探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质特级教师教学实录

三角函数线与正余弦函数教学设计

蠡县第二中学

宋向娜

一 教材的地位和作用：

本节课是一节探究与发现课，位于人教A 版必修四第一章， 是在学习了三角函数线和三角函数的图像和性质之后引导学生利用三角函数线来研究三角函数的图像和性质的。具有承上启下的作用，体现了数形结合的数学核心素养。

二 教学目标：

知识目标：1.复习三角函数线的定义、利用三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切等三角函数值同时探究利用三角函数线来研究正余弦函数的图像和性质。 能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的图像和性质有更深的理解。培养学生的阅读能力、总结、归纳能力；使学生养成自觉运用几何方法解决代数问题的能力；、

培养学生空间想象能力和思维能力；培养学生发散性思维能力思想目标：培养学生的数形结合思想。

德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的精神； 三 教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。

四 教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。 五 授课类型：探究课

六 教学模式：引导学生自主探究

七 教 具：多媒体。

八 教学过程：

（一）、复习回顾，新课引入：[来知识回顾，新课引入

1．三角函数在单位圆中定义

如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y叫做的正弦(sine),记做sin,即siny；

（2）x叫做的余弦(cossine),记做cos,即cosx；

（3）yy叫做的正切(tangent),记做tan,即tan(x0). xx注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x,y)，从而就必然能够最终算出三角函数值.

2．三角函数的普遍定义

如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(x,y)，22它与原点的距离为r(r|x||y|x2y20)，那么

yy叫做α的正弦，记作sin，即sin；

rrxx（2）比值叫做α的余弦，记作cos，即cos；

rryy（3）比值叫做α的正切，记作tan，即tan；

xx（1）比值说明：①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点P(x,y)在α的终边上的位置的改变而改变大小；

③当2k(kZ)时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，

y无意义；

x

所以tan④sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余几个符号也是这样. 正弦、余弦、正切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

3．教师提前在黑板上画出四个角，分属于四个不同的象限，叫四名同学实际作出各个角的三个不同的三角函数线

设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(x,y)，

过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点T.

y

T

P

A

o

M

x

Ay

P

M

y

y

T

A

oxM

o

x

o

M

A

x

T

（3）

（1）

由四个图看出：

当角的终边不在坐标轴上时，有向线段OMx,MPy，于是有

（2）

P

P

T

（4）

sin

yMPATyyxxAT

yMP，

cosxOM，tanxOMOAr1r1

我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。

说明：

（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。

（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值。

（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

（二）

互动探究，形成概念：

思考1：当角α的终边在第一象限时，角α的正余弦与Ｐ的纵、横坐标y、x之间有何关系？正弦线余弦线如何变化呢？

思考2：当角α的终边在第二象限时呢？

思考3：当角α的终边在其他象限时呢？当角α的终边从零度角旋转一圈呢？

由问题１、２、3你能重新画出角α的正余弦函数的图象吗？你能重新理解正余弦函数的周期性、奇偶性与单调性吗？说说看。

[问1]正弦函数在什么情况下取到最值？最值是什么？

[设计意图]引导学生利用三角函数线思考。

[师生活动]先让该学生回答，不完整或不会再由其他学生补充。学生叙述完整后教师板书：

对于正弦函数ysinx,xR

(1)当且仅当x22k,kZ时,y取得最大值1. (2)当且仅当x22k,kZ时,y取得最小值-1. 生2：正弦函数的值域为[-1,1] 生3：正弦函数的图像关于原点对称，即为奇函数。

[追问]你能用代数和几何方法来证明正弦函数为奇函数吗？

[设计意图]让学生学会从数与形来理解函数的奇偶性。

[师生活动] 先让该学生回答，不完整或不会再由其他学生补充。

生4：图像有上升下降的变化趋势，即函数有单调性。

正弦函数在每一个闭区间[间[22k,22k](kZ)上都是增函数,;在每一个闭区22k,32k](kZ)上都是减函数. 2[追问]你能给大家解释一下你是如何得到的吗？

[设计意图]说明如何研究周期函数的单调性

[师生活动] 先让该学生回答，不完整或不会再由其他学生补充。学生叙述完整后教师板书结果。此处要让学生明白为什么要取[32,2]来研究。

生5：图像除了原点外还有其他的对称中心，即图像与x轴的交点(k,0),kZ

生6：图像还是轴对称图形，对称轴为x2k,kZ

此处学生如果回答的不全，可以适当补充，并说明对称中心与对称轴的特点。完整后板书结果。

问题3:类似地,你能写出余弦函数的性质吗? [设计意图]让学生仿照正弦函数的研究方法类比写出余弦函数的性质。

[师生活动]给学生一定的时间写出余弦函数的性质，并由一位学生上黑板写出来对答案。

（三）．实例探究

概括步骤：

例一

(1) 解方程

1sinx

2

(2) 解不等式

1 sin≥ 2 tan123

3y 30T

o A

x y 解： 1 2

P2 P1

o x

210

(四）

讲练结合，巩固新知

1 比较sin1 cos1 tan1的大小关系。

2 若在



ABC

中

sin





cos





1

试判断三角形的形状。

12sin10cos103 化简

（五）

共同小节

布置作业

知识方面：

1.三角函数线的概念及做法；

2.应用三角函数线研究三角函数的图像和性质。

思想方法方面：

1.数形结合

2.分类讨论

（六）、教学总结：

本节课学习了以下内容：

1．三角函数线的定义；

2．会画任意角的三角函数线；

3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。

七 板书设计：

一、复习引入

课

三、典例探究

例1（6分钟）

变式

例2（6分钟）

四、随堂训练

（8分钟）

五、课堂小结

（2分钟）

题

（15分钟）

学（生板演

3分钟）

二、探究知识生成