1.4 角平分线的性质教学活动设计方案

《1.4角平分线的性质》（第一课时）教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能

1、探索并证明角平分线的性质定理及其逆定理；

2、能灵活运用角平分线的性质定理及其逆定理，按照证明的格式和步骤，解决一些简单的几何推理问题。

（二）过程与方法

让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明角平分线的性质定理及其逆定理；经历寻找证明、分离基本图形等过程，进一步发展推理证明的意识和能力。

（三）情感态度价值观

通过观察、类比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的思维策略；通过动手操作，并和同伴交流，形成并勇于表达不同意见。

（四）教学重点和难点

1、重点：角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用；

2、难点：角平分线的性质定理和逆定理的应用。

（五）教学方法

启发引导

、小组讨论

（六）教具、学具

1、教具：多媒体投影设备、角平分仪（自制教具）、三角板、直尺、圆规；

2、学具：三角形纸片、量角器、三角板、直尺、圆规

二、教学过程

（一）找一找（复***分线的性质1）

师：桌面上有张三角形纸片，同学们动手操作，用什么方法可以找到三角形纸片中∠A的角平分线？

（学生讨论、动手寻找∠A的角平分线）

生：有量角器度量法、折叠法（轴对称）、尺规作图作图法。

师：除了以上三种方法，我们还有第四种方法：角平分仪。

（教师出示自制教具：角平分仪，并解释其原理）

如右图是一个平分角的仪器：其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，说明它的道理。

生：教师个别提问，为什么AE是角平分线？（提示：用SSS证明）

由此得角平分线性质1：角平分线会产生两个等角。（板书）

【设计意图】通过讨论、动手操作，鼓励学生用多种方法寻找角平分线，培养学生的发散思维和多角度解决问题的能力，并勇于和同伴交流。

（二）情境引入：

如图，OA、OB是两条河流，村庄P恰好在∠AOB的角平分线OE上，现打算在两条河上各建一个取水点，问：

（1）取水点建在哪个位置，所用材料最省（距离最短）？

（2）这两个距离有什么关系？说明它的道理。

（学生先讨论、猜想）

【设计意图】用实际问题引入，通过讨论、猜想，一是复习“垂线段最短”，二是让学生自己去发现PC=PD，并学会归纳成定理。

（三）我是小老师：

在先期讨论、猜想的基础上，教师利用“乐教乐学”里的“摇一摇”功能，摇两位小老师出来回答这两个问题。

（此处教师要注意课堂调控，如果学生回答出现错误或冷场（比如没想到用AAS证明），教师要提示，不宜耽误过多时间）

【设计意图】①设计让学生做“小老师”，有利于培养学生的表达能力和胆量，养成自我展示的良好习惯；②由于“摇一摇”功能充满不确定性，人人机会均等。这一功能对于提高学生积极性，活跃课堂气氛，很有作用。

（四）知识归纳：

在两位“小老师”回答的基础之上，师生共同总结出：

角平分线性质2：角平分线上的点到角的两边的距离相等。（板书）

（此处教师应鼓励学生用自己的话进行总结、归纳）

（教师将性质1、性质2形容为：初级阶段、中级阶段并板书）

之后教师用几何画板演示角平分线性质2：

点P运动，但PE和PE一直相等（具体见课件：角平分线性质.gsp）

并表达成符号语言：

如图（图形见本页右上角）

∵OE是∠AOB的平分线，点P在角平分线上，

且PC⊥OA，PD⊥OB ∴PC=PD 【设计意图】几何画板可以动态地演示“角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等”。．．．．形象生动；文字语言与符号语言是相辅相成的，让学生养成用符号语言表达定理的习惯。将性质1、性质2形象地称为：初级阶段、中级阶段，方便学生记忆。

（五）例题解析：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，CD=2cm，AB=6cm，求△ABD的面积

（可叫学生先行讨论、解决，然后教师点名学生回答，要注重理由的描述和填写）

解：过D作DE⊥AB于E，

∵BD平分∠ABC

∴DE=DC=2cm（角平分线上的点到角的两边的距离相等）

∴

△ABD的面积S=AB×DE=×6×2=6cm2

【设计意图】这一例题教材上没有，是补充内容。难度偏易，主要是考查学生对性质定理2的运用。

（六）探索发现：

师：我们原先讲过线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，并且其逆定理成立：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。见右图

而我们今天学的“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”，从表达形式上，与上一句话差不多，这就启发我们：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”其逆命题是否也成立？

由此引出：

问：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？

如图，点P在∠AOB的内部，它到角的两边的距离相等，即PC=PD，其中PC⊥OA，PD⊥OB，那么点P在∠AOB的平分线上吗？

（可叫学生先行讨论，然后教师点名学生回答）

解：过点O、P作射线OP，

∵

PC⊥OA，PD⊥OB，

∴∠PCO=∠PDO=90°

∴在Rt△

PCO 和Rt△PDO中，

有PC=PD

又OP=OP ∴

Rt△

PCO ≌Rt△PDO（

HL ）

∴∠1=∠2 ∴OP是角平分线，即点P在∠AOB的平分线上

由此得：

逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上（板书）

【设计意图】对照线段垂直平分线的性质定理，引发猜想：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”其逆命题是否也成立？运用类比方法，自然而然引出其逆定理。

应用：

如图，一个工厂在A区，它到公路、铁路的距离相等，并且离O点为500米，如何在图中标出它的位置。

【设计意图】这是教材上P26A组第1题，主要是考查学生对逆定理的运用。让学生感受所学知识与实际生活的联系。

（七）例题解析：

如图，∠BAD=∠BCD=90°, ∠1=∠2 （1）求证：点B在∠ADC的平分线上; （2）求证：BD是∠ABC的平分线

证明：

（1）在△ABC中

∵∠1=∠2 ∴BA=BC（等角对等边）

又BA⊥AD，BC⊥CD ∴点B在∠ADC的平分线上

（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）

（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中

∵BA=BC（已证

），BD=BD ∴Rt△BAD≌Rt△BCD（

HL ）

∴

∠ABD=∠CBD ∴BD是∠ABC的平分线

基本图形1

基本图形2

注：此题是书上P23例1，宜教师直接讲解，分清∠ADC和∠ABC，务必强调、注重基本图形的分析，见上图。方法可考虑分析法和综合法即“执果索因”。

（从复杂的图形找基本图形，是学习几何的一项基本功，教师要有意培养学生这方面的能力）

（八）练习及变式训练：

1、练习：

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥C于点F，BD=CD 求证：AB=AC

2、变式训练：

如右图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF 求证：AD是△ABC的角平分线。

学生先自行做5分钟（用“乐教乐学”里的倒计时，设定5分钟），然后每组派一个代表上台讲解，称之为“我展示”。

【设计意图】第1题是教材上P24练习的第1题，主要是考查学生对定理的运用。“变式训练”改编自第1题（用的是同一个图形），主要是考查学生对逆定理的运用。这样两个对比强烈的题目放在一起，利于学生厘清定理和逆定理的使用环境、联系及区别。

（九）课堂小结：角平分线性质

1、角平分线会产生两个等角（初级阶段）

2、角平分线上的点到角的两边的距离相等（中级阶段）

3、如图，AD是△ABC的角平分线，则

（高级阶段，供学有余力的同学选用）

（十）布置作业：P26页A组1、2、3题。

教学创新（亮点）或反思：

1、教师将角平分线的三个性质，按难易依次分为“初级阶段、中级阶段、高级阶段”。事实上，“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质，过一阵子是很容易忽略的，很多同学都会选择用三角形全等证明两距离相等（毕竟三角形全等平时用得多一些）而想不到角平分线的这一性质。但将它分为三个阶段，学生印象深刻。经常会听到学生脱口而出：中级阶段！根据本人的教学实践，关于角平分线这一知识点，加入这一比喻之后，学生确实要记得牢。

2、教学中，有意向学生渗透几何题目的解题方法，比如“执果索因”、“两头走一走”、“从复杂的图形中找出基本图形”，这些方法，对解决几何问题，永久受益。一堂好的课，不仅仅是教会学生本节课的结论，更应教会学生一种数学方法，一种把探究结果应用于实际问题的分析思路，这才是我们教学的实质。

3、“我是小老师”、“我展示”等环节的成功运用，对培养学生的表达能力，锻炼学生胆量，增强课堂仪式感，大有裨益。教师与学生的角色反串，让课堂充满新意和乐趣。

4、用几何画板课件，动态演示点P无论在哪个位置，其“到角两边的距离一直相等”，形象生动，让抽象的东西变得直观，易于理解。（此gsp文件已上传至教学资源里）

5、“乐教乐学”的使用恰到好处，一是用到了“摇一摇”产生两位小老师。因为摇一摇具有不确定性：学生不敢偷懒——因为自己可能被摇中；也充满好奇和期待——希望摇到的是别人。二是练习环节用到了“倒计时5分钟”。练习中加入倒计时，可增加课堂紧迫感和趣味性。