小结名师教学设计1

平

面

向

量

复

习（一）

【复习目标】

1掌握向量的相关概念: 2会进行向量的基本运算

3理解平面向量之间关系及平面向量的基本定理

【复习重点】向量的基本运算

【复习难点】理解平面向量之间关系及平面向量的基本定理

复习内容 一、向量的相关概念:

1)定义

2)重要概念：

（1）零向量：

（2）单位向量：

（3）平行向量：

（4）相等向量：

（5）相反向量：

3)向量的表示

4)向量的模（长度）

二、向量的运算

1）加法：①两个法则

②坐标表示

减法:

①法则

②坐标表示 ，运算律

2)实数λ与向量

a 的积

3)平面向量的数量积：

(1)两向量的夹角定义

(2)平面向量数量积的定义

(3)a在b上的投影

(4)平面向量数量积的几何意义

（5）平面向量数量积的运算律

三、平面向量之间关系

（1）向量平行(共线)条件的两种形式: （2）向量垂直条件的两种形式: （3）两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等. 四、平面向量的基本定理

注:满足什么条件的向量可作为基底?向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。

重要概念：

零向量：长度为0的向量，记作0.

1

（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：长度相等且方向相反的向量. 一、向量的相关概念

（一）、向量表示及运算：几何表示

，字母表示

，坐标表示

1、向量的模（长度）即向量的大小,记作|a| ；向量的表示方法: _________

2、向量的加法: 平行四边形法则；三角形法则(首尾相接)

，平行四边形法则

，

坐标表示:a + b = (x1+ x2，y1+ y2)．

运算律：交换律；结合律。

3、向量的减法: 三角形法则(指向被减数)．

坐标表示:

a - b = (x1- x2，

y1- y2)．

4、

(1)实数与向量的积:λa．规定:1) |λa| =|λ||a| ; 2) λ＞0时与a同向; λ＜0时与a反向; λ=0时, λa = 0;

坐标表示:λa=(λx，λy)．

运算律：λ(μa ) = (λμ)a ; (λ+μ)a = λa +μa ;λ(a + b ) = λa +λ

b.

5、平面向量的数量积

1）、

（1）a与b的夹角：

共同的起点

（2）向量夹角的范围： [00

，1800]

（3）向量垂直：

（4）两个非零向量的数量积：

• 规定：零向量与任一向量的数量积为0

几何意义：数量积

a

·b

等于：

2）、数量积的运算律：

⑴交换律： a

b



b



a

⑵对数乘的结合律： (a)

b

(a

b)



a

(b)

⑶分配律：

(a



b)

c



a

c



b

c 数量积不满足结合律

即: (a

b)

c



a

(b

c) 3）、平面向量数量积的重要性质

a,b为非零向量，e为单位向量

2

•

•

（1）e · a

=

a

·

e

=|

a |

cosθ

（2）a

⊥

b的条件是

a

·

b

=0

(3)

当

a与b同向时，

a

· b = |a | | b | ;当

a

与b

反向时，a

·

b

= - |a | | b特别地：a

·

a=| a |

2

或

| a | =_____________

（4）cosθ=

（5）|

a·b

| ≤ |

a | | b|

二、平面向量之间关系

向量平行(共线)条件的两种形式:

(1)a // b(b

 0) 

a

b;

(2)a // b(a

 (x1 , y1 ), b

 (x2 , y2 ), b

 0) x1 y2

 x2 y1



0

向量垂直条件的两种形式:

(1) a



b



a



b

 0

( 2 ) a



b



a



b



x1

x

2



y1

y

2

 0 （3）两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等. 那么

a



b



x1



x2且y1



y2

三、平面向量的基本定理

如果

e

1

,

e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向

量 a，则______________

例1. 已知a = (1, 2),b = (3, 2),当

k

为何值时, ( 1)

ka + b

与

a

3 b

垂直; (2)

ka + b与

a

3 b平行, 平行时它们是同向还是反向?

3

例2.

已知向量a,b 不共线．

→

→

→(1)若

AB= a b,

B

C= 2 a 8 b, C

B=(a +b), 求证A、

B、D共线; (2)若

ka 

b

与

a

kb 共线,求实数

k

的值。

练习1.

1.

若a

 0，b 0，则a

b

 0

2.

若a

b

 0，则a

0或b

 0 3.若a

b



ac，且a 0，则b c

练习2. 设AB=2(a+5b),BC=-2a+8b,CD=3(a-b),

求证：A、B、D

三点共线。

4