复习参考题课时教学实录

教学设计

本章复习

整体设计

知识网络

1．本章知识网络结构如下：

2．本章知识归纳整合

(1)基本概念与运算

①向量既有大小，又有方向，这两者缺一不可．零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但稍不注意就会出错，所以要正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．

②在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．

③向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则是统一的，两种方法得到的是同一个向量．向量的减法按三角形法则，一定要注意向量的方向．

④两个向量长度的和(差)不一定等于这两个向量和(差)的长度，因为向量的加(减)实施的对象是向量，而长度是数量，长度的加(减)法是数量的加(减)法．

⑤向量的数乘运算，应侧重于以下几个方面：数与向量的积仍是一个向量；要特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0；向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．

(2)基本定理及其坐标表示

①平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量e1和e2，平面内的任何一向量a都可以用向量e1、e2表示为a＝λ1e1＋λ2e2，并且这种表示是唯一的．平面向量基本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1、λ2的代数运算，而且为利用待定系数法解题提供了理论基础．

②在利用平面向量基本定理时，一定要注意不共线这个条件．

③平面向量坐标表示的理论基础就是平面向量的基本定理．在引入向量的坐标表示以

后，向量的运算完全化为代数运算，从而实现了“形”和“数”的紧密结合．

④一定要把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等．两个向量相等时坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同．

(3)平面向量的数量积

①平面向量a与b的数量积a·b＝|a||b|cosθ是数量，其中θ的取值范围是0≤θ≤π.

②由a≠0，且a·b＝0不能推出b＝0. ③由a·b＝b·c不能推出a＝c. ④平面向量的数量积不满足结合律，即(a·b)c与a(b·c)不一定相等．

⑤为便于区别两向量的数量积、数乘向量、数乘数三种运算，可对照下表记忆：

运算对象

运算结果

结合律

逆运算

(4)平面向量的应用

①向量是数学中证明几何命题的有效工具之一，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度等问题；利用数量积可解决长度、角度、垂直等问题．

②平面向量的应用，体现在高考中主要是在几何中的应用，平面几何中的许多性质，如平移、全等、相似、长度(距离)、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来．

③用向量的方法解决几何问题时，首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．

教学分析

向量的重要性可与函数相比，函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段；而向量可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的．因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算，并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义．变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量．

数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系；向量又有加减、数乘及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法．向量方法宜于把几何从思辨数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法．在教学中引导学生搞清数量积

两个向量

实数

不满足

不存在

数乘向量

一个实数与一个向量

向量

满足

存在

数乘数

两个实数

实数

满足

存在

向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础．

将一个实际问题转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题．在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向．

充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的，平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态地演示能使学生理解、掌握问题．在复习完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平．

三维目标

1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向量概念，平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识．提高分析问题、解决问题的能力．

2．通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化．培养学生的数学应用意识．深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．

3．通过一题多解的活动，培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．

重点难点

教学重点：向量的运算，向量平行、垂直的条件，平面向量的坐标表示及其运算，数量积的理解运用．

教学难点：向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题．

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.(直接导入)前面一段时间，探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力．这一节，我们一起对本章进行小结与复习，来进一步巩固本章所学的知识，强化向量的综合应用．

思路2.(问题导入)由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点．在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下，它是怎样具有代数、几何双重身份的？向量是怎样进行代数运算的？又是怎样进行几何运算的？你对向量的哪种运算掌握得最好？由此展开全章的复习．

推进新课

知识巩固

提出问题

①回忆向量的概念：向量的表示，零向量，相等的向量，共线向量. ②回忆向量的运算：向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质. ③回忆本章学过的重要定理、公式. 活动：①本章概念较多，学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材，学生兴趣不大，效果也不好．教师要点拨学生不仅要善于学习知识，而且还要善于归纳整理所学的知识．首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较．比较是最好的学习方法，如向→→量的表示法：几何表示法为AB，a(手写时为a)，坐标表示法为a＝xi＋yj＝(x，y)．有哪些特殊的向量：a＝0⇔|a|＝0.单位向量：a0为单位向量⇔|a0|＝1.相等的向量：大小相等，方向x1＝x2，相同，a＝b⇔(x1，y1)＝(x2，y2)⇔等等．

y＝y12

②指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳，引导学生把向量的运算类比数的运算．向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱，教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容. 运算类型

几何方法

平行四边形法则

向量的加法

向量的减法

(共起点构造平行四边形) 三角(多边)形法则

(向量首尾相连)

三角形法则

(共起点指向被减)

λa是一个向量，满足：

数乘向量

λ>0时，λa与a同向；

λ<0时，λa与a异向；

λ＝0时，λa＝0

a·b是一个实数

向量的数量积

a＝0或b＝0或a⊥b时，a·b＝0 a·b＝x1x2＋y1y2

λa＝(λx，λy)

坐标方法

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)

a－b＝(x1－x2，y1－y2)

运算性质

a＋b＝b＋a

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) →→→AB＋BC＝AC

a－b＝a＋(－b) →→AB＝－BA

→→→OB－OA＝AB

λ(μa)＝(λμ)a

(λ＋μ)a＝λa＋μa

λ(a＋b)＝λa＋λb

a∥b⇔a＝λb(b≠0) a·b＝b·a

(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b) (a＋b)·c＝a·c＋b·c

a≠0且b≠0时，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉

③本章的重要定理及公式：

a2＝|a|2，|a|＝x2＋y2

|a·b|≤|a||b| a．平面向量基本定理：e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. b．两个向量平行的充要条件：a∥b(b≠0)⇔存在唯一的实数λ，使得a＝λb；

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(b可以为0)．

c．两个向量垂直的充要条件：当a、b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 讨论结果：①～③略．

应用示例

例1已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，

(1)ka＋b与a－3b垂直？

(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？

活动：向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系，是高考考查的重要内容之一．在解决本题时，教师首先引导学生思考回顾，如何用数量积及有关的定理解决有关长度、角度、垂直的问题；共线的向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础，那么，怎样应用向量共线这个条件呢？让学生通过例题仔细体会，进一步熟练、提高．

解：(1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，

a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．

当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．

由(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，解得k＝19，

即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．

(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．

k－3＝10λ，由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得

2k＋2＝－4λ.

这是一个以k、λ为未知数的二元一次方程组．

111解这个方程组得k＝－，λ＝－，即当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，

333111这时ka＋b＝－a＋b.因为λ＝－<0，所以－a＋b与a－3b反向．

333点评：共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活地选择．在本例中，也可以根据向量平行充要条件的坐标形式，从(k1－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，先解出k＝－，然后再求λ. 3

变式训练

设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴、y轴正方向的单位向→→量，若向量AB＝i－2j，BC＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线．

→→解：方法一：假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即AB∥BC，

→→∴存在实数λ，使AB＝λBC，i－2j＝λ(i＋mj)，{λ＝1，λm＝－2.

∴m＝－2，即当m＝－2时，A、B、C三点共线．

方法二：假设满足条件的m存在，

根据题意可知i＝(1,0)，j＝(0,1)，

→→∴AB＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．

→→由A、B、C三点共线，即AB∥BC，

故1·m－1·(－2)＝0，解得m＝－2. ∴当m＝－2时，A、B、C三点共线. →→→例2已知：如图1，在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c.若a·b＝b·c＝c·a.求证：△ABC为正三角形．

图1 活动：引导学生回顾，向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，因此有了几何运算；另一方面又具有一套优良的代数运算性质，因此又有了代数运算．对于这两种运算，前者难度大，灵活多变，对学生来说是个难点，后者学生感到熟悉，易于掌握，但应让学生明了，这两种方法都要掌握好，近几年高考题的解答都是以两种解法给出．本题给出的是三角形，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的几何运算问题来解决，请同学们在探究中要注意仔细体会，领悟其实质．教学中，教师要放手大胆地让学生自己去探究，鼓励学生从不同的角度去观察、去发现．真正做到一题多用，一题多变，串联知识，串联方法，使学生在探究过程中掌握孤零知识，提高思维能力，提高复习效率．

证法一：由题意，得a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．

又∵b·c＝c·a，∴c·(a－b)＝0. ∴－a2＋b2＝0.∴|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|. 同理可得|c|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c|. ∴△ABC为正三角形．

证法二：由题意得a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，b＝－a－c.

∴a2＝b2＋c2＋2b·c，b2＝a2＋c2＋2a·c. 而b·c＝c·a(已知)，∴a2－b2＝b2－a2.

∴a2＝b2.∴|a|2＝|b|2.∴|a|＝|b|. 同理可得|c|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c|. ∴△ABC为正三角形．

→→→→证法三：如图2，以AB、BC为邻边作▱ABCD，则AD＝a，BD＝AD－AB，

图2

→∴BD＝a－c. 又∵a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0. →→∴b·BD＝0.∴b⊥BD. ∴平行四边形为菱形．∴AB＝BC.同理可得BC＝AC，

∴△ABC为正三角形．

→→1→→1证法四：取BC的中点E，连接AE，则AE＝(AB＋AC)＝(c－b)，

221→→∴AE·a＝(c－b)·a＝0.∴AE⊥a.∴AB＝AC. 2同理可得BC＝AC，

∴△ABC为正三角形．

点评：本题给出了四种证法，教师要善于引导学生进行一题多解，这是一种很有效的办法．数学教学中，一题多解训练是培养学生思维灵活的一种良好手段．通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在教材安排的例题中，有相当一部分题目存在一题多解的情况，教师要引导学生善于挖掘. 变式训练

→→→2若AB·BC＋AB＝0，则△ABC是(

) A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．等腰直角三角形

答案：A 13例3已知a＝(3，－1)，b＝(，)，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－22k＋t2ka＋tb且x⊥y.试求的最小值．

t活动：本例是一道平面向量综合应用的经典例题，具有一定的综合性，但难度不大，可

以先让学生自己探究，独立地去完成．对找不到思路的学生，教师要引导学生注意挖掘题目中的隐含条件，然后根据垂直的条件列出方程，得出k与t之间的关系，再利用二次函数的知识来求最值．根据垂直的条件和坐标运算列方程是解决本例的关键．

解：由已知，得|a|＝32＋－12＝2，|b|＝132＋2＝1. 2213∵a·b＝3×－1×＝0，∴a⊥b.∵x⊥y，∴x·y＝0，即[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0.22t3－3tk＋t21217化简，得k＝，∴＝(t＋4t－3)＝(t＋2)2－，

4t444k＋t27即t＝－2时，有最小值－. t4点评：本题主要训练学生综合运用所学向量知识解决问题的能力，训练学生利用转化的思想以及建立函数模型的建模能力. 变式训练

将函数y＝2x2进行平移，使得到的图形与抛物线y＝－2x2＋4x＋2的两个交点关于原点对称，求平移后的函数解析式．

解法一：设平移向量a＝(h，k)，则将y＝2x2按a平移之后得到的图象的解析式为y＝2(x－h)2＋k.设M′(m，n)和M′(－m，－n)是y＝－2x2＋4x＋2与y＝2(x－h)2＋k的两个交点，则

2m1,m1,n2m4m2,解得或

2n4n4.n2(m)4(m)2,∴点(1,4)和点(－1，－4)在函数y＝2(x－h)2＋k的图象上．

2h1,2(1h)k4∴⇒

2k4.2(1h)k4故所求解析式为y＝2(x＋1)2－4，即y＝2x2＋4x－2. 解法二：将y＝2x2按向量a＝(h，k)平移，设P(x，y)为y＝2x2上任一点，按a平移之后的对应点为P′(x′，y′)，

x'xh,xx'h,则故

y'yk,yy'k.∴y－k＝2(x－h)2是平移之后的函数图象解析式．

2y2(xh)k,由消去y，得4x2－4(h＋1)x＋2h2＋k－2＝0. 2y2x4x2又∵两交点关于原点对称，

4h＋1∴x1＋x2＝0，即＝0，h＝－1. 4

又y1＋y2＝0，

2∴2x21－4hx1＋2＋k＋2x2－4hx2＋2＋k＝0. 2∴2(x21＋x2)＋4(x1＋x2)＝－4－2k. ∴2(x1＋x2)2＋4(x1＋x2)－4x1·x2＝－4－2k. 2h2＋k－2∵x1·x2＝，x1＋x2＝0，

42h2＋k－2∴－4×＝－4－2k.∴k＝－4. 4∴y＝2(x＋1)2－4，即y＝2x2＋4x－2.

知能训练

本章复习参考题

A组1、2、3、4、6、7、8.

课堂小结

1．先由学生回顾本节都复习了哪些向量知识，用了哪些方法，在原来的基础上你有哪些提高？对本章的知识网络结构了然于胸了吗？

2．教师点拨，通过本节复习，要求大家在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练运用重要定理、公式解决一些综合问题，加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．

作业

1．本章复习参考题

A组5、9、10、13、14. 2．每人搜集一道向量应用的题目或向量创新题．

设计感想

1．本节复习课的设计容量较大，要求应用多媒体课件．教师在引导学生探究的过程中，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点，让学

生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．

2．本节题目一题多解应用较多．因为在数学知识的学习中，作为扮演教学活动的组织者、引导者和合作者角色的教师，在组织学生学习各数学知识点的同时，如果能善于引导学生沟通各知识点之间的联系，不仅能达到激发学生的发散性思维和多角度的解题思路的目的，而且更重要的是通过注重多种方法间的联系与沟通，学生能深切感受到各种解题方法之间是有联系的，是相通的，而不是孤立、割裂的，从而体会数学的统一美和简洁美，进一步增强对数学学习的兴趣，这样的美在一题多解中是随处可见的．

第2课时

导入新课

思路1.(直接导入)请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章向量的基本概念、运算性质及重要定理、公式，这一节我们将通过例题分析，继续探讨向量的有关应用，重点是复习向量的一些独特方法和应用．

思路2.(投影导入)投影展示上节布置的、同学们搜集到的一道向量应用题或创新题，教师选出最有代表性的、最典型的题目引导学生进行探讨，由此展开新课．

推进新课

知识巩固

提出问题

①请同学们回忆上节列出的本章知识网络结构图．

②讨论下列统考题解法的错因，并给出正确解法．

原题：设向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

2解：由题意，得e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝1，∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te1＋(2t2＋7)e1·e2＋7te22＝2t2＋15t＋7. 1∵向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，∴2t2＋15t＋7<0，即－7

教师引导学生探究讨论：对于两个非零向量a、b，若a与b的夹角θ为钝角，则a·b<0，反之，却不一定成立．因为当a·b＝|a||b|cosθ<0时，a与b的夹角也可能为π，因此，a与b的夹角为钝角的充要条件是a·b<0且a≠λb(λ<0)，所以正确的解答应在上述t的范围中去掉

2t＝λ，14夹角为π的情形，即设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ<0)，∴其中λ<0，解得t＝－. 27＝λt，

故所求实数t的取值范围为(－7，－14141)∪(－，－)．

222比较是最好的老师，反例更能澄清概念的本质，使我们深刻理解概念的内涵和外延，教师应引导学生多做这方面的探讨．如由a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，尽管由ab＝0⇒a＝0或b＝0.又如|a·b|≤|a||b|，尽管|ab|＝|a||b|.再如(a·b)c≠a(b·c)，尽管(ab)c＝a(bc)．因此，学习向量的数量积应与代数中实数间的乘积严加区分，切勿混淆．

讨论结果：略．

应用示例

例1已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝(－3,4)垂直的单位向量．求a的终点坐标．

活动：关于向量的坐标与表示此有向线段的点的坐标，概念虽小，学生却极易混淆．教师引导学生回忆思考：一个向量的坐标与表示此向量的有向线段的点的坐标是什么关系．对此题来说，若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设a的终点坐标，然后表示a的坐标，再根据两向量垂直的充要条件建立方程．

解：设a的终点坐标为(m，n)，则a＝(m－3，n＋1)，

－3m－3＋4n＋1＝0，由题意22m－3＋n＋1＝1，

①②

1由①，得n＝(3m－13)，代入②，得25m2－150m＋209＝0. 4m＝5，解得2n＝－51119

m＝5，或8n＝－.52211

192118∴a的终点坐标是(，－)或(，－)．

5555点评：通过训练要使学生明了，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起始坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆．向量的概念较多，且容易混淆，在复习中教师要引导学生理清主线，分清、理解各概念的本质属性.

变式训练

1．已知点A(－3，－4)、B(5，－12)，

→→→→→→→→(1)若OC＝OA＋OB，OD＝OA－OB，求OC及OD的坐标；

→→(2)求OA·OB. →→解：(1)OC＝(2，－16)，OD＝(－8,8)．

→→(2)OA·OB＝33. →→→2.如图4所示，AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)．

图4 →→(1)若BC∥DA，求x与y间的关系式；

→→(2)若又有AC⊥BD，求x、y的值及四边形ABCD的面积．

→→→→解：(1)∵AD＝AB＋BC＋CD＝(x＋4，y－2)，

→→DA＝－AD＝(－x－4,2－y)，

→→→又BC∥DA且BC＝(x，y)，

∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.

①

→→→(2)由于AC＝AB＋BC＝(x＋6，y＋1)，

→→→BD＝BC＋CD＝(x－2，y－3)，

→→又AC⊥BD，

→→∴AC·BD＝0，

即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.

②

联立①②化简，得y2－2y－3＝0，

∴y＝3或y＝－1. →→故当y＝3时，x＝－6，此时AC＝(0,4)，BD＝(－8,0)，

1→→∴S四边形ABCD＝|AC||BD|＝16；

2→→当y＝－1时，x＝2，此时AC＝(8,0)，BD＝(0，－4)，

1→→∴S四边形ABCD＝|AC||BD|＝16. 2

点评：引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体. 例2设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a、b满足|ka＋b|＝3|a－kb|(k为正实数)．

(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；

(2)设a与b的数量积表示为关于k的函数f(k)，求f(k)；

(3)求函数f(k)的最小值及取得最小值时a与b的夹角．

活动：本题是一道向量应用的经典例题，难度不大但综合性较强，体现平面向量与函数、与三角函数的交汇，是近几年高考的热点问题．解决这类问题必须熟知平面向量的概念、运算性质、定理、公式等基础知识．教师可以充分让学生自己去探究解决．对感到困难的学生，教师引导其回忆相关的知识，并适时地点拨学生注意条件的转化及解答的规范．

(1)证明：|a|＝cos2α＋sin2α＝1，|b|＝cos2β＋sin2β＝1，

∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，

∴(a＋b)⊥(a－b)．

(2)解：由|ka＋b|＝3|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，

k2＋1化简，得a·b＝，

4kk2＋1故f(k)＝(k>0)．

4kk2＋1(3)解：由y＝(y>0)，得k2－4k＋1＝0. 4k

∵k>0，方程有解，

∴Δ＝16y2－4≥0. 11解得y≥，即k＝1时，f(k)取最小值为. 22a·b1这时，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝. |a||b|2又0≤θ≤π，

π∴a与b的夹角为. 3点评：解决本题，我们首先要根据题意画出图形，借助对图形的观察，实现实际问题向数学问题的转化．转化与化归思想是解决数学问题的一种重要的策略和方法．以向量为工具，通过转化，可以为函数中的许多问题提供新颖、简捷的解法，请同学们注意体会．

例3有两根柱子相距20 m，分别位于电车的两侧，在两柱之间连接一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8 N，则这条成水平的绳子的中点下降0.2 m，求此时绳子所受的张力．

活动：教师应引导学生回忆向量的应用举例的处理方法：向量起源于物理，是从物理学中抽象出来的数学概念．物理学中的许多问题，如位移、速度、加速度等都可以利用向量来解决．用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即根据题目的条件建立数学模型，再转化为数学中的向量运算来完成．本题仍可由学生自己去探究，点拨学生先画出受力分析图，认真分析题意，创建数学模型，对感到困难的学生教师给予指导，帮助其复习相关的知识，逐步提高分析问题及解决问题的能力．

→→解：如图5所示，设重力作用点为C，绳子AC、BC所承受的力分别记为CE、CF，重→力记为CG.

图5 →→由C为绳子的中点，知|CE|＝|CF|. →→→由CE＋CF＝CG，知四边形CFGE为菱形．

又∵cos∠FCG＝cos∠DCB＝0.2≈0.02，

102＋0.221→|CG|28.9→→∴|CE|＝|CF|＝＝＝445，

cos∠FCG0.02

即绳子所受的张力为445 N. 点评：本题是向量知识在物理中的应用，培养了学生动手操作绘图能力、分析问题及解决问题的能力．对学生来说这是一个难点，突破这个难点的关键是教师引导学生把物理问题转化为数学问题．

知能训练

课本本章复习参考题

B组1、2、3.

课堂小结

1．先由学生回顾本节都复习了哪些主要内容，用到了哪些数学思想方法．向量在函数、三角函数中的重要作用，两向量的数量积的应用，向量平行与垂直条件在解题中的重要作用，向量的几何运算在解决平面几何问题和物理问题中的重要作用．

2．教师点睛，要注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来，同时注意向量与其他学科的联系．

作业

如图6，已知AC、BD是梯形ABCD的对角线，E、F分别为BD、AC的中点，求证：EF∥BC.

图6 →→证明：设AB＝a，AD＝b，

∵AD∥BC，

→→∴BC＝λAD＝λb，

→→→则BD＝AD－AB＝b－a. →1→1∵E为BD中点，BE＝BD＝(b－a)，F为AC中点，

22→→→→1→→1→→1→→1→→1BF＝BC＋CF＝BC＋CA＝BC＋(BA－BC)＝(BA＋BC)＝(BC－AB)＝(λb－a)．

22222111→→→1∴EF＝BF－BE＝(λb－a)－(b－a)＝(λ－)b. 22221→∵b＝BC，

λ111→→∴EF＝[(λ－)·]BC. 22λ→→∴EF∥BC，即EF∥BC. 点评：证明线段平行，也就是证明向量共线．证明a、b向量共线，即是想办法证明a

＝λb，进而想办法找到λ. 设计感想

1．本教案的设计思想是以向量的两种运算思路为主线，以向量的代数几何双重特点的应用为平台，将向量体现的思想方法贯穿其中，巩固加强本章向量知识．

2．平面向量是中学数学的重要内容，它与函数、三角函数等多个知识点相联系，因此它与其他知识点的交汇也就成了近几年来高考命题的热点．尤其是向量体现的思想方法，几乎包括了中学的全部．如数形结合思想，例3中函数与方程思想，解决物理问题的转化与化归思想，对向量共线与否中的分类讨论思想．因此我们应给予足够的重视，充分利用向量解题的优化特点，并注意掌握解平面向量题常用的数学思想方法，以提高学生综合应用能力，也适应高考对平面向量的考查要求．

备课资料

一、关于斜抛运动的研究

物理课中我们研究过水平抛出物体的运动，不计空气阻力时，这样的物体运动可以分解为自由落体运动和水平方向的匀速直线运动．现实中还有向斜上方抛出物体的运动．投掷铅球时，铅球的飞行曲线是什么形状？大炮射击时，炮口的仰角多大时炮弹射得最远？让我们以向量为工具研究斜抛物体运动的规律．

下面的问题可能有助于对斜抛物体运动的研究．

设炮弹被以初速度v0和仰角α射出，空气阻力忽略不计．

1．为研究问题方便，对初速度v0是否需要分解？如需分解，应如何分解(画出向量图)？这样分解的根据是什么？

2．对飞行中的炮弹进行分析，通过数学关系式描述它的飞行轨迹以及它在各点的速度．

3．炮弹的飞行距离与什么因素相关？能否写出关系式？

4．当初速度v0大小一定时，分析发射角α与炮弹飞行距离最大值x最大的关系．

上述问题中涉及速度等物理量，对于速度等的分析要用到向量的知识．根据向量基本定理，可以把一个非零向量分解为两个不共线向量．这种分解可以依据问题本身的需要进行，本问题中炮弹向斜上方射出，其所受重力垂直向下，射程指水平距离，这些都是确定向量分解方向的因素．

确定炮弹飞行曲线涉及各时刻炮弹的位置，建立坐标系有助于问题解决．

时间在问题中是一个数量，数乘向量的结果具有一定的实际物理意义．

根据对问题的物理意义的分析，可以得出数学关系式，它能清晰地反映相关物理量之间的数量关系；从数学角度对关系式进行再分析，又能得出物理问题的解答．这样的数学关系式可以作为物理问题的数学模型．

你研究出的有关射程x、发射角α、初速度v0等之间的数学关系式是什么？

二、备用习题

1．已知向量a＝(4,3)，b＝(－1,2)，若向量a＋kb与a－b垂直，则k的值为(

) 231123A. B．7

C．－ D．－

333答案：A →→2．已知向量AB＝(1,2)，OB＝(0,1)，则下列各点中在直线AB上的是(

) A．(0,3)

B．(1,1) C．(2,4)

D．(2,5) 答案：D 3．向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为(

) A．－53

B．5 C．－5

D．53

答案：A 4．若|a|＝2，|b|＝5，|a＋b|＝4，则|a－b|为(

) A.13

B．13 C.42

D．42 答案：C 5．已知a＝(2,1)，与a平行且长度为25的向量b是(

) A．(4,2)

B．(－4，－2) C．(2,1)或(－2，－1)

D．(4,2)或(－4，－2) 答案：D 6．已知向量i、j，i＝(1,0)，j＝(0,1)，与2i＋j垂直的向量是(

) A．2i－j

B．i－2j

C．2i＋j

D．i＋2j 答案：B 7．已知O为原点，点A，B的坐标分别为(a,0)，(0，a)，a是正的常数，点P在线段→→→→AB上，且AP＝tAB(0≤t≤1)，则OA·OP的最大值是(

) A．a

B．2a

C．a2

D．3a

答案：C 8．向量a＝(n,2)与b＝(4，n)共线，则n＝________. 答案：±22 9．已知a＝(2,1)，b＝(1,2)，要使|a＋tb|最小，那么实数t的值是________．

4答案：－

5

10．已知三个非零向量a，b，c中每两个均不共线，若a＋b与c共线，b＋c与a共线，求a＋b＋c. 答案：解：∵a＋b，c共线，∴a＋b＝mc.

①

又∵b＋c，a共线，∴b＋c＝na.

②

①－②，得a－c＝mc－na. ∵a，c不共线，∴由平面向量的基本定理，得m＝n＝－1. ∴①即a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.