1.1 直角三角形的性质和判定（Ｉ）优质课教案推荐

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

课题：直角三角形的性质和判定（1） ▓预习指导：

课前自学课本P2-P4， 20分钟独立完成预习和《自主学习》部分，对有疑问的地方进行红笔标注，准备课上质疑和交流；

▓学习目标： 1 理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理. 2 能应用直角三角形的判定与性质,解决有关问题.

▓学习重点：

直角三角形斜边上的中线性质定理的推导与应用 . ▓学习难点：

根据直角三角形的判定定理和性质定理来解决问题. ▓自主学习

▓知识回顾

1、 的三角形叫直角三角形，直角三角形可以用__________________表示。

2、在Rt△ABC中

∠C=90°

∠A =37°，则

∠B =________ 。

3、如图

在△ABC中∠ACB =90° , 若CD⊥AB ， DE⊥BC ， 垂足分别为D,E ，则图中的 直角三角形共有______个

▓新知探究

1、猜想：直角三角形的两个锐角有什么关系？

2、在Rt△ABC中，若∠A ＋∠B =90°，那么△ABC是直角三角形吗？

3、任画一个直角三角形，作出斜边上的中线

，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长度，你发现了什么？

▓尝试练习

1、在RT△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=2: 3，则∠A =_______

2、如图1，在RT△ABC中，∠ABC=90°，D为 AC的中点，若 AC= 8cm ，则BD=________

微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

1

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

▓经典例题

例1、如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。

DCA

EB▓合作交流

1、如图3 AD⊥CD 于D , ∠E=∠A=40°

，△EBC 为直角三角形吗？请说明理由

2、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。

已知：如右图所示，CD是△ABC的AB边上的中线，且CD=1AB. 2求证：

△ABC是直角三角形

▓拓展提升

1、如图，在△ABC中，BD、CE是高，M、N分别是BC、ED的中点，试说明：MN⊥DE.

A

D N E

B M C

▓课外作业 P4 练习 1、2 微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

2

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

课题：

直角三角形的性质和判定（1）

▓预习指导：

课前自学课本P4-P6， 20分钟独立完成预习和《自主学习》部分，对有疑问的地方进行红笔标注，准备课上质疑和交流；

▓学习目标： 1.探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．

2.有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．

▓学习重点：

含30°角的直角三角形的性质。

▓学习难点：

含30°角的直角三角形的性质的推导。

▓自主学习

▓知识回顾

1、直角三角形的判定定理：______________________________________________________________ 2、直角三角形的性质定理之一____________________________________________________________ A 3、如图，在△ABC中，CD=AD=DB，则△ABC是_____三角形. ▓新知探究

D 1. 剪一个等边三角形ABD，沿一边上的高AC对折，如下图所示：

C B

由上面的活动，你有什么发现？ （1）含30°角的直角三角形的性质定理：

___________________________________________________________ （2）在直角三角形中，如果一条直角边等于 的一半，那么这条直角边所对的角等于 .

▓尝试练习

在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°,CD⊥AB,AB=4,则BC、BD分别为多少？

▓经典例题

1、例题、在A岛周围20海里（1海里=1852m）水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60º的方向，且与轮船相距330海里，如图所示，该船保持航向不变，有触礁的危险吗？

微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

3

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

▓合作交流

1、如图，在△ABC中，AB=AC, ∠C=30°，AD⊥AB,且AD=5cm,则CD,BD的长分别是多少？

2、如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°. 求证：AB=4BD

3、如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m, ∠A＝30 °,立柱BC、DE要多长？

▓拓展提升

1、湘乡市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？

▓课外作业 P6

练习第二题 A组第一题

微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

4

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

课题：

直角三角形的性质和判定（2）

▓预习指导：

课前自学课本P9-P11， 20分钟独立完成预习和《自主学习》部分，对有疑问的地方进行红笔标注，准备课上质疑和交流；

▓学习目标：理解并掌握勾股定理，会应用勾股定理解决实际问题

▓学习重点：理解并掌握勾股定理，并会应用。

▓学习难点：会应用勾股定理解决实际问题

▓自主学习

▓新知探究

1、已知：a、b、c分别是直角三角形的三边，c为斜边。

（1）a=3，b=4，则c= ，（2）a=8，c=4，则b= 2、三角形三个角之比为1：2：3，此三角形为 三角形。

3、如果 ，那么这个三角形是直角三角形。

思考：此结论与勾股定理的关系是怎样的？你能给它起个名吗？

4.已知a, b, c分别是△ABC的三条边的长，

⑴当b2c2a2时，直角为 ⑵当b2c2a2时，直角为 ⑶当a2b2c2时，直角为 ⑷当a2c2b2时，直角为 ▓尝试练习

5． a, b, c分别是△ABC的三条边的长，判断△ABC是不是直角三角形，若是指出直角来：

（1）a30,b50,c40

（2）a5x,b13x,c12x

▓经典例题

1、如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm. 你能算出BC边上的高AD的长吗？

ABC

D

微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

5

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

▓合作交流

7 1、1、求下列直角三角形中未知边的长:

13

24

5 x

x

2、如图，已知部分正方形的面积，求正方形A、B的边长.

144

A

B 225

225

400

▓拓展提升

1、李大叔承包了一个长方形养鱼塘，已知其面积为48m2，其对角线长为10m,为建起栅栏，要计算这个长方形养鱼塘的周长，你能帮他算一算吗？

▓课外作业 P11 练习

微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

6

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

课题：

直角三角形的判定定理2(应用) ▓预习指导：

课前自学课本P12-P13， 20分钟独立完成预习和《自主学习》部分，对有疑问的地方进行红笔标注，准备课上质疑和交流；

▓学习目标： 1、能利用勾股定理和直角三角形的判定方法（即勾股定理的逆定理）解决生活中的

数学问题；

2、在运用勾股定理及其逆定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值；

▓学习重点：经历运用勾股定理及其逆定理的数学化过程，体会数学的应用价值. ▓学习难点：经历运用勾股定理及其逆定理的数学化过程，体会数学的应用价值.

▓自主学习

▓尝试练习

1、甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了8km，乙往南走了6km后甲、乙两人相距_____ km. 2、一个三角形的三边的比为5：12：13，它的周长为60cm,则它的面积是________. 3、以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的个数是

（

）

①

6,7,8;

②8,15,17;

③7,24,25;

C.3

④12,35,37. D.4 A.1

B.2

4、下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么第三边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a∶b∶c=2∶1∶1.其中正确

的是（ ）

A、①②

B、①③

C、①④

D、②④

222▓经典例题

1、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

7

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

▓合作交流

1、一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？

2、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里水深.

3、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部地面半径为2.5cm，高为12cm，吸管斜置于杯中，并在杯口外

面至少露出4.6cm，问吸管需要多长？

▓拓展提升

1、一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm？

▓课外作业 P13 练习1、2 微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

8

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

课题：

勾股定理逆定理

▓预习指导：

课前自学课本P14-P15， 20分钟独立完成预习和《自主学习》部分，对有疑问的地方进行红笔标注，准备课上质疑和交流；

▓学习目标： 1、经历直角三角形判别条件的探究过程，体会命题、定理的互逆性

2、探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股逆定理解决实际问题

▓学习重点：理解并掌握勾股定理的逆定理，并会应用。 ▓学习难点：探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股逆定理解决实际问题 ▓自主学习

▓知识回顾

1、直角三角形的性质定理：_____________________________________________________________ ▓新知探究

1、什么叫勾股数？

2、勾股定理的逆定理是：____________________________________________________________ 3、下列几组数中，为勾股数的一组是（ ）

A、1.4,4.8,5 B、-15,36,39 C、21,45,51 D、8,15,17 4、三角形的边长之比分别为：①1.5：2：2.5 ②4：7.5：8.5：③1：3：2 ④3.5：4.5：5.5.其中可以构成直角三角形的有（ ）。

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 ▓尝试练习

1、直角三角形的三边长分别为a,b,c,且它们满足等式abc22ab,则此三角形是（ ）

2A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形

2、一个三角形的三边长分别是15㎝、20㎝、25㎝。则这个三角形最长边上的高是________. 3、若一个三角形的三边长分别是m+1、m+2、m+3,那么当m=__________时，这个三角形是直角三角形。

▓经典例题

1、例1 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形. (1) a=6, b=8, c=10；

(2) a=12, b=15,c=20.

例2 如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求DC的长.

A

B D

微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

9 C

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

▓合作交流

1、1、下列各题中，a,b,c分别是△ABC的三条边的长，判断△ABC是不是直角三角形：

(1)a1,b2,c3 (2)a2,b3,c4

2、已知在△ABC中，AB=5，BD=3，AD=4，CD=6，求△ABC的面积

▓拓展提升

1、三角形的三边长a,b,c满足什么条件(ab)2c22ab,则此三角形是（）

▓课外作业 P16 练习1、2 微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

10

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

课题：

直角三角形全等的判定

▓预习指导：

课前自学课本P19-P20， 20分钟独立完成预习和《自主学习》部分，对有疑问的地方进行红笔标注，准备课上质疑和交流；

▓学习目标：1、能证明直角三角形全等的“HL”判定定理； 2、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。

▓学习重点：“HL”判定定理的证明及应用；

▓学习难点：逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力． ▓自主学习

▓知识回顾

1、三角形全等的判定方法有哪些？

▓新知探究

1、利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= 90°，CB=12cm，AB=15cm. 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？

2、直角三角形全等的判定定理：_______________________________________________________ ▓尝试练习

1. 判断

①两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。 （ ）

②有两角分别对应相等的两个直角三角形全等。 （ ）

③有一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等。 （ ）

④斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）

2. 如图在△ABC与△ADC中，∠B＝∠D＝90°，若利用“AAS”

证明△ABC≌△ADC，则需添加条件 或 ；若利用“HL”证明△ABC≌△ADC，则需添加

条件 或 .

▓经典例题

1、如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC =BD．求证： BC =AD．

微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

11

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

▓合作交流

1、如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，你能说明BC与BD相等吗？

DAB

C

2、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，求证：AB//CD.

▓拓展提升

1、老师想测量教室的高度，可是只有一根竹竿和一把长40厘米的短尺，且竹竿长度大于教室的高度，你能设计一个方案利用现有的工具测出教室的高度吗？

▓课外作业 课本第21页 习题1.3A组1、2、3题

微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

12

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

课题：角平分线的性质

▓预习指导:阅看教材P22—P23，认真完成自主学习，认真思考探究部分。 ▓学习目标:.1. 认识角平分线的性质。

2. 理解在三角形中三条角平分线的交点与三边的关系。

▓学***分线的性质。 ▓学习难点：把生活中的实际问题抽象为数学问题。 ▓自主学习

▓知识回顾

角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.

▓新知探究

探究一：如图1-26，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA ， PE⊥OB ，

垂足分别为点D， E，试问PD与PE相等吗？

1、 将∠AOB 沿OC 对折，发现

。

2、证明这个结论。

∵ PD⊥OA， PE⊥OB，

∴

∠PDO = = 90°. 在△PDO和△PEO中，

∵

∠PDO =∠PEO，∠DOP = ，OP = OP，

∴ ≌△PEO. ∴ PD = PE. 结论：角平分线的性质定理：

。

探究二：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？

如图，点P 在∠AOB 的内部，

作PD⊥OA， PE⊥OB，

垂足分别为点D，E. 若PD= PE，

那么点P在∠AOB的平分线上吗？

1、如图，过点O，P作射线OC. ∵ PD⊥OA， ，

∴

∠PDO =∠PEO = 90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中，

∵ ， ，

∴ Rt△PDO≌Rt△PEO.∴

∠AOC = . ∴ 是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上. 结论：角平分线的性质定理的逆定理：

。

▓尝试练习

1、如图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为( )

2、.三角形中到三边的距离相等的点是( ) ABCDA.三条边的垂直平分线的交点B.三条高的交点 C.三条中线的交点 D.三条角平分线的交点

微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

13

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

▓经典例题

例 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. （1）求证：点B在∠ADC的平分线上；

（2）求证：BD是∠ABC的平分线.

▓合作交流

1、

探讨△ABC的三条角平分线的交点与三边的距离关系,并说明理由。

2、如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC,求证:BE=CF

B

A E D C

▓拓展提升

F 如图,已知E是∠AOB的平分线上的一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D，你能得到哪些结论？并证明你的结论

▓作业P24

练习第1、2题

ODPBEAC

14 微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

课题：角平分线的应用

▓预习指导:阅看教材P24—P25，认真完成自主学习，并认真思考探究部分 ▓学习目标:理解并掌握角平分线的性质，能熟练地运用角平分线的性质。

▓学习重点：

角平分线性质的应用 ▓学习难点：

熟练地应用角平分线的性质

▓自主学习

▓知识回顾

1、角平分线的性质定理： 2、角平分线的性质定理的逆定理： 。 ▓新知探究

探究一：如图，

已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF 的中点. 需添加一个什么条件，

就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？

可以添加条件 （或MN =MF）. ∵ ME⊥CD， ，

∴ M在 的平分线上，

即 是∠ACD的平分线. 同理可得AM是∠CAB的平分线.

探究二：如图，你能在△ABC 中找到一点P，使其

到三边的距离相等吗？

因为 上的点到角的两边的距离相等，

所以只要作△ABC 任意两角（例如∠A与∠B） 的 ，

其交点P 即为所求作的点. 点P也在 的平分线上，如图2.

图2 ▓尝试练习

如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点C，ED⊥OB 于点D. 求证：（1）∠ECD=∠EDC；

（2）OC=OD.

微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

15

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

▓经典例题

例 如图，在△ABC 的外角∠DAC 的平分线上任取一点P，作PE⊥DB， PF⊥AC，

垂足分别为点E，F. 试探索BE + PF与PB的大小关系.

▓合作交流

1、

如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE.

2、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。

A

N M

P

B

▓拓展提升

如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，

求证：点F在∠DAE的平分线上。

C

▓作业P26 A组第2、3题

微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

16

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

课题：直角三角形复习（一）

（一）自主学习

知识结构

①定理：_____________________________________________ （1）性质：

②勾股定理：____________________________________________

直 运用勾股定理可以解决下列的几类问题：

角三 a、已知直角三角形的两边求第三边b、已知直角三角形的一边求另两边边的角关系、c、用证明线段平方关系的问题。

形 ①定理：_________________________________________________ （2）判定：

②勾股定理的逆定理： . 注意：用较小两边的平方和是否等于较大边的平方。

（二）经典例题

已知如图，在Rt△ABC中，AB=BC. 在Rt△ADE中，AD=DE,连接EC，取EC中点M，连接DM和BM。若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，试说明BM=DM成立的理由。

B

E

M

CAD

（三）合作交流

1、若△ABC的三边长分别是a、b、c,且满足(ab)(abc)0，试判断△ABC的形状。

222

微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

17

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

2、如图，在Rt△ABC中，B90，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB=3，ＢＣ＝４，求ＢＤ的长。

ABDC

３、如图，Ｐ是等边三角形ＡＢＣ内的一点，连接PA，ＰＢ，ＰＣ，以BP为边作PBQ60

且BQ=ＢＰ，连接ＣＱ。

（１）

观察并猜想ＡＰ与ＣＱ之间的大小关系，并证明你的结论。

（２）

若ＰＡ：ＰＢ：ＰＣ＝３：４：５，连接ＰＱ，试判断△ＰＱＣ的形状，并说明理由。

四、拓展提升

APBCQ如图，在Ｒｔ△ABC中，AB=100cm，BC=60cm,c90,点P、Q同时从点C出发，分别沿ＣＡ，ＣＢ向点Ａ，Ｂ运动。点Ｐ的速度为每秒５ｃｍ，点Ｑ的速度为每秒４ｃｍ，当运动时间为４秒时，求四边形ＰＡＢＱ的面积。

B

Q

ACP

（五）课外作业

P２８

复习题A组第1、２题 微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

18 

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

课题：直角三角形复习（二）

（一）自主学习

知识结构

①______、②_______、③________、

（1）直角三角形全等的判定： ④________⑤_________ 直

角 注意：从中可以看出无论哪种都需要一条边相等，证明两个直角三

三角 角形全等首先要考虑HL来证，如不行再考虑其它四种方法。

形 性质定理： （2）角平分线：

性质定理的逆定理：

（二）经典例题

已知如图，ACBADB90

,AC=AD,点E是AB上任意一点。求证CE=DE。

C

AE

D

（三）合作交流

B

1、如图，在△ABC中，c90，点D是AB边上的一点，DMAB，且DM=AC，过点M作ME//BC交AB于点E。

求证：ABCMED

MCADEB

微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

19

数学课堂设计

主备人：

审核：周筠武

包科行政：周永忠

2、如图，在△ABC中，BE平分ABC，ADBE于点D。

求证：BADDACC

A

E

D

BC

(四)、拓展提升

如图，已知OC=OD，PCOC,PDOD,OA交PC于点M，OB交PD于点N，OM=ON。求证：（1）OP平分COD; O

( 2 )OP平分AOB。

CM

ND

A

PB

（五）课外作业

P２9复习题A组第6、7题

微笑的你最美！会学的你最好！健康的你最棒！

20