2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学实录

2014级导学案提纲 编号： 编制：秦银建 审核：高一数学组

§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示（导学案）

班级：_________ 姓名：_________ 小组：__________评价：__________ 学习目标：

（1）了解平面向量的基本定理及其意义. （2）掌握正交分解下向量的坐标表示，认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁.

（3）通过本节课的学习，了解先关数学知识的来龙去脉，培养学生的探索研究能力. 重点难点

重点：正交分解下向量的坐标表示.

难点：平面向量的基本定理，正交分解下向量的坐标表示.

一、“导”——导入新课。 [问题导思] 1.

问题1：如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？

F1

F2

G

问题2：平面向量基本定理:

若e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，

有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的 一组基底.

思考:同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？

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【设计意图】进一步明确几个关键点：

(1) 我们把不共线向量e1 ,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1 ,e2的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一.

1 ,2是被a ,e1 ,e2唯一确定的数量．

二、“思”——自主学习。

(结合课本自主学习,完成以下有关内容) 思考1：平面向量的正交分解

把一个平面向量分解为两个互相___垂直___的向量，叫做平面向量的正交分解．

【做一做1】

如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，下列是正交分解的是(

B

)

→＝OB→－OA→

A.AB →＝AB→＋BD→

C.AD

→＝AD→－AB→

B.BD→＝AC→＋CB→

D.AB

思考2：平面向量的坐标表示

(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向___相同___的两个___单位___向量i，j作为___基底___．

(2)坐标：对于平面内的一个向量a，_____有且只有_____一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对___(x，y)___叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在_x___轴上的坐标，y叫做向量a在__y__轴上的坐标．

(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．

(4)特殊向量的坐标：i＝_(1,0)_____，j＝_(0,1)_____，0＝_(0,0)_____.

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【做一做2】

已知基向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，m＝4i－j，则m的坐标是(

A

) A．(4, 1)

C．(4，－1)

B．(－4, 1)

D．(－4，－1) 思考3：向量与坐标的关系

→＝xi＋yj，则向量OA→的坐标___(x，y)___就是终点A的坐标；反过设OA→的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐来，终点A的___坐标___就是向量OA标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是__一一对应______的．

【小结】

向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同．

【做一做3】

平面直角坐标系中，任意向量m的坐标有___且只有一_____个．

三、“议”——学生起立讨论，根据以上学习内容进行小组集体讨论。（8分钟）

1．向量的表示法有哪几种？

解析：向量的表示方法有三种：

①字母表示法：用一个小写的英文字母来表示，例如向量a；也可以用→，该向量的起点是A，上面加箭头的两个大写英文字母来表示，例如向量AB终点是B. ②几何表示法：用有向线段来表示．

③代数表示法：用坐标表示．

2．点的坐标与向量坐标的联系与区别？

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解析：(1)表示形式不同，向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．

(2)意义不同，点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量a＝(x，y)．

(3)联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同．

题型一 求向量的坐标

【例1】如图，分别用基底

i ，j

表示向量

a 、b

、c

、 d

，并求出

它们的坐标。

四、“展”——学生激情展示，小组代表或教师指定学生展示。

五、“评”——教师点评，教师总结规律，点评共性问题，或拓展延伸。

六、“检”——课堂检测。

1.已知i、j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,若a=(3,4),则a可以用i、j表示为( A ).

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A. a=3i+4j

B. a=3i-4j

C. a=-3i+4j

D. a=4i+3j

2.已知a,b是不共线的两个向量,m、n∈R且m

a+n b=0,则( B ). A. a= b=0

B.m=n=0 C.m=0, b=0 D.n=0, a=0 3.已知i、j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,若a=3(i+j)+6(-i+j),则a的坐标为( B ). A.(3,6)

B.(-3,9) C.(3,9) D.(-3,-9) 3.已知a、b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1等于( A ). A.0

B.1

C.-1

D. λ2

4．已知a＝(3,2x－1)，b＝(y＋1，x)，且a＝b，则xy＝___2_____. 5．如图所示，向量MN的坐标是__(2,—3)______．

[来源:学,科,网]

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