小结第二课时 公开课

2017-2018-1

大同一中

高一年级

数学（必修三）

教案

1.3《算法案例——辗转相除法与更相减损术》教学设计

【授课人】计琳

【使用教材】普通高中课程标准试验教科书

数学（必修三）

【授课章节】第一章

1.3算法案例——辗转相除法与更相减损术

【授课班级】高一494班

【教材教学分析】

本节内容是探究古代算法案例——辗转相除法与更相减损术，巩固算法三种描述性语言（自然语言、程序框图与程序语句），提高学生分析和解决问题的能力。

【教学目标】

（1）知识目标：

①理解辗转相除法原理和更相减损术原理；

②能用自然语言、程序框图和基本算法语句表达辗转相除法与更相减损术；

③能应用迭代算法思想。

（2）能力目标：

①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力；

②培养学生自主探索和合作学习的能力；

③培养学生通过查找资料和多媒体技术解决问题的能力。

（3）情感目标：

①使学生进一步了解从具体到抽象，抽象到具体的辨证思想方法；

②创设和谐融洽的教学氛围和阶梯形问题，使学生在活动中获得成功感，从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情。

【教学重点与难点】

（1）教学重点：

①理解辗转相除法原理和更相减损术的操作原理；

②能用自然语言、程序框图和算法语句表达辗转相除法与更相减损术。

（2）教学难点：

①理解和区分两种循环结构表达辗转相除法；

②能应用迭代算法思想

【教法学法】

教法：以问题为载体，有引导的让学生通过自学探究经历知识的形成和发展过程，从而突出重点，并采用多媒体教学，增加课堂容量，有利于学生活动的充分展开。

学法：以观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合，引导学生多角度、多层面认识事物，突破教学难点。

【教学基本流程】

展示学生自学成果

讲解和纠正自学中的问题

巩固自学成果并练习

对辗转相除法和更相减损术的特点进行总结

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【课时安排】2课时。第1课时：自主学习课。

第2课时：答疑整理课。本节课为第2课时

【教学过程设计】

一、情境导入——课前小练习：（自主学习情况检验）

上一节课中，我们以小组合作的形式对算法案例中的第一组案例——辗转相除法和更相减损术进行了自主学习，那么，这两种方法到底是什么？有什么作用？怎么用呢？

提问：试分别用辗转相除法和更相减损术求470与228的最大公约数。

（两位学生板演，其余同学在下面练习。）

（点评学生的板演结果，引出新课）

二、答疑解惑——理解两种方法的操作原理：（解决学生在自学中遇到的问题）

1、辗转相除法和更相减损术是什么？

辗转相除法，又叫欧几里得法，提出于公元前300年左右，是一种求两个正整数的

最大公约数

的古老而有效的算法。

更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求

两个数的最大公约数

的算法. 提出于公元一世纪左右。

2、辗转相除法和更相减损术有什么用？

用来求两个数的最大公约数。此外，我们也可以用短除法和穷举法来计算最大公约数，但各有一定的限制。

3、辗转相除法和更相减损术怎么操作？

辗转相除法是指对于给定的两个数，用

大数

除以

小数

，若余数不为零，则将余数和

较小数

构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时

小数

就是原来两个数的最大公约数。

更相减损术是“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之”

4、辗转相除法和更相减损术的操作原理是什么？

（1）辗转相除法的关键步骤是做带余除法：“被除数=除数×商+余数”。其中被除数、除数和除数、余数有相同的最大公约数，即：gcd（被除数，除

数）=gcd（除数，余数）,为什么呢？

（实物投影学生的分析成果）

（幻灯片展示老师的讲解过程）

（2）两种算法中，带余除法和减法分别进行到什么时候为止？为什么？

（提问学生）

（幻灯片展示老师的讲解过程）

5、情境创设――感知辗转相除法与更相减损术（中外数学文化大碰撞）

（发给每位学生一张长为22cm，宽为6cm的纸条）这张长方形的纸，先拿短边往长边上折，得到一个正方形，从长方形上裁掉这个正方形后继续将短边往长边上折，一直到最后剩下来的是正方形为止，最后得到的是边长是几的正方形？

22＝6×3＋4；

6 ＝

4×1＋2；

4 ＝

2×2＋0

最后正方形的边长为2cm 引导总结：辗转相除法与更相减损术的区别与联系？

（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以

除法

为主，更相减损术以

减法

为主，计算次数

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上辗转相除法计算次数相对

较少

，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。比如求1996和228的最大公约数。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是

余数为0 则得到，而更相减损术则以

差和减数

相等而得到。

三、推进新课——如何用现代程序框图和程序语言表述两种古老的算法？（古今数学发展大风暴）

1、辗转相除法的算法步骤： ①、给定两个正整数；

②、计算 m除以n所得的余数r；

③、m=n，n=r；

④、若r=0，则m，n的最大公约数等于 m ；否则返回第二步。

程序框图：（直到型循环结构）

开始

输入m，n 求m除以n的余数r mnnrr0?否

是

输出m 结束

程序框图：（当型循环结构）：

程序：

INPUT m, nDO rm MOD n mn nrLOOP UNTIL r0PRTNT mEND程序：

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开始

输入m，n INPUT m, nr1WHILE r0 rm MOD n mn nrWENDPRTNT mENDr1

nrmn求m除以n的余数r r0?否

输出m 是

结束

2、更相减损术的算法步骤：

①、任意给定两个正整数,判定它们是否都是偶数，若是，用2约简

；若不是，执行第二步．

②、以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止。

则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。

程序框图：

程序

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开始

输入m，n（m>n）

INPUT "m,n";m,nIF mn THEN am mnk0mm2nn2kk1是

m，n均为偶数？

否

naEND IFk0WHILE m MOD 20 AND n MOD 20 mm2 nn2 kk1WENDdmndmnmdnddmnWHILE dn IF dn THEN md ELSE mn nd END IF dmnWENDd2^k*dPRINT dEND

mn否

dn?dn?是

是

否

2

d输出

k结束

3、通过简单的Qbasic语言展示使用程序计算的快捷高效，揭示计算器的奥秘。

（教师通过多媒体屏幕展示过程）

四、课堂小结：

这节课我们一起经历了由古到今，由中到西的不同的数学文化发展历程，数学知识伴随着人类文明的产生而起源，并率先在几个文明古国开始了漫长的原始积累过程。人类的祖先为我们留下了珍贵的、可供研究的原始资料，当代、现代的各国数学家们也在不断研究、开拓，并获得了巨大的成绩。我们现在是站在巨人肩膀上的一代新人，没有理由不看更高，走更远，期望大家在未来的学习中更加努力，为世界文明的发展做出自己的贡献！

五、课后作业：

1、习题1.3 ：

T1、2

2、导学练习册