探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期国家优质课一等奖

1.4.2

正弦函数、余弦函数的性质(一) 学习目标

1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义(重点).2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期(重点).3.掌握函数y＝sin x、y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性(重点)．

预习教材P34－35完成下面问题：

知识点1

周期函数

1．周期函数

条件

结论

2．最小正周期

条件

结论

【预习评价】

(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，b∈R)．(

) (2)任何周期函数都有最小正周期．(

) (3)若存在正数T，使f(x＋T)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为2T.(

) 提示

(1)×，周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．

(2)×，常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期．

(3)√，f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝－f(x＋T)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)的周期为2T．

知识点2

正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

函数

周期

最小正周期

奇偶性

【预习评价】

y＝sin x 2kπ(k∈Z且k≠0)

2π

奇函数

y＝cos x

2kπ(k∈Z且k≠0) 2π

偶函数

周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数

这个最小正数叫做f(x)的最小正周期

①对于函数f(x)，存在一个非零常数T

②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x) 函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期

π函数y＝sin(x＋)是(

) 2A．周期为π的奇函数

C．周期为2π的奇函数

B．周期为π的偶函数

D．周期为2π的偶函数

π解析

因为y＝sin(x＋)＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数．

2答案

D

题型一

求三角函数的周期

【例1】

求下列函数的周期：

1π(1)y＝2sin(x＋)，x∈R；

26π(2)y＝1－2cos(x)，x∈R；

2(3)y＝|sin x|，x∈R．

1πx＋4π＋

解

(1)∵2sin621x＋π＋2π＝2sin1x＋π，

＝2sin2626∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，

1π函数y＝2sin2x＋6，x∈R的值才能重复出现，

1π∴函数y＝2sin2x＋6，x∈R的周期是4π．

πππ(2)∵1－2cos[(x＋4)]＝1－2cos(x＋2π)＝1－2cos(x)，

222π∴自变量x只需并且至少要增加到x＋4，函数y＝1－2cos(x)，x∈R的值才能重复出2现，

π∴函数y＝1－2cos(x)，x∈R的周期是4．

2(3)作图如下：

观察图象可知最小正周期为π．

规律方法

求三角函数周期的方法

(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．

(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)

2π的函数，T＝．

|ω|(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．

三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．

【训练1】

(1)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(

)

解析

对于D，x∈(－1,1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数．

答案

D π(2)下列函数中，周期为的是(

) 2xA．y＝sin

2xC．y＝cos

4B．y＝sin 2x

D．y＝cos 4x

2π2π2π解析

选项A，周期T＝＝4π；选项B，周期T＝＝π；选项C，周期T＝＝8π；121242ππ选项D，周期T＝＝．

42答案

D 题型二

三角函数的奇偶性

【例2】

判断下列函数的奇偶性：

1π－x＋；

(1)f(x)＝sin22(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；

1＋sin x－cos2

x(3)f(x)＝．

1＋sin x1解

(1)显然x∈R，f(x)＝cos x，

211－x＝cos x＝f(x)，

f(－x)＝cos22∴f(x)是偶函数．

1－sin x>0，(2)由得－1

1＋sin x>0，

π解得定义域为x|x∈R且x≠kπ＋2，k∈Z．

∴f(x)的定义域关于原点对称．

又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x) ∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]

＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)．

∴f(x)为奇函数．

(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，

π∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z．

2∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．

规律方法

判断函数奇偶性的两个关键点

关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；

关键点二：看f(－x)与f(x)的关系．

对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．

【训练2】

判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝|sin x|＋cos x；

(2)f(x)＝1－cos x＋cos x－1．

解

(1)函数的定义域为R，

又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．

(2)由1－cos x≥0且cos x－1≥0，得cos x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数. 典例

迁移

【例3】

(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(

) A．y＝cos|2x|

π＋2x

C．y＝sin2B．y＝|sin x| 3π－2x

D．y＝cos2

题型三

三角函数的奇偶性与周期性的综合应用

π＋2x＝cos 2x是偶函数，y＝解析

y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sin23π－2x＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π．

cos2答案

D

(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当π5π0，时，f(x)＝sin x，则f等于(

) x∈231A．－

2C．－3

21B．

2D．3

25π5π2π2ππππ3解析

f()＝f(－π)＝f()＝f(－π)＝f(－)＝f()＝sin＝．

33333332答案

D 【迁移1】

若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？

5π5π2π2ππππ3解

f()＝f(－π)＝f()＝f(－π)＝f(－)＝－f()＝－sin＝－．

33333332【迁移2】

若将例3(2)题条件不变，求f2 017π2 018π3＋f3的值．

2 017ππππ3解

f()＝f(672π＋)＝f()＝sin＝，

333322 018π2π2ππππ3f()＝f(672π＋)＝f()＝f(－)＝f()＝sin＝，

33333322 017π2 018π33所以f()＋f()＝＋＝3．

3322规律方法

三角函数周期性与奇偶性的解题策略

(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．

(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acosωx(Aω≠0)其中的一个．

ππ－17π＝________．

【训练3】

若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f＝1，则f36217π17ππππππ解析

f(－)＝f(－＋3π)＝f()＝f(－)＝f(－)＝f()＝1．

6666233答案

1

课堂达标

π1．函数f(x)＝sin(2x－)是(

) 2A．周期为π的奇函数

πC．周期为的奇函数

2B．周期为π的偶函数

πD．周期为的偶函数

2

π解析

f(x)＝－sin(－2x)＝－cos 2x，则f(－x)＝f(x)，故是偶函数，且周期为π，选B．

2答案

B ππ2．函数f(x)＝cos(x－)的周期是(

) 34A．3

C．6

2π解析

T＝＝6．

π3答案

C π3．函数y＝sin(ωx＋)的最小正周期为2，则ω的值为________．

42π解析

T＝＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π．

|ω|答案

±π

4．函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)＝2，则f(22)＝________．

解析

f(22)＝f(22－20)＝f(2)＝2．

答案

2 B．3π

D．6π

5．判断下列函数的奇偶性：

33π(1)f(x)＝sincos x．

4x＋2

(2)f(x)＝x·33π3x＋＝－cosx，

解

(1)f(x)的定义域是R，且f(x)＝sin424所以f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数．

(2)f(x)的定义域是R，又f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，

所以f(x)是奇函数．

课堂小结

1．求函数的最小正周期的常用方法：

(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T．

(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|．

(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)2π的周期T＝．

ω2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性．

基础过关

1．函数f(x)＝x＋sin x，x∈R(

) A．是奇函数，但不是偶函数

B．是偶函数，但不是奇函数

C．既是奇函数，又是偶函数

D．既不是奇函数，又不是偶函数

解析

由f(－x)＝－x－sin x＝－(x＋sin x)＝－f(x)可知f(x)是奇函数．

答案

A 2．下列函数中，周期为2π的是(

) xA．y＝sin

2xC．y＝|sin |

2x2π解析

y＝sin 的周期为T＝＝4π；

2122πy＝sin 2x的周期为T＝＝π；

2xy＝|sin |的周期为T＝2π；

2πy＝|sin 2x|的周期为T＝．

2故选C．

答案

C π3π的值为(

) 3．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f44A．1

C．0

B．－1

D．2 B．y＝sin 2x

D．y＝|sin 2x| 3ππππ＝fπ－＝f－＝－f＝－1．

解析

f4444答案

B 14．若函数f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数，则φ＝________．

2π解析

由诱导公式得若f(x)是偶函数，则φ＝＋kπ，k∈Z．

2π答案

＋kπ，k∈Z

25．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式为________．

解析

当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，

又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－sin x，

sin x，x≥0，即f(x)＝

－sin x，x<0sin x，x≥0，答案

f(x)＝

－sin x，x<0

6．判断下列函数的奇偶性：

π＋2xcos(π＋x)；

(1)f(x)＝cos2(2)f(x)＝1＋sin x＋1－sin x；

esin x＋esin x(3)f(x)＝sin x－sin x．

e－e－π解

(1)x∈R，f(x)＝cos(＋2x)cos(π＋x) 2＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2xcos x．

∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin 2xcos x

＝－f(x)．

∴y＝f(x)是奇函数．

(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，

∴1＋sin x≥0,1－sin x≥0．

∴f(x)＝1＋sin x＋1－sin x的定义域是R．

∵f(－x)＝1＋sin－x＋1－sin－x，

＝1－sin x＋1＋sin x＝f(x)，

∴y＝f(x)是偶函数．

(3)∵esin x－e－sin x≠0，∴sin x≠0，

∴x∈R且x≠kπ，k∈Z．

∴定义域关于原点对称．

esinx＋esinxesin x＋esin x又∵f(－x)＝sin－x－sin－x＝－sin xsin x＝－f(x)，

e－ee－e－－－－∴该函数是奇函数．

π50，时，f(x)＝1－sin x，求当x∈π，3π7．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈22时，f(x)的解析式．

5ππ，3π时，3π－x∈0，，

解

x∈22

π0，时，f(x)＝1－sin x，

∵x∈2∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x．

又∵f(x)是以π为周期的偶函数，

∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，

5∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈2π，3π．

能力提升

8．函数y＝|sin x|1－sin x1－sin x的奇偶性为(

) A．奇函数

B．既是奇函数也是偶函数

C．偶函数

D．非奇非偶函数

解析

由题意知，当1－sin x≠0，

即sin x≠1时，

y＝|sin x|1－sin x1－sin x＝|sin x|，

所以函数的定义域为πx|x≠2kπ＋2，k∈Z，

由于定义域不关于原点对称，

所以该函数是非奇非偶函数．

答案

D 9．设f(x)是定义域为R，最小正周期为3πcos x，－π2的函数，若f(x)＝2≤x≤0，sin x，0

) A．1

B．22

C．0

D．－22

解析

f15π－15π3π3π4＝f(－4＋2×3)＝f4＝sin3π24＝2．

答案

B 10．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法：

①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；

②存在φ，使f(x)是偶函数；

则

③存在φ，使f(x)是奇函数；

④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．

其中错误的是________(填序号)．

解析

φ＝0时，f(x)＝sin x是奇函数．

πφ＝时，f(x)＝cos x是偶函数．

2答案

①④

π11．设函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)＝________．

3π2π解析

∵f(x)＝sin x的周期T＝＝6．

3π3∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017) ＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 017) π245sin ＋sin π＋sin π＋sin π＋sin π＋sin 2π

＝3363333π3＋f(336×6＋1)＝336×0＋f(1)＝sin ＝．

32答案

3

212．判断函数f(x)＝ln(sin x＋1＋sin2x)的奇偶性．

解

∵sin x＋1＋sin2x≥sin x＋1≥0，

若两处等号同时取到，则sin x＝0且sin x＝－1矛盾，

∴对x∈R都有sin x＋1＋sin2x>0．

∵f(－x)＝ln(－sin x＋1＋sin2x) ＝ln(1＋sin2x－sin x)＝ln(1＋sin2x＋sin x)1

－＝－ln(sin x＋1＋sin2x)＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

π－π，π2x＋，13．(选做题)已知函数f(x)＝cos若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈322x3时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．

22ππ－，时，

解

当x∈22xx＋π．

g(x)＝f＝cos23π5ππ－，，

因为x＋∈366

所以由g(x)＝3πππ解得x＋＝－或，

2366ππ即x＝－或－．

26又因为g(x)的最小正周期为π．

所以g(x)＝3的解集为

2ππx|x＝kπ－或x＝kπ－，k∈Z．

26