1.4 角平分线的性质优质课教案设计

第一章

直角三角形

教学备注

学生在课前完成自主学习部分

1.复习引入

（见幻灯片3-5）

1.4

角平分线的性质(1)

第1课时

角平分线的性质

学习目标：1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理. 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.

重点：掌握角的平分线的性质定理，用直尺和圆规作角的平分线. 难点：角平分线定理的应用.

自主学习

一、知识链接

1.判定两个三角形全等的方法有哪几种？

2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，则∠ =∠ . 过点D作DE⊥BC，垂足为E，则图中线段 的长度表示点D到BC的距离.

二、新知预习

1.OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，

操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想

线段PD与PE的大小关系，写出结论

第一次

第二次

第三次PD[来源:学科网]

[来源:学,科,网Z,X,X,K]

PE

2.下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则PD＝PE的是 （ ）

A B C D 3.猜想：

角平分线的性质：角平分线上任意一点到两边的 相等.

三、我的疑惑

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课堂探究

一、要点探究

探究点1：角平分线的尺规作图

活动1：如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE, AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?

活动2：已知∠AOB，类比平分角仪器的原理，用尺规作∠AOB的平分线．并书写主要步骤.

提示：

(1)已知什么？求作什么？

(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，

怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？

(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？

注意:作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握.

针对训练

已知：平角∠AOB.

求作：平角∠AOB的角平分线.

探究点2：角平分线的性质

画一画：如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点

P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？

在OC上再取几个点试一试.

证明结论：

已知：如图，

∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E. 求证：PD=PE.

要点归纳：

角的平分线上的点到角的两边的 相等. 应用所需要的条件：（1） （2） （3）

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教学备注

配套PPT讲授

2.探究点1新知讲授

（见幻灯片6-8）

3.探究点2新知讲授

（见幻灯片9-18）

教学备注

配套PPT讲授

几何语言：

∵OP 是∠AOB的平分线，

∵ PD⊥OA,PE⊥OB，

∴ 典例精析

例1:

已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC.

方法总结：先利用角平分线的性质定理得到对应线段相等，再利用这个条件证明我们需要证明的两个三角形全等. 例2:如下左图,AM是∠BAC的平分线,点P在AM上,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=______cm..

变式：如上右图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14.

（1）则点P到AB的距离为_______. （2）求△APB的面积.

（3）求△PDB的周长.

方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．

针对训练

1.如图1，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（

）

A.PD=PE

B.OD=OE

C.∠DPO=∠EPO

D.PD=OD

2.如图2，Rt△ABC中，∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（

）

A. 5cm

B. 4cm

C. 3cm

D. 2cm 3.如图3，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于（

）

A．2 cm

B．3 cm

C．4 cm

D．5 cm °

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二、课堂小结

尺规作图

属于基本作图，必须熟练掌握

一个点：角平分线上的点；

角平分线

性质定理

二距离：点到角两边的距离；

两相等：两条垂线段相等

添加辅助线

过角平分线上一点向两边作垂线段

教学备注

配套PPT讲授

4.课堂小结

当堂检测

5.当堂检测

1.

如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF，

∠EDB= 60°，则

∠EBF= （见幻灯片度，BE= . 19-24）

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 . 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）

A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(

) A．6 B．5 C．4 D．3 5.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与

∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.

6.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F. 求证：CE＝CF.

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