小结第二课时 公开课

几何概型

最新考纲

1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.

知

识

梳

理

1.几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_____(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型. 2.几何概型的两个基本特点

(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有________；

(2)等可能性：每个结果的发生具有__________.

3.几何概型的概率公式

P(A)＝. ____________________________________________

诊

断

自

测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示

(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(

) 1(2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是10.(

) (3)概率为0的事件一定是不可能事件.(

) (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.(

)

2.(必修3P153习题B组2T改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(

)

3.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(

) 7

A.10

5B.8

33

C.8

D.10

4.已知球O内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________.

5.(2017·贵阳质检)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.

考点一

与长度(角度)有关的几何概型

【例1】

(1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(

) 1

A.

3

1B.

223

C.

D.

34

(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为︵圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________.

规律方法

(1)解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围.当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置. (2)①第(2)题易出现“以线段BD为测度”计算几何概型的概1率，导致错求P＝2. ②当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比.

【训练1】

(1)(2017·唐山质检)设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径的2倍的概率是(

) 3

A.4

1B.2

13C.3

D.5

(2)(2015·重庆卷)在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________.

考点二

与面积有关的几何概型

命题角度一

与随机模拟相关的几何概型

【例2－1】

(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(

) 4n

A.m

2nB.m

4m2m

C.n

D.n

命题角度二

与线性规划的交汇问题

x－y＋1≥0，【例2－2】

(2017·石家庄调研)在满足不等式组x＋y－3≤0，的y≥0平面内随机取一点M(x0，y0)，设事件A＝“y0＜2x0”，那么事件A发生的概率是(

) 1312

A.4

B.4

C.3

D.3

规律方法

(1)与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合. (2)解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解. 幻灯片21

(1)(2013·高考陕西卷)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(

)

πA．1－

4πC．2－

2

πB.－1 2πD.

4

x≤0，(2)(2014·高考湖北卷)由不等式组y≥0，确定的平面区y－x－2≤0x＋y≤1，域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在x＋y≥－2Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为(

) 1A.

83C.

4几何概型

1B.

47D.

8考点三

与体积有关的【例3】

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，1则使四棱锥M－ABCD的体积小于6的概率为________.

规律方法

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求. 幻灯片27

2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(

) πA.

12πC.

6πB．1－

12πD．1－

6

[思想方法] 1.区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个. 2.判断几何概型中的几何度量形式的方法：

(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系.

(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域；若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域. 幻灯片29 [易错防范] 1.易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的. 2.准确把握几何概型的“测度”是解题关键，无论长度、面积、体积，“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关. 3.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.