阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质优秀获奖教案

课题：两角差的余弦公式

平江二中

余胜荣

【三维目标】

1、知识与技能：通过让学生猜想、探索、发现并推导“两角差的余弦公式”；了解单角与复角的三角函数之间的内在联系；通过变式训练，加深对两角差的余弦公式的理解；培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质。

2、过程与方法：运用两角差的余弦公式，会进行简单的求值、化简、证明；体会化归、数形结合等数学思想在数学当中的运用，使学生树立联系与转化的辨证唯物主义观点，提高学生分析问题、解决问题的能力。

3、情感态度与价值观：本节课通过创设问题情景，使学生体验科学探索的过程，感受科学探索的乐趣，激励科学探索的勇气，培养学生的创新精神和良好的团队合作意识。

【教学重点】

通过探究得到两角差的余弦公式。

【教学难点】

两角差的余弦公式猜想和发现是一个难点，几何证明也是一个难点。

【教学方法】

问题式互动教学方法

【教学过程】

一、情境引入

复习师：同学们，在第一章我们学习了三角函数以及同角三角函数式的变换，现在我引入，体现们一起来答下面问题。

数学的逻辑连贯性，增强学生的应用意识，让学生体会数学知识的产问题1、cos(2)

，cos()

，cos()

。

2问题2、cos()？

cos()？

4生：齐声回答上述问题。（问题2回答不上来），

师：那我们今天就来研究一下两角差的余弦。板书课题《两角差的余弦公式》。

设计意图：由学生已有知识出发，从联系与变换的角度自然提出最为接近研究水平的问题，增强学生的问题意识。不直接提出研究，使问题探究生、发展过更为真实自然；不用课本上的问题情境改为开门见山直奔主题，能为学生在情境程．

理解上节省时间，更快贴近教学主题。

1

二、合作探究

师：由上面的几个公式分析可以知道，cos()的公式的形式应该与cos,cos,sin,sin均有关系？他们之间存在怎样的代数关系呢？请同学们根

鼓励学生发挥想象力，大胆猜测，然后再去验证其合理性，增强学生探索问题、挑战困难的勇气．依据特殊情况进行猜想往往是人们P1 A C 据下表中数据，小组内相互交流讨论，并提出你们的猜想．

令120,30则cos()cos(12030)cos90＝0

三角函数

三角函数值

cos120

cos30

sin120

sin30

1

23

23

21

2学生再举特例进行验证．（各抒己见）

三、提出猜想：

生：cos()coscossinsin

当然学生也有可能有其他的猜想，只需举出反例否定即可。

师：要让猜想更有说服力，我们还要进行理论证明。下面我们来对我们的猜想进行证明。

设计意图：让学生体验如何用反例进行反驳，同时搞清错因避免以后犯类似错误。

四、理论证明：

师：引导探究，研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，构造直角三角形来研究。

我们先来讨论最简单的情况：

问题1：如图，设α，β为锐角，

且α＞β，角α的终边与单位圆

的交点为P1, ∠P1OP＝β，那么

cos(α－β)表示哪条线段长？

生：cos(α－β)=OM 问题2：如何用线段分别表示sinβ和cosβ？

生：过P作OP1的垂线，垂足为A，则sinβ＝PA，cosβ＝OA 问题3：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段长？sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？

生：过A作x轴的垂线，垂足为B，则cosαcosβ＝OB。过P作AB的垂

y 1 探索问题的第一步．

P

鼓励学生对各种M 1 x O B 可能的情况进行探索，培养他们的交流合作意识，2

线，垂足为C，则sinαsinβ＝CP。

问题4：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？

生：cos()coscossinsin

师：我们把上述问题连起来就形成了一个证明过程，具体的可以参考教材P125。

方法小结：在整个证明过程中，我们通过几何的手段，得到了一个代数公式，这运用到了在数学探究过程中一种重要的思想方法：数形结合．

在探索的过程中获得成就感．

引导学生运用数形结合的师：当、取任意角的时候，结果又会怎样呢？大家思考一下．（给学生思思想给出考的时间，要求学生说出自己的思考结果．若学生说出来要给予及时的肯定，若证明．

没能说出则作为课后思考作业）．

方法二：（利用向量）

加强新师：启发思考：我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我旧知识的们在什么地方见到过类似结构？

（引导学生发现，其结构是数量

积的结构提出证明方法）

(cos,sin)

（学生：向量的数量积！）

证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角、，它们终边与单位圆O的交点分别为A、B，则：

OA=(cos,sin)，OB

=(cos,sin)

cos()OAOB|OA||OB|(cos,sin)(cos,sin)

-1 A -1 0 y 1 联系．

B(cos,sin)

使学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识．

让学生经历用向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量方法3 1 x

=coscossinsin

∴cos()=coscossinsin

方法小结：对比一下两种证明方法，你认为哪种更简单？向量在我们数学探究过程中是一种非常简洁有效的工具，在今后的学习中我们还将继续领悟向量在

数学探究过程中的魅力！

问题1：

α-β作为两向量的夹角，有没有限制条件？

生：0

问题2：向量的夹角θ与α、β具体有什么关系？

α的终边

的作用．

y A θ

B β的终边

O x β的终边

y B θ

α

运用分类讨论思A α的终边

x

想．

O 生：α＝2kπ＋β＋θ或β＝2kπ＋α＋θ

即θ＝2kπ＋β－α或θ＝2kπ＋

α－β

问题3：公式cos()coscoscossinsin对任意角

α、β都成立吗？

生：成立，因为cosθ＝cos(2kπ＋β－α)=cos (α－β)或cosθ＝cos(2kπ＋

α－β)=cos (α－β)

推广完善：令为OA、OB的夹角，

①

当[0,]时，则

cos()coscoscossinsin

要求学②

当[0,]时，则存在k、mZ，使得

2k或2m

无论哪种情况，都有cos()cos

即cos()coscoscossinsin

五、评议小结：

生对公式的形式加师：问题：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ称为两角差的余以分析，体弦公式，记作C()，该公式有什么特点？如何记忆？应怎样记忆？（对学生的会数学中回答给予及时肯定）

生：（1）任意角

（2）同名积

（3）符号反

的对称美．

4

六、随堂检测

1、利用两角差的余弦公式求cos15的值．

2、

已知sin

3、

求

及时检测学生对新知的掌45,(,),cos,是第三象限角，求cos()．

5213握程度，及时采取相应措施

13cos15sin15的值

221、记忆公式，简单运用。

2、运用公式时应注意单角的取值范围。

3、对逆用公式解题加深认识。

4、活用公式，加深学生对公式中两角形式变化的认识，强化整体思想．

154、已知cos(30),为大于30的锐角,求cos的值。

17七、回顾总结

师：我们一起来回顾总结一下今天这节课的收获．

1、公式探究的一般步骤：

特殊→猜想→证明

2、两角差的余弦公式有何特点：

（1）任意角

（2）同名积

（3）符号反

3、运用两角差的余弦公式时应注意：

（1）根据角的范围，确定两角正、余弦值的正、负．

（2）适当逆用公式，可达到化简计算的目的．

（3）灵活选取两角的形式，活用公式．

八、作业布置：

1、适当变换两角差的余弦公式中两角的形式，例如取，你能得到哪为下堂课些结论？

2、课堂作业：P137

2、3、4

5 作铺垫。

【板书设计】

两角差的余弦公式

1、两角差的余弦公式

（1）公式：

（2）记忆口诀：

2、公式的应用：

（1）正用：

（2）逆用：

作业布置

【教学反思】

本课通过让学生猜想、探索、发现并推导“两角差的余弦公式”，充分调动学生以自主、合作的方式探究出两角差的余弦公式。公式的理论证明是本课的难点所在，我采用了两个方法加以证明，其中几何方法难度较大略讲之，向量方法作为重点讲解与探究。对于公式的应用从正用与逆用两个角度来设计出题。至于公式的熟练掌握学生课后还得多加以练习。

公式的推导

随堂检测

6