1. 圆周运动第二课时教案

1

圆周运动

[学习目标]

1.知道什么是匀速圆周运动，知道它是变速运动.2.掌握线速度的定义式，理解线速度的大小、方向的特点.3.掌握角速度的定义式，知道周期、转速的概念.4.知道线速度、角速度和周期之间的关系．

一、线速度

Δs1.定义：质点做圆周运动通过的弧长与通过这段弧长所用时间的比值，v＝. Δt2.意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢. 3.方向：线速度是矢量，方向与圆弧相切，与半径垂直. 4.匀速圆周运动

(1)定义：质点沿圆周运动，在相等的时间内通过的圆弧长度相等. (2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动. 二、角速度

1.定义：连接质点与圆心的半径所转过的角度Δφ跟所用时间Δt的比值，ω＝2.意义：描述物体绕圆心转动的快慢. 3.单位

(1)角的单位：国际单位制中，弧长与半径的比值表示角的大小，称为弧度，符号：rad. (2)角速度的单位：弧度每秒，符号是rad/s或rad·s1. －Δφ. Δt三、周期和转速

1.周期T：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间，单位：秒(s). 2.转速n：单位时间内转过的圈数，单位：转每秒(r/s)或转每分(r/min). 13.周期和转速的关系：T＝(n单位为r/s时). n

四、线速度、角速度和周期之间的关系

1.线速度与周期的关系：v＝2πr. T2π. T2.角速度与周期的关系：ω＝3.线速度与角速度的关系：v＝rω. [即学即用]

1.判断下列说法的正误. (1)匀速圆周运动是一种匀速运动.(×) (2)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同.(×) (3)做匀速圆周运动的物体，其合外力不为零.(√) (4)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变.(×) (5)做匀速圆周运动的物体，其角速度大小不变.(√) (6)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小.(√) 2.A、B两个质点，分别做匀速圆周运动，在相等时间内它们通过的弧长比sA∶sB＝2∶3，转过的圆心角比φA∶φB＝3∶2，那么它们的线速度之比vA∶vB＝________，角速度之比ωA∶ωB＝________. 答案

2∶3

3∶2 ΔsvA2ΔφωA3解析

由v＝知＝；由ω＝知＝. ΔtvB3ΔtωB2

一、线速度和匀速圆周运动

[导学探究]

如图1所示为自行车的车轮，A、B为辐条上的两点，当它们随轮一起转动时，回答下列问题：

图1 (1)A、B两点的速度方向沿什么方向？

(2)A、B两点在相同的时间内沿圆弧运动的轨迹长度相同吗？哪个运动得快？

(3)如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等，B做匀速运动吗？

(4)匀速圆周运动的线速度是不变的吗？匀速圆周运动的“匀速”同“匀速直线运动”的“匀速”一样吗？

答案

(1)两点的速度方向均沿各自圆周的切线方向.

(2)B运动的轨迹长，B运动得快. (3)B运动的速率不变，但B运动的方向时刻变化，故B做非匀速运动. (4)质点做匀速圆周运动时，线速度的大小不变，方向时刻在变化，因此，匀速圆周运动不是线速度不变的运动，只是速率不变，是变速曲线运动.而“匀速直线运动”中的“匀速”指的是速度不变，是大小、方向都不变，二者并不相同.

[知识深化]

1.对线速度的理解：

(1)线速度是物体做圆周运动的瞬时速度，线速度越大，物体运动得越快. (2)线速度是矢量，它既有大小，又有方向，线速度的方向在圆周各点的切线方向上. Δs(3)线速度的大小：v＝，Δs代表弧长. Δt2.对匀速圆周运动的理解：

(1)匀中有变：由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周的切线方向，所以物体做匀速圆周运动时，速度的方向时刻在变化. (2)匀速的含义：

①速度的大小不变，即速率不变. ②转动快慢不变，即角速度大小不变. (3)运动性质：

线速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动是一种变速运动. 例1

(多选)某质点绕圆轨道做匀速圆周运动，下列说法中正确的是(

) A.因为它速度大小始终不变，所以它做的是匀速运动

B.它速度大小不变，但方向时刻改变，是变速运动

C.该质点速度大小不变，因而加速度为零，处于平衡状态

D.该质点做的是变速运动，具有加速度，故它所受合力不等于零

答案

BD 二、角速度、周期和转速

[导学探究]

如图2所示，钟表上的秒针、分针、时针以不同的角速度做圆周运动.

图2 (1)秒针、分针、时针它们转动的快慢相同吗？如何比较它们转动的快慢？

(2)秒针、分针和时针的周期分别是多大？

答案

(1)不相同.根据角速度公式ω＝转过的角度最小，所以秒针转得最快. Δφ知，在相同的时间内，秒针转过的角度最大，时针Δt(2)秒针周期为60 s，分针周期为60 min，时针周期为12 h. [知识深化]

1.对角速度的理解：

(1)角速度描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢，角速度越大，物体转动得越快. Δφ(2)角速度的大小：ω＝，Δφ代表在时间Δt内，物体与圆心的连线转过的角度. Δt(3)在匀速圆周运动中，角速度大小不变，是恒量. 2.对周期和频率(转速)的理解：

(1)周期描述了匀速圆周运动的一个重要特点——时间周期性.其具体含意是，描述匀速圆周运动的一些变化的物理量，每经过一个周期时，大小和方向与初始时刻完全相同，如线速度等. (2)当单位时间取1 s时，f＝n.频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的，但频率具有更广泛的意义，两者的单位也不相同. 113.周期、频率和转速间的关系：T＝＝. fn例2

(多选)一准确转动的机械钟表，下列说法正确的是(

) A.秒针转动的周期最长

B.时针转动的转速最小

C.秒针转动的角速度最大

πD.秒针的角速度为

rad/s 30答案

BCD 解析

秒针转动的周期最短，角速度最大，A错误，C正确；时针转动的周期最长，转速最2ππ小，B正确；秒针的角速度为ω

＝

rad/s＝

rad/s，故D正确. 6030三、描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系

[导学探究]

线速度、角速度、周期都是用来描述圆周运动快慢的物理量，它们的物理含义不同，但彼此间却相互联系. (1)线速度与周期及转速的关系是什么？

(2)角速度与周期及转速的关系是什么？

(3)线速度与角速度什么关系？

Δs2πr答案

(1)物体转动一周的弧长Δs＝2πr，转动一周所用时间为Δt＝T，则v＝＝＝2πrn. ΔtT

2π(2)物体转动一周转过的角度为Δφ＝2π，用时为T，则ω＝＝2πn. T(3)v＝ωr. [知识深化]

1.描述圆周运动的各物理量之间的关系：

Δs2πr(1)v＝＝＝2πnr

ΔtTΔφ2π(2)ω＝＝＝2πn

ΔtT(3)v＝ωr

2.描述圆周运动的各物理量之间关系的理解：

2π(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速T度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也确定了. 1(2)线速度与角速度之间关系的理解：由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一r定时，v∝r. 例3

做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：

(1)线速度的大小；

(2)角速度的大小；

(3)周期的大小. 答案

(1)10 m/s

(2)0.5 rad/s

(3)4π s Δs解析

(1)依据线速度的定义式v＝可得

ΔtΔs100v＝＝

m/s＝10 m/s. Δt10v10(2)依据v＝ωr可得，ω＝＝

rad/s＝0.5 rad/s. r202π2π(3)T＝＝

s＝4π s. ω0.5四、同轴转动和皮带传动问题

[导学探究]

如图3为两种传动装置的模型图.

图3

(1)甲图为皮带传动装置，试分析A、B两点的线速度及角速度关系. (2)乙图为同轴传动装置，试分析A、C两点的角速度及线速度关系. 答案

(1)皮带传动时，在相同的时间内，A、B两点通过的弧长相等，所以两点的线速度大小相同，又v＝rω，当v一定时，角速度与半径成反比，半径大的角速度小. (2)同轴传动时，在相同的时间内，A、C两点转过的角度相等，所以这两点的角速度相同，又因为v＝rω，当ω一定时，线速度与半径成正比，半径大的线速度大.

[知识深化]

常见的传动装置及其特点

同轴传动

A、B两点在同轴的一个圆盘上

装

置

皮带传动

两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点

齿轮传动

两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点

特

点

角速度、周期相同

线速度大小相同

角速度与半径成反比：

线速度大小相同

角速度与半径成反比：ωAr2＝.周期与半径成正ωBr1TAr1比：＝

TBr2规

律

线速度与半径成正比：

ωAr＝.周期与半径成正ωBRvAr＝

vBRTAR比：＝

TBr

例4

(多选)如图4所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的(

)

图4 A.角速度之比为1∶2∶2 B.角速度之比为1∶1∶2 C.线速度大小之比为1∶2∶2 D.线速度大小之比为1∶1∶2 答案

AD

解析

A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等. a、b比较：va＝vb

由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2 b、c比较：ωb＝ωc

由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2 所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2 va∶vb∶vc＝1∶1∶2 故A、D正确.

识记传动装置的两个重要特点：

(1)固定在一起同轴转动的物体上各点角速度相同. (2)不打滑的摩擦传动(包括皮带传动)的两轮边缘上各点线速度大小相等.

例5

一个圆环，以竖直直径AB为轴匀速转动，如图5所示，求环上M、N两点的：

图5 (1)线速度的大小之比；

(2)角速度之比. 答案

(1)3∶1

(2)1∶1 解析

M、N是同一环上的两点，它们与环具有相同的角速度，即ωM∶ωN＝1∶1，两点做圆周运动的半径之比

rM∶rN＝sin 60°∶sin 30°＝3∶1，故

vM∶vN＝ωMrM∶ωNrN＝3∶1.

1.(对匀速圆周运动的认识)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中不正确的是(

) A.相等的时间内通过的路程相等

B.相等的时间内通过的弧长相等

C.相等的时间内通过的位移相等

D.在任何相等的时间里，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等

答案

C 解析

匀速圆周运动是指速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧长相等，转过的角度也相等，A、B、D项正确；相等时间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，故C项错误. 2.(描述圆周运动各量的关系)关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是(

) A.因为在相等的时间内通过的圆弧长度相等，所以线速度恒定

B.如果物体在0.1 s内转过30°角，则角速度为300 rad/s C.若半径r一定，则线速度与角速度成反比

2πrD.若半径为r，周期为T，则线速度为v＝

T答案

D 解析

物体做匀速圆周运动时，线速度大小恒定，方向沿圆周的切线方向，在不断地改变，πΔφ65π故选项A错误；角速度ω＝＝

rad/s＝

rad/s，选项B错误；线速度与角速度的关系Δt0.13为v＝ωr，由该式可知，r一定时，v∝ω，选项C错误；由线速度的定义可得，在转动一周2πr时有v＝，选项D正确. T3.(传动问题分析)如图6所示，甲、乙、丙三个齿轮的半径分别为r1、r2、r3，并且r1＜r2＜r3.若甲齿轮的角速度为ω1，则丙齿轮的角速度为(

)

图6 r1ω1r3ω1r3ω1r1ω1A.

B.

C.

D.

r3r1r2r2答案

A r1ω1解析

甲、乙、丙三个齿轮边缘上各点的线速度大小相等，即r1ω1＝r2ω2＝r3ω3，所以ω3＝，r3选项A正确. 4.(圆周运动的周期性)如图7所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度及圆盘转动的角速度ω的大小.

图7

答案

Rg

2nπ2hg(n＝1,2,3…) 2h解析

设球在空中运动时间为t，此圆盘转过φ角.则

1R＝vt，h＝gt2

2故初速度v＝Rg

2hφ＝n·2π(n＝1,2,3…) 又因为φ＝ωt

则圆盘角速度

n·2πω＝＝2nπtg(n＝1,2,3…). 2h课时作业

一、选择题(1～6为单选题，7～11为多选题) 1.用细线拴住一个小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动，下列描述小球运动的物理量发生变化的是(

) A.速率

C.周期

答案

B 解析

做匀速圆周运动的小球的速度大小恒定，线速度变化，匀速圆周运动的周期和角速度恒定，B符合题意，A、C、D不符合题意. 2.一质点做匀速圆周运动时，圆的半径为r，周期为4 s，那么1 s内质点的位移大小和路程分别是(

) πrA.r和

2C.2r和2r

答案

D 3.关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是(

) A.线速度大的角速度一定大

B.线速度大的周期一定小

C.角速度大的半径一定小

D.角速度大的周期一定小

答案

D 解析

由v＝ωr可知，当r一定时，v与ω成正比；v一定时，ω与r成反比，故A、C均错πrπrB.和

22πrD.2r和

2B.线速度

D.角速度

2πr2π误.由v＝可知，当r一定时，v越大，T越小，B错误.由ω＝可知，ω越大，T越小，TT故D正确. 4.如图1所示是一个玩具陀螺.a、b和c是陀螺上的三个点.当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是(

)

图1 A.a、b和c三点的线速度大小相等

B.a、b和c三点的角速度大小相等

C.a、b的角速度比c的大

D.c的线速度比a、b的大

答案

B 解析

同一物体上的三点绕同一竖直轴转动，因此角速度相同，c的半径最小，故它的线速度最小，a、b的半径相同，二者的线速度大小相等，故选B. 5.两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图2所示.当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则转轴O到小球2的距离是(

)

图2 Lv1A.

v1＋v2Lv1＋v2C.

v1答案

B 解析

两球在同一杆上，旋转的角速度相等，均为ω，设两球的转动半径分别为r1、r2，则r1＋r2＝L.又知v1＝ωr1，v2＝ωr2，联立得r2＝Lv2，B正确. v1＋v2Lv2B.

v1＋v2Lv1＋v2D.

v26.如图3所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速运动，角速度为ω.若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是(

)

图3 A.dv0

2＝L2g

B.ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2,3…) dC.v0＝ω

2D.dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2,3…) 答案

B 解析

依题意飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A2n＋1πLL2n＋1π正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝，平抛的时间t＝，则有＝ωv0v0ω11(n＝0,1,2,3，…)，B正确，C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝gt2，联立有dω2＝gπ2(2n22＋1)2(n＝0,1,2,3，…)，A、D错误. 7.质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是(

) A.因为v＝ωr，所以线速度v与轨道半径r成正比

vB.因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径r成反比

rC.因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比

2πD.因为ω＝，所以角速度ω与周期T成反比

T答案

CD 解析

当ω一定时，线速度v才与轨道半径r成正比，所以A错误.当v一定时，角速度ω才与轨道半径r成反比，所以B错误.在用转速或周期表示角速度时，角速度与转速成正比，与周期成反比，故C、D正确. 8.甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是(

) A.它们的半径之比为2∶9 B.它们的半径之比为1∶2 C.它们的周期之比为2∶3 D.它们的周期之比为1∶3 答案

AD vr甲v甲ω乙22π2π2π解析

由v＝ωr，得r＝，＝＝，A对，B错；由T＝，得T甲∶T乙＝∶＝1∶3，ωr乙v乙ω甲9ωω甲ω乙

C错，D对. 9.如图4所示为皮带传动装置，主动轴O1上有两个半径分别为R和r的轮，O2上的轮半径为2r′，已知R＝2r，r′＝R，设皮带不打滑，则(

) 3

图4 A.ωA∶ωB＝1∶1

C.ωB∶ωC＝2∶3

答案

AC r1v＝ωrvA解析

研究A、B两点：A、B两点角速度相同――→＝＝；研究B、C两点：B、C两点vBR2v＝ωrωBr′2线速度大小相同――→＝＝. ωCR3B.vA∶vB＝1∶1 D.vA∶vC＝2∶1 10.如图5所示，一个匀速转动的半径为r的水平圆盘上放着两个木块M和N，木块M放在1圆盘的边缘处，木块N放在离圆心r的地方，它们都随圆盘一起运动.比较两木块的线速度3和角速度，下列说法中正确的是(

)

图5 A.两木块的线速度大小相等

B.两木块的角速度相同

C.木块M的线速度大小是木块N的线速度大小的3倍

D.木块M的角速度大小是木块N的角速度大小的3倍

答案

BC 1解析

由传动装置特点知，M、N两木块有相同的角速度，又由v＝ωr知，因rN＝r，rM＝r，3故木块M的线速度大小是木块N的线速度大小的3倍，选项B、C正确. 11.如图6所示为某一皮带传动装置.主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是(

)

图6

A．从动轮做顺时针转动

B．从动轮做逆时针转动

r1C．从动轮的转速为n

r2r2D．从动轮的转速为n

r1答案

BC 解析

主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A项错误，B项正确；由于两轮边缘线速度大小相等，根据v＝2πrn，可得两轮转速与半径成反比，所以C项正确，D项错误．

二、非选择题

12．一汽车发动机的曲轴每分钟转2 400周，求：

(1)曲轴转动的周期与角速度．

(2)距转轴r＝0.2 m点的线速度大小．

1答案

(1)

s

80π rad/s

(2)16π m/s

40解析

(1)由于曲轴每秒钟转2 4001＝40(周)，周期T＝

s；而每转一周为2π

rad，因此曲轴6040转动的角速度ω＝2π×40 rad/s＝80π rad/s. (2)已知r＝0.2 m，因此这一点的线速度v＝ωr＝80π×0.2 m/s＝16π m/s. 13．如图7所示为皮带传动装置，皮带轮的圆心分别为O、O′，A、C为皮带轮边缘上的点，12B为AO连线上的一点，RB＝RA，RC＝RA，当皮带轮匀速转动时，皮带与皮带轮之间不打23滑，求A、B、C三点的角速度大小之比、线速度大小之比．

图7 答案

2∶2∶3

2∶1∶2 解析

由题意可知，A、B两点在同一皮带轮上，因此ωA＝ωB，又皮带不打滑，所以vA＝vC，

故可得ωC＝vCvA3＝＝ωA，

RC22RA33所以ωA∶ωB∶ωC＝ωA∶ωA∶ωA＝2∶2∶3. 2vA1又vB＝RB·ωB＝RA·ωA＝，

221所以vA∶vB∶vC＝vA∶vA∶vA＝2∶1∶2. 2

14．如图8所示，半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动，轮上a、b两点与O的连线相互垂直，a、b两点均粘有一个小物体，当a点转至最低位置时，a、b两点处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上．

图8 (1)试判断圆轮的转动方向(说明判断理由)．

(2)求圆轮转动的角速度大小．

答案

见解析

解析

(1)由题意知，a物体做平抛运动，若与b点物体下落的时间相同，则b物体必须做竖直下抛运动，故知圆轮转动方向为逆时针转动．

1(2)a平抛：R＝gt2 21b竖直下抛：2R＝v0t＋gt2 2由①②得v0＝又因ω＝

v0

Rg. 2RgR

2①

②

③

④

由③④解得ω＝