2.1.3 相等向量与共线向量教学实录

平面向量基本定理

教学设计

韩月

一、内容和内容解析

内容：平面向量基本定理。

内容解析：向量不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具。从问题中抽象出向量模型，再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果，是利用向量解决问题的基本特征。（平面向量的概念、向量的运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示是平面向量的主要内容。）平面向量基本定理是向量进行坐标表示，进而将向量的运算（向量的加、减法，向量的数乘、向量的数量积等）转化为坐标的数量运算的重要基础，同时，它还是用基本要素（基底、元）表达和研究事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合）的典型范例，对于人们掌握认识事物的方法，提高研究事物的水平，有着难以替代的重要作用。

二、目标和目标解析

1．理解平面向量的基底的意义与作用，利用平面向量的几何表示，正确地将平面上的向量用基底表示出来。

2．通过不同向量用同一基底表示的探究过程，得出并证明平面向量基本定理。

3．通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念。

4．平面向量基本定理建立了平面上的向量集合与二元有序数组的集合之间的对应关系（这种对应关系建立了非数对象与数（或数组）之间的一种映射），通过这种对应关系，我们可以将向量的运算转化为数的运算，由此达到简化向量的运算，这是数学的一种基本方法。

5．体会用基本要素（元）表示事物，或将事物分解成基本要素（元），由此达到将对事物的研究转化为对基本要素（元）的研究，通过对基本要素的内在联系的研究达到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。

三、教学问题诊断分析

1．如何处理共线向量定理与平面向量定理之间的同异点及联系是教学平面向量基本定理时的关键问题，也是理解不同维数的“向量空间”，体会高维空间

向低维空间转化的重要机会与途径。因此，教学时应该从共线向量定理的意义与作用入手，探求平面向量用相同向量（基底）统一表示的方法。

2．利用向量加法的平行四边形法则，将平面上任一向量用两个不平行的确定向量（即基底）表示出来是教学中应该关注的另一个关键问题。教学时，让学生听教师讲解是一种处理方法，如果能结合力的分解，启发学生联想到用平行四边形的加法法则进行向量分解，可能会有更大的收获。当然，在进行这个关键问题的教学时，可能会涉及平行投影等知识与方法，可根据不同的学生对象进行取舍。

四、学生学习行为分析

1．学生对向量加、减法及数乘等运算的意义与作用认识不够，容易将向量的运算与数的运算混淆。

2．对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。

3．如果不加启发与引导，学生是不会从“基底”、“元”、“维数”这些角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵，也难以认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用。

五、教学支持条件分析

1．学生的认知基础：对平面向量与数量的“同异点及联系”有一个基本认识，会用有向线段表示向量，掌握了向量的加法运算与数乘运算。

2．教学设备：几何画板，幻灯片，尽可能准备实物投影设备。

六、教学过程设计

问题1：

对平滑的斜坡上受重力下滑的物体，你能将引起下滑的重力分解成哪几个力？

意图：由重力可以分解为下滑方向的力与垂直斜坡向里的力的和，体会向量的分解，向探究任意向量的分解（即基底表示）过渡。

师生活动：学生说，教师引导并表述结论。

问题2：

取一个与向量a和b都不平行的向量c，那么向量c可以用向量a和b表示出来吗？

意图：得出平面向量基本定理的内容。

师生活动：教师引导，学生独立探究，教师在学生的探究所获得的结论的基础上，总结出平面向量基本定理。

问题3：

利用平面向量基本定理，你能解决下面问题吗？

如图在平行四边形ABCD中, , 与相交于, 求证: .

解析：设BAa，BCb，则BFBDab，同时，由BA,BE,BF三个向量的终点共线，故有

1BFxBA(1x)BExa(1x)b

31所以，xa(1x)bab，从而

3

所以，.

意图：这个问题是一个相当简单的问题，用相似三角形之间的比例关系就可以解决。这里的目的，是以这个熟悉而且简单的问题，让学生感受平面向量基本定理的重要作用，体会向量的应用，加深对平面向量基本定理的认识。

师生活动：教师启发引导学生思考，给出解决这一问题的严谨过程，给学生一个利用向量解决问题的示范。

教师引导学生总结上述解决问题的方法的步骤，一方面使学生明确这一方法与平面几何方法的差异：由于数量及其运算的引进，使得我们的算法更容易表达和操作了；另一方面为今后学习算法留下案例，引导学生从算法的角度思考并解决问题。

此处要再配一些题目，训练学生以学会用基底表示非基底向量。

问题4：

如果一个问题中没有向量（结合问题3中的平面几何问题考虑），但可以考虑用向量来解决它，你会按怎样的步骤来实现？

意图：加深对平面向量基本定理的理解，将向量方法总结为一个算法。

师生活动：学生先思考，让学生发表意见，教师总结出向量方法的算法步骤。

问题5：

你能结合问题1、问题2与平面向量基本定理，谈谈你的认识吗？

意图：进行本节课的小结。

师生活动：学生先谈，教师给出总结：

世界上具有某种共同属性的事物总有决定它的基本要素，如果我们能找出这些要素并用它来表示这一类事物，那么我们就能通过研究这些基本要素来研究这一类事物，这是一种基本方法。平面向量基本定理为我们建立了一个示范，它告诉我们，今后利用向量研究问题，我们关注更多的是基底是什么，如何将有关向量用基底表示出来。当向量用基底表示后，一个向量与其它向量的区别就在于基底前的系数的区别，这使问题中的各种关系在转化为向量间的关系后，又进一步地转化为有序数组之间的关系，从而可以利用数量的运算来研究问题，使问题的解决更容易，更彻底。

七、评价设计：

1．AB的中点，G是如图所示，D、E、F分别是的边BC、CA、的重心，请将GA、GB、GC用BA、BC表示出来，并探究GA、GB、GC之间有什么关系？

2．请用向量的方法，探究三角形内部的其它一些特殊点的性质。