2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计第二课时

平面向量的正交分解及坐标表示

。

【教学目标】

1.知识目标：

①使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程（几何表示---线性表示---坐标表示），会写出直角坐标系内给定的向量坐标，会作出已知坐标表示的向量；

②掌握平面向量的坐标运算，能正确表述向量的加法、减法和实数与向量积的坐标运算法则，并能运用它们进行向量的坐标运算，明确一个向量的坐标等于此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

2.能力目标：

①通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；

②通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力。

3.德育目标：

在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。

【教学重点】：平面向量的坐标表示及坐标运算

突破办法：渗透从特殊到一般的化归，数形结合的思想. 【教学难点】：对平面向量的坐标表示生成过程的理解

教学过程：

（ⅰ）．课题引入（采用多媒体）

①自我介绍，从姓氏“陈”字引出向量话题

课件展示“向量化”的方块字：笔画顺序---方向

FIKH

C

D

线段长度—大小

T

J

BE

②提问：是否存在相等的向量？存在，有哪些？

LM

P

学生：长度相等且方向相同的向量即为相等的向量

N

Q

教师：强调自由向量---仅由大小和方向确定，与起SRG

点位置无关.

③引入直角坐标系---x轴、y轴、原点、单位长度

平面内每一个点都可以用一对实数(即它的坐标)来表示，那么平面直角坐标系内的每一个向量是否也可以用一对实数来表示？如果可以，会是如何？

板书课题：平面向量的坐标表示及运算

设计意图：利用向量化的方块字引入，比较生活化有新意，激发学生的学习兴趣和学习情感，为新课的自然引入提供契机．另外，教师要抓住每一次在新课中复习旧知的机会。

（ⅱ）．新课讲解

I.平面向量的坐标表示

④与x轴正方向相同的单位向量----i

43

与y轴正方向相同的单位向量---j

ADTE2FIKHJLCBMNS1教师让学生把书本翻到95页并讲解正交分解，并通过举例物理中的重力沿互相垂直的两个方向分解，让学1015生明白：如果取互相垂直的向量作为基底，会为我们研究问题带来方便。

-55 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 -1PQR-2-3G-4CDBE3i,FHIJi,

-6LKi,FG4j.AB?,PQ?

与x轴方向平行的向量可以用实数与i的积表示

与y轴方向平行的向量可以用实数与j的积表示

提问：对于既不与x轴方向平行也不与y轴方向平行的向量，如：AB,PQ还能用i、j表示吗？怎么表示？

学生：思考，并讲出自己的想法。

教师总结：不能“单独”表示，尝试“合作”表示，由此可链接哪个知识点（涉及一个向量用另两个向量线性表示）？

学生：平面向量的基底表示

单位向量

i、j是同一平面内两个不共线的向量，故可y43作为基底，而且还具有不同于一般基底的特殊性--(i)单位A21向量|i||j|1；(ii).互相垂直ij

由平面向量基本定理得

1015B5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 -1NABON2i2j

实数对1,2是唯一的。

-2-4设计意图：循序渐进地向学生抛出一个接一个的问题，在不知不觉中学生理解了向量坐标表示的形成过程。分解了本课的难点。

⑤平面向量的坐标表示

-10y43问：在这直角坐标系中，你能否找到分别表示这些向量的相应实数对？

2A1FHBAB2i2j,MNij,PQij,

E55 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 KML-1P（-2 ，-2）

（-1 ，-1）

（1 ，-1）

1015N-2-3QBE3i0j,LKi0j,FG0i4j

（3 ，0）

（-1 ，0）

（0，-4）

因此，平面直角坐标系内的每一个向量都可以按上述方法G-4-6找到唯一的实数对与之对应. 试让学生说说是怎样的方法.

自习（教材P95页）向量坐标表示的定义

特殊向量的坐标表示：

i(1,0),j(0,1),0(0,0)

设计意图：全面铺垫后学生自习定义，形象思维帮助抽象理解，但淡化了平面向量基本定理的应用。通过自己学习向量坐标表示的定义，训练学生自学能力，以及学习的主动性。

y

II.相关练习

4

3

A(2,3)

例1.(1)写出向量BC的坐标，并与OA的坐标进行比较；21C(5,1)10155-3 -2 -1 o 1 2 3 4 -1-2

(2) 写出向量OC,OB的坐标

学生：积极思考，独立完成之后请一同学说出解题过程

教师板演：解：（1）由图知BCOA

BC2i3j,OA2i3j

BCOA(2,3)

（2）OC5ij,OB3i2j

OC(5,1),OB(3,2)

教师提问：（1）比较BC与OA的坐标，你能得出什么结论？

学生经历观察、归纳的过程后得到：相等的向量的坐标相同

（2）比较向量OA,OC,OB的坐标与点A,B,C的坐标，你又能得到什么结论？

“必然”还是“偶然”？“偶然”之中的“必然”又是什么？

学生经历观察、归纳的过程后得到：以原点O为起点的向量OA的坐标与点A的坐标相同

设计意图：该题一方面检查学生是否能够写出向量的坐标，另一方面，通过该题得到上述两个重要的结论。许多结论不应该让学生死记硬背，而应该通过具体的实例，从中观察归纳得到。

y

4

3A(2,3)III.平面向量的坐标运算

2C(5,1)

①由图可知

OCOBBC

15-3 -2 -1 o 1 2 3 4 -1

平面向量的运算

平面向量的坐标运算

-2

如果用坐标表示是如何呢？

B(3,-2)-31015

-4

（5，1）=（3，-2）+（2，3）

教师给出：已知a(x1,y1),b(x2,y2),求ab,ab

-6学生观察后，思考，并得出

ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)jab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2)

并请学生总结向量坐标的加减运算方法：

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

教师给出：已知a(x1,y1)以及实数,求a

学生通过类比得到a(xiyj)xiyj(x,y)并总结得出：

实数与向量的积的坐标表示：

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

设计意图：渗透特殊到一般，猜想到证明的数学思想；

教师要注意板书推导过程，减法以及实数与向量的积运算可让学生自己证明. ②BCOCOB

4A(x1,y1)

(2, 3) = (5, 1) - (3, -1) 3

2

向量OC,OB的坐标与点B,C的坐标相同

1B(x2,y2)5 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 -1-2

教师给出：已知A(x1,y1),B(x2,y2),根据平面向量坐标加1015减法运算求AB的坐标

学生类比特殊得到一般结果：-4ABOBOA(x2,y2)(x1,y1)(x2x1,y2y1)

一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标

-10

IV.相关练习

B(-3,4)4

3

例2.已知a(2,1),b(3,4),求ab,ab,3a4b的坐标

21解:ab(2,1)(3,4)(1,5)，ab(2,1)(3,4)(5,3)

A(2,1)3a4b3(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16)(6,19)

5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 10

-1

设计意图：让学生巩固向量坐标的运算，并让学生体会通过坐标表-2示向量的几何运算转为小学的算术.

（iii）．课堂小结：回顾反思所学内容，你有那些体会和收获？

课内师生可以在课内共同回顾与反思本节课的收获，课外也可以以数学小作文的形式或利用校园网络上的论坛，BBS，博客等让学生就自己认识最深刻的某一个点或某一个具体问题谈谈自己的心得体会，或者提出自己的问题．

设计意图：提出一个问题比解决一个问题更重要．通过师生的共同回顾反思，加强师生交流，拓展师生互动的空间，发挥学生的主体作用，使学生有所思，有所悟．培养学生的学习探究能力，概括总结能力．

（iv）.作业布置

作业本2.3.2