小结练习（2）教学设计实例

第15课时

一次函数

一、【教学目标】

1．掌握一次函数的意义及表达式；

2．掌握一次函数的图象及性质；

3．理解正比例函数与一次函数的关系；

4．掌握用待定系数法确定一次函数的表达式；

5．掌握一次函数与二元一次方程的关系；

6．掌握用一次函数解决实际问题．

二、【重点难点】

重点：1．一次函数的图象及性质；2．用待定系数法确定一次函数的表达式．

难点：1．一次函数与二元一次方程的关系；2．利用一次函数解决实际问题．

三、【主要考点】

（一）、定义

1．形如ykx(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数；

2．形如ykxb (其中k，b是常数，且k0) 的函数叫作一次函数．

（二）、图象

1．正比例函数的图象是经过原点的一条直线．

2．一次函数的图象是一条过点(0，b)和(（三）、性质

b>0 b=0 b<0 性质

y随x的增大而增大，直线从左至右上升，直线必经过第一、三b，0)的直线．

kyk>0 Oyx

Oyx

Ox

象限. y随x的增大而减小，直线从左至右下降，直线必经过第二、四yk<0 Oyx

Oyx

Ox

象限. 性质

直线与y轴交于正半轴，直线必经过第一、二象限. 直线与y轴交于原点处，此时函数为正比例函数. 直线与y轴交于负半轴，直线必经过第三、四象限.

（四）、直线的平移规律（设b＞0，h>0）

1．将直线y=kx向上平移b个单位得到直线y=kx+b；将直线y=kx向下平移b个单位得到直线y=kxb，简记为“上加下减”；

2．将直线y=kx向左平移h个单位得到直线y=k(x+h)+b；将直线y=kx向右平移b个单位得到直线y=k(xh)+b，简记为“左加右减”；

（五）、一次函数的应用

一次函数的应用主要有：（1）利用一次函数的性质，如增减性等来解决生活中的优化问题等；（2）利用两个一次函数的图象来解决方案选择问题；（3）解决分段函数问题．

1

四、【经典题型】

【15-1A】一次函数y＝3x2的图象不经过(

). A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

解：由k=3＜0可知，直线经过第二、四象限，由b＝2＜0可知，直线与y轴的负半轴相交，即经过第三、四象限，从而得出直线y＝3x2的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故答案为A．

温馨提示：

直线y=kx+b经过的象限由k和b的符号共同决定，当k＞0时，直线必经过第一、三象限，当k＜0时，直线必经过第二、四象限，当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交，从而必经过第一、二象限，当b＝0时，直线经过原点，当b＜0时，直线与y轴的负半轴相交，从而必经过第三、四象限．

【15-2A】若一次函数ykxb的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是(

). A.k>0，b>0

B.k>0，b<0

C.k<0，b>0

D. k<0，b<0 解：一次函数ykxb中，因为函数值y随x的增大而减小，得k＜0，直线与y轴的负半轴相交，得b＜0，故答案为D．

温馨提示：

一次函数ykxb中，k的符号决定的是函数的增减性，即当k>0时，y随x的增大而增大，图象表现为直线ykxb由左至右上升；当k<0时，y随x的增大而减小，图象表现为直线ykxb由左至右下降. b决定直线ykxb与y轴交点的坐标（0，b）.当b>0时，交点在x轴的上方；当b0时，交点即原点；当b<0时，交点在原点下方. 【15-3A】将直线

y  2 x

 4 向上平移5个单位后，所得直线的表达式是______. 解：将直线

y  2 x

 4 向上平移5个单位后得y2x 4＋5，即y=2x+1. 温馨提示：

将直线y=kx+b上下平移时，k的值不变，b的值“上加下减”.

y 【15-4B】如图15-4，直线y1=k1x+a与y2=k3x+b的交点坐标为（1，2），

ykxa

则使y1

). 2 A. x＞1

B. x＞2

C. x＜1

D. x＜2 x O 1 ykxb

解：要确定y1

方部分所对应的自变量x的取值范围.

观察图象可知x的取值范围是x<1. 图1541122选C. 温馨提示：

本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．

【15-5B】如图15-5，直线l1：yx1与直线l2：ymxn相交于点P(1，b). ①求b的值；

②不解关于x，y的方程组yx1，

请你直接写出它的解；

ymxn.③直线l3：ynxm是否也经过点P？请说明理由. 解：①∵(1，b)在直线yx1上，∴当x1时，b112. ②解是x1，

y2.图155③直线ynxm也经过点P，

∵点P(1，2)在直线ymxn上，∴mn2，∴2n×1m，这说明直线ynxm也经过点P. 温馨提示：

利用二元一次方程组的解可以求出两个一次函数图象的交点坐标；反之，利用两个一次函数图象的交点坐标，也可以把二元一次方程组的解求出来. 【15-6B】甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（米）与挖掘时间x（小时）之间的关系如图15-6，请根据图象所提供的信息解答下列问题：

2

图15-6

（1）求：

①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；

②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；

（2）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？

解：（1）①甲队在0≤x≤6的时段内，

根据题意，函数y=kx（k≠0）的图象经过点（6，60），

∴60=6k，解得，k=10，∴y=10x；

②乙队在2≤x≤6的时段内，

根据题意，函数y=ax+b（a≠0）的图象经过点（2，30）和点（6，50），

∴2ab30，a5，

解得

∴y=5x+20；

6ab50.b20.（2）根据题意得，10x=5x+20，解方程得，x=4，

答：当x为4时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等．

温馨提示： 已知两个点的坐标可利用了待定系数法求一次函数解析式，而求正比例函数的解析式只需除原点外的一个点的坐标即可．

【15-7C】某蒜薹（tái）生产基地喜获丰收，收获蒜薹200吨，经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售三种方式，并且按这三种方式销售，计划每吨平均的售价及成本如下表：

销售方式

售价（元/吨）

成本（元/吨）

13批发

3 000 700 零售

4 500 1 000 储藏后销售

5 500 1 200

若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出获得的总利润为y（元），蒜薹零售x（吨），且零售量是批发量的.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）由于受条件限制，经冷库储藏售出的蒜薹最多80吨，求该生产基地按计划全部售完蒜薹获得的最大利润. 解：（1）由题意，得批发蒜薹3x吨，储藏后销售(2004x)吨，

则y3x·(3000700)x·(45001000)(2004x)·(55001200)6800x860000.

（2）由题意，得2004x≤80. 解之，得x≥30.

∵y6800x860000，6800<0，∴y的值随x的值的增大而减小.

∴当x

 30时，y最大值6800×30860000656000.

∴该生产基地按计划全部售完蒜薹获得的最大利润为656 000元. 温馨提示：

利用一次函数的最值解决实际问题时，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值.

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五、【点击教材】

【15-8A】（八下

P139）某商店一种商品的定价为每件20元.

商店为了促销，决定如果购买5件以上，则超过5件的部分打七折. （1）用表达式表示购买这种商品的货款y（元）与购买数量x（件）之间的函数关系；

（2）当x=4，x=6时，货款分别为多少元？

解：（1）由题意，得

当0≤x≤5时，y=20x，

当x＞5，y=20×0.7(x5)+20×5=14x+30，

20x0≤x≤5综上所述：y

14x30x>5

（2）当x=4时，y=20x=20×4=80（元）；

当x=6时，y=14x+30=14×6+30=114（元）

答：当x=4时，货款为80元，当x=6时，货款为114元. 温馨提示：

该函数为分段函数，写函数关系式时要注意自变量的取值范围. 【15-9B】(八下

P145)如图15-9为边长是2的正方形ABCD，点P在CD上，且从点C运动到点D. 设CP=x，四边形ABPD的面积为y. （1）求y与x之间的函数表达式及x的取值范围；

（2）说明是否存在点P，使四边形ABPD的面积为1.5.

1解：（1）y=2×2×2×x=4x（0≤x＜2）

2（2）当y=4x=1.5时，x=2.5不在0≤x＜2的范围内，因此不存在点P使四边形APCD的面积为1.5．

温馨提示：

S四边形APCD =S正方形ABCDS△ABP，由于P从B运动到C，所以自变量的取值范围应该在0-2之间．

六、【链接中考】

图159【15-10A】（2014娄底）一次函数y=kxk（k＜0）的图象大致是（

）

A

B

C

D 解：选A.

【15-11A】（2015南平）直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（

）

A．（-4，0）

B．（-1，0）

C．（0，2）

D．（2，0）

解：选D. 【15-12A】（2015滨州）把直线y=-x-1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为___________. 解：把直线y=-x-1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为y=-（x-2）-1，即y=-x+1．故答案为y=-x+1．

温馨提示：

直线的左右平移规律为：“左加右减”，即直线y＝kx+b向左平移h（h＞0）个单位得到直线y=k(x+h)+b，直线y＝kx+b向右平移h（h＞0）个单位得到直线y=k(x-h)+b.

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【15-13A】（2015福建）在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大，请你写出符合条件的k的一个值：______________. 解：此题为开放题，k＞0即可，如k=1. 七、【课时检测】

（一）、选择题: （时量：5分钟，满分：15分，每小题3分）

【15-14A】（2015郴州）如图15-14为一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（

）

A．k＞0，b＞0

B．k＞0，b＜0 图1514C．k＜0，b＞0

D．k＜0，b＜0 【15-15A】函数y=x﹣1的图象是（

）

A．

B．

C．

D．

【15-16A】（2015宿迁）在平面直角坐标系中，若直线y=kx+b经过第一、三、四象限，则直线y=bx+k不经过的象限是（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【15-17A】如图15-17，直线l经过第二、三、四象限，l的解析式是y=（m-2）x+n，则m的取值范围在数轴上表示为（

）

图15－17

A

B

C

D 【15-18A】（2015广安）某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油1箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，邮箱中剩油量为y L，5则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（

）

A．y=0.12x，x＞0

B．y=600.12x，x＞0 C．y=0.12x，0≤x≤500

D．y=600.12x，0≤x≤500 （二）、填空题: （时量：10分钟，满分：15分，每小题3分） 【15-19A（】2015凉山州）已知函数y=2x2a+b+a+2b是正比例函数，则a=______，b=______.

【15-20A】（2015无锡）一次函数y=2x6的图象与x轴的交点坐标为_________. 【15-21A】已知一次函数y=(1m)x+m2，当m

时，y随x的增大而增大．

【15-22B】（2015株洲）已知直线y=2x+(3a)与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是___________. 【15-23B】（2015衡阳）如图15-23，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其中点A1、A2、…An在x轴上，点B1、B2、…Bn在直线y=x上，已知OA1=1，则OA2015的长为___________.

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（三）、解答题：（时量：25分钟，满分：36分，每小题9分）

【15-24A】（2015淄博）在直角坐标系中，一条直线经过A（1，5），P（2，a），B（3，3）三点．

（1）求a的值；

（2）设这条直线与y轴相交于点D，求△OPD的面积．

【15-25A】在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）之间为一次函数关系．根据图15-25提供的信息，解答下列问题：

（1）求出蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；

（2）求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间．

图1523图1525

32【15-26B】如图15-26，一次函数y=x+m的图象和y轴交于点B，与正比例函数y=x图象交于点P（2，n）．

（1）求m和n的值；

（2）求△POB的面积．

【15-27C】广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：

甲种

乙种

进价（元/千克）

售价（元/千克）

5 9 8 13 图1526（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？

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（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？

【课时检测答案】

（一）、选择题: （时量：5分钟，满分：15分，每小题3分）

【15-14】C，

【15-15】D，

【15-16】C，

【15-17】C，

【15-18】D.

（二）、填空题: （时量：10分钟，满分：15分，每小题3分） 12【15-19】，，

【15-20】(3，0)，

【15-21】＜1，

33【15-22】解：∵直线y=2x+（3-a）与x轴的交点在A（2，0）、B图1514（3，0）之间（包括A、B两点），∴2≤x≤3，令y=0，则2x+(3-a)=0，解得x则2≤a3≤3，解得7≤a≤9．

2a3，

2【15-23】解：∵OA1=1，∴OA2=2，OA3=4，OA4=8，由此得出OAn=2n-2，∴OA2015=22013. （三）、解答题：（时量：25分钟，满分：36分，每小题9分）

【15-24】解：（1）设直线的解析式为y=kx+b，把A（-1，5），B（3，-3）代入，

可得：kb5k2，解得：，

3kb3b3所以直线解析式为：y=-2x+3，

把P（-2，a）代入y=-2x+3中，

得：a=7；

（2）由（1）得点P的坐标为（2，7），

令x=0，则y=3，

所以直线与y轴的交点坐标为（0，3），

1所以△OPD的面积=×3×2＝3．

2【15-25】解：（1）由于蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）之间为一次函数关系．故设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．

由图示知，该函数图象经过点（0，24），（2，12），则解得k6．

b242kb12，

b24故函数表达式是y=-6x+24．

（2）当y=0时，

-6x+24=0 解得x=4，

即蜡烛从点燃到燃尽所用的时间是4小时．

3【15-26】解：（1）把P（2，n）代入y=x得n=3，

2所以P点坐标为（2，3），

把P（2，3）代入y=-x+m得-2+m=3，解得m=5，

即m和n的值分别为5，3；

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（2）把x=0代入y=-x+5得y=5，

1所以B点坐标为（0，5），所以△POB的面积=×5×2=5．

2【15-27】解：（1）设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（140-x）千克，

根据题意可得：

5x+9（140-x）=1000，

解得：x=65，

∴140-x=75（千克），

答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；

（2）由图表可得：甲种水果每千克利润为：3元，乙种水果每千克利润为：4元，

设总利润为W，由题意可得出：W=3x+4（140-x）=-x+560，

故W随x的增大而减小，则x越小W越大，

因为该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，

∴140-x≤3x，

解得：x≥35，

∴当x=35时，W最大=-35+560=525（元），

故140-35=105（kg）．

答：当甲购进35千克，乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．

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