信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表课堂实录【1】

人教A版必修4《3.1两角差的余弦公式》

一、教材分析

1.教材的地位与作用：

《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。

“两角差的余弦公式”是三角函数线和诱导公式等知识的延伸，是两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式等知识的基础。对三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等问题的解决有重要的支撑作用。

2.学情分析 学生已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。但学生的逻辑推理能力毕竟有限，要发现并证明公式C(α-β)有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流，探索两角差的余弦公式，完成本课的学习目标。

3.教材处理

遵循教材安排意图为原则，让学生体会由特殊到一般的思维过程，即先用数形结合的思想，借助单位圆中的三角函数线，推出角α，β，α－β均为锐角时公式成立。对于α，β为任意角时的情况，运用向量的知识进行探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握。然后通过有梯度的练习、变式训练、分层作业等巩固公式。

4.教学重点、难点

重点：两角差的余弦公式的推导过程及简单应用

难点：两角差的余弦公式的猜想与推导，探索过程的组织和引导。

二、目标分析：

根据《普通高中数学课程标准》（实验）和新课改的理念，为了体现新课标让学生经历“学数学，做数学，用数学”的理念，我从知识、能力和情感三个方面制订了教学目标。

1.知识目标

①.掌握运用单位圆中的三角函数线和向量的方法推导两角差的余弦公式. ②.掌握公式的结构和特点，能够简单运用公式.

①.在公式探究过程中体会从特殊到一般，数形结合、分类讨论等多种数学思想. ②.通过公式的探究、灵活运用，培养学生分析问题、解决问题的能力. 3.情感目标

①.通过公式的推导论证过程，培养学生学习数学的严谨

、求实的科学态度. ②.让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神. 三、教学过程分析

数学教学是数学活动的教学。因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节：

1.

创设情境，导入新课

[引例1]某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,小山高BC约为30米,在地平面上有一点A,测得A、C两点间距离约为67米,从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度. [引例2]（1）能不能不用计算器求值

：cos45

，cos30

，cos15

（2）cos(450300)cos450cos300是否成立？

【设计意图】从课本章头实际问题作为情境，引入课题，这有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性。同时提出本章的研究课题。

⑴.实际问题中存在研究像tan（45°+α）这样包含两个角的三角函数的需要；

⑵.实际问题中存在研究像sinα与tan（45°+α）这样包含两角和的三角函数与单角α，45°的三角函数的关系的需要；

2.探索公式，建构新知

⑴.问题：如何用角α、β的正弦、余弦值来表示cos（α－β）呢？从而引入本节课的课题----两角差的余弦公式。

凭直觉得出cos（α－β）=cosα－cosβ是学生经常出现的错误。引导学生利用特殊角检验，产生认知冲突，从而激发学生探究两角差的余弦公式的兴趣。

引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单

位圆中，角的正弦值、余弦值可用正弦线、余弦线来表示．

⑵.引导学生讨论最简单的情况：、为锐角，且，作出单位圆后，

提出问题让学生思考：

①

怎样作出角α、β

000

②

怎样作出角α－β的余弦线？

③

角α、β的正弦值、余弦值如何在图中表示出来？

④

得到余弦线后，它等于哪些线段的和？

⑤

这些线段与角α、β的正弦线余弦线有何关系？

让学生利用几何直观寻求余弦线的表示，通过合作、交流、讨论，教师引导学生得出结论：Ycos()coscossinsin

Ap11.三角函数线法：

问：①怎样作出角、、的终边。

②怎样作出角的余弦线OM

③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。

设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。

OCβαBα-βPMX（1）

设角终边与单位圆地交点为P1，POP1,则POx。

（2）

过点P作PM⊥X轴于点M，那么OM就是

的余弦线。

（3）

过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于B，过点P作PC⊥AB于C

那么，OA表示

cos，AP 表示sin，并且PACPOx.

1于是

OM=OB+BM =OB+CP=OAcos+APsin=coscossinsin

最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件：、、都是锐角，且

2：（利用向量）

启发思考：我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？

（引导学生发现，提出证明方法）

（学生：向量的数量积！）

(cos,sin)

-1 A -1 0 y 1 B(cos,sin)

1 x

证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角、，它们终边与单位圆O的交点分别为A、B，则：

OA=(cos,sin)，OB

=(cos,sin)

cos()OAOB|OA||OB|(cos,sin)(cos,sin)

=coscossinsin

∴cos()=coscossinsin

（0≤≤）

方法小结：对比一下两种证明方法，你认为哪种更简单？向量在我们数学探究过程中是一种非常简洁有效的工具，在今后的学习中我们还将继续领悟向量在数学探究过程中的魅力！

思考：1、作为两向量的夹角，有没有限制条件？

2、如果不在［０，］这个区间内，我们的结论还会成立吗？怎样给出证明？（展示幻灯片，引导学生找到与夹角之间的关系）

推广完善：令为OA、OB的夹角，

①

当[0,]时，则

cos()coscoscossinsin

②

当[0,]时，则存在k、mZ，使得

2k或2m

无论哪种情况，都有cos()cos

即cos()coscoscossinsin

小结：两角差的余弦公式：

cos()coscossinsin

（其中、为任意角，简记为C()）

思考：请同学们仔细观察一下公式的结构，说说公式的结构有什么特点？应怎样记忆？（对学生的回答给予及时肯定）

4π5例2.已知sinα=

，α（

，π），cosβ= -

，β第三象限角，求cos（）的值5213 （让学生联系公式C和本题的条件，考虑清楚要计算cos，应作那些准备。） 3442解：由sin,,，得cos1sin1

555251252又由cos，是第三象限角，得sin1cos1

131313所以coscoscossinsin()2235335412

1351365让学生结合公式cos()coscossinsin，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。

变式训练：已知sin15，是第二象限角，求cos（）的值

173

质疑答辩，排难解惑，发展思维 1.利用两角和（差）的余弦公式，求cos750,cos1050

【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos1050cos(1500450)，要学会灵活运用. 2)

2.求值

cos75cos30sin75sin30 (200003．化简cos()cossin()sin (cos)

115（）4.已知，为锐角，cos，sin（）3

，求cos

2714提示：利用拆角思想coscos[()]的变换技巧

（设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。）

课堂小结，作业布置

⑴小结

1）.公式探究的一般步骤：特殊→猜想→证明

2）.在运用两角差的余弦公式时应注意：

①根据角的范围，确定两角正、余弦值的正、负．②适当逆用公式，可达到

化简计算的目的．③灵活选取两角的形式，活用公式．

【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构. ⑵作业布置

习题3.1

A组2、3、4、5 选做题：已知sin45，cos，其中0,，是第三象限角，求513cos()。

【设计意图】作业设计是为使学生进一步掌握和巩固本节课的重点内容，选做题的设计是为了培养学生的创新思维能力同时充分体现分类讨论的思想。

六、教学评价分析

1.本节课采用“创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题”的过程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。

2. 在得到两角差的余弦公式后，使学生进一步体会代数思想的深刻性。通过对公式的认识，例题的讲解，变式的强化训练，可以加深学生对公式特征的印象，及灵活应用公式解题的能力。

3.

在教学手段上使用多媒体技术，使重点得到突出，抽象变得直观，有效增加课堂容量，激发学生的学习兴趣，提高教学效率。

4.面对不同程度的教学对象，在教学时间上和作业的布置中，突出了学生学习的个体差异现实，但也要视教学对象的接受程度进行灵活的删减。