信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表国家优质课一等奖

课题：两角和与差的正弦

一、考点突破

知识点

课标要求

1. 能利用两角和与差的余弦公式及诱导公两角和与差的正弦

式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式；

2. 能利用公式解决简单的化简求值问题

填空

解答

题型

说明

由两角和与差的余弦推导两角和与差的正弦体现了化归思想。至本节课恒等变换共有四个公式，公式越多，给我们灵活运用的空间越大。

二、重难点提示

重点：两角和与差的正弦公式的推导及利用公式化简求值。

难点：灵活运用公式进行化简求值。

重难点突破：

一、如何推导出两角和与差的正弦公式

sin（α＋β）＝cos[－（α＋β）]＝cos[（－α）－β]＝cos（－α）cos β＋sin（－2222α）sin β＝sin αcos β＋cosαsin β即sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ。

把公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsin β中的β用－β代替，

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ。

（1）两角和的正弦公式：

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

（α，β∈R）；

（2）两角差的正弦公式：

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

（α，β∈R）。

【要点诠释】

1. 公式记忆

（1）理顺公式间的逻辑关系

C（α＋β）

C（α－β）S（α＋β）S（α－β）．

（2）注意公式的结构特征和符号规律

对于公式S（α－β），S（α＋β）可记为“异名相乘，符号同”，即两角和与差的正弦公式右边是两角的正弦与余弦的积、余弦与正弦的积，且中间的符号与左边的符号相同。

2. 应用公式需注意的两点

（1）要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式；

（2）注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式。

二、辅助角公式

形如asinxbcosx的三角函数式，当a,b为特殊值时，可以进行三角函数式的化简，

比如sinx3cosx，可以化为2(sinx的最值、单调区间、周期等问题。

123cosx)2sin(x)，由此可以求出函数23一般的结论为asinxbcosxa2b2sin(x)，

其中cos般要求）

aa2b2,sinba2b2,tanb，称之为辅助角公式。（超出教学的一a

通关例题

：

cos 67°sin 67°例题1

求sin 157°＋cos 23°的值。

思路分析：题中所给的形式与公式有差异，应先由诱导公式化角，再逆用公式求值。

答案：原式＝sin（180°－23°）cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°

＝sin（23°＋67°）＝sin 90°＝1。

技巧点拨：

对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：

（1）化为特殊角的三角函数值；

（2）化为正负相消的项，消去，求值；

（3））化为分子、分母形式，进行约分再求值。

例题2

已知3123

＜β＜α＜，cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，求sin 2α的值。41352

思路分析：观察出角的关系，即2α＝（α－β）＋（α＋β），然后求出sin（α－β）和cos（α＋β）的值，利用两角和的正弦公式求出结果。

3＜β＜α＜，

423所以0＜α－β＜，π＜α＋β＜，

42123又cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，

135答案：因为2所以sin（α－β）＝1cos()

＝1（1225）＝，

1313354，

52cos（α＋β）＝－1sin()

＝－1（）＝－2所以sin 2α＝sin[（α－β）＋（α＋β）] ＝sin（α－β）cos（α＋β）＋cos（α－β）sin（α＋β）

＝5412356×（－）＋×（－）＝－。

13513565技巧点拨：

解答此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来，一般要注意以下几方面：

（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两“已知角”的和与差的形式。

（2）当“已知角”有一个时，应注意“所求角”与“已知角”的和与差的形式，“所求角”再用诱导公式变成“已知角”。

（3）角的拆分方法不唯一，应根据题目合理拆分。

（4）用同角三角函数的基本关系式求值时，一定要注意角的范围。

例题3已知0＜α＜25310，－＜β＜0，sin α＝，cos β＝，求α＋β的值。

22510思路分析：解决本题的关键是根据已知条件，分别求出角α的余弦值与β的正弦值，再由和角的正弦公式求出sin（α＋β），从而可根据α＋β的范围求出α＋β的值。

25，sin α＝，

255∴cos α＝1sin2＝，

5310又∵－＜β＜0，cos β＝，

210102∴sin β＝－1cos＝－，

10253101052∴sin（α＋β）＝×＋×（－）＝，

5101052又∵0＜α＜，－＜β＜0，

22∴－＜α＋β＜，

22∴α＋β＝。

4答案：∵0＜α＜技巧点拨：

已知三角函数值求角的步骤：

（1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围。

（2）求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数。

（3）结合三角函数值及角的范围求角。

易错点剖析

忽略限制角范围的条件致误

【满分训练】

105，sin β＝，0＜α＜，0＜β＜，求α＋β的值。

22105105【错解】∵sin α＝，sin β＝，0＜α＜，0＜β＜，

2210525310∴cos α＝，cos β＝，

510已知sin α＝

∴sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝105310252×＋×＝，

5105102，0＜β＜，

223∴0＜α＋β＜π。∴α＋β＝或。

44∵0＜α＜【错因分析】错解原因在于没有利用三角函数值缩小角的范围，从而导致出现两个解的错误。

【防范措施】对于已知三角函数值求角的大小问题，注意以下两个步骤缺一不可：

（1）根据题设条件求角的某一三角函数值；

（2）讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小。

【正解】∵sin α＝10255310，sin β＝，0＜α＜，0＜β＜，∴cos α＝，cos β＝，

2210551011105又sin α＝＜，sin β＝＜，

10522∴0＜α＜，0＜β＜，0＜α＋β＜，

442∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β

253101052×－×＝，

5101052∴α＋β＝。

4＝