例题讲解

例1

三、课堂小结

系统抽样的步骤

例2