2.用转化的策略求简单数列的和教学设计(第一课时)

解决问题的策略——转化

教学内容：教科书P107-108例2和“练一练”，练习十六第4-7题。

教学目标：

1、使学生进一步感受和认识转化的策略，能根据一些算式的特点，采用转化策略用简便的方法计算得数；能发现一些计算的规律，并能应用规律简便运算。

2、使学生经历采用策略使计算简单的体悟过程，进一步感受转化的思想方法，积累数学活动的基本经验，发展思维的灵活性和敏捷性。

3、使学生在获得策略体验的过程中，感受转化策略的应用价值，增强策略意识；在应用转化中感受计算规律，产生学习数学的兴趣；受到事物可以相互转化观点的熏陶。

教学重点：用转化策略解决相关计算。

教学难点：理解算式转化的依据和方法。

教学过程：

一、复习引入

师：同学们，上节课我们学习了“转化”的策略，在图形问题中充满了“转化”；其实，在我们的一些计算问题中也要用到“转化”的策略，比如这个整数连加的算式，你准备怎么算？

小结：这4个加数分别接近整万、整千、整百和整十。所以我们可以把这个题转化成这样的比较容易的算式来计算。今天这节课，我们就一起来学习“转化”策略在计算问题中的运用。

二、解决问题，以形解数

1、了解特点，计算结果。

师：首先，来看一个关于分数加法的计算问题。

113＋ 师：结果是（）

244111＋＋ 师：结果是……，你是怎么算的？

248①可以按顺序依次计算。②先通分，再计算。

11111师：继续加，下一个加数是（）板书：＋＋＋

1624816师：请同学们仔细观察一下，这四个加数有什么特点？

小结：每个加数的分子都是1，分母是有规律排列的，依次是2，2×2，2

1

×2×2，2×2×2×2（111111是的一半，是的一半，是的一半）

428416811师：以此类推，＋＋

6432这个算式有点复杂，你准备怎么算呢？好，练习纸上第1题。

①

先通分，再计算。

师：这位同学先（通分），转化成同分母分数，再计算，结果是②

从简单例子想起

师：这位同学从简单的例子想起，发现得数的分母和最后一个加数的分母相同，分子比分母小1，不错。

③

裂项相消法

师：第3位同学，他是怎么算的？他把一个分数转化成两个分数相减的形式，

163中间这部分在加与减的过程中消去了，发现最后只剩下（1－），结果是。

64642、引导转化

师：同学们的方法还真多，有的同学把异分母分数转化成同分母分数；有的同学化多为少，从简单例子想起；还有的把数转化成式子。在这个过程中我们都运用了什么策略啊？（转化）

如果把这些数，用图形来表示，会发生什么有趣的事情呢？

11＋

2411师：这是一个正方形，看作单位“1”，可以怎样得到？这是（），把这

24两个分数合起来。看清楚了吗？

师：图中哪部分表示两个分数的和？ 师：把图和算式联系起来想一想，这个加法算式可以转化成哪个算式来计算？你是怎么想的？

111＋＋

24863，对吗？

64师：这个加法算式可以转化成哪个算式来计算？和同桌交流一下你的想法。

111111＋＋＋＋＋

24816326411师：你是怎么找到和的？

481111师: 继续平均分，得到、、，这个加法算式就可以转化成（1－）

16326464

2

来计算？你是怎么看出来的？

小结：看来，要求涂色部分，可以从空白部分入手，把整体“1”减去空白部分，剩下来的就是涂色部分。本来算加法，比较复杂；转化后，算减法，就比较简单。

3、练习

比比谁算得快

1111111＋＋＋＋＋＋

248163264128师：看到这个算式，你想到了什么？

11111111＋＋＋＋＋＋＋＋……

248163264128256师：结果是……一起说吧！如果按这个规律一直往下加，结果会……

1111＋＋＋

481632小结：像这样的分数连加算式，要实现转化，必须满足一定的条件。

引导：同学们，我们用转化的策略使计算简便的时候，是怎样想到化加为减的？又是靠什么纠正了转化过程中的错误的？——图形

小结：把数和图形结合有助于思考，可以帮助我们想到正确并合理的转化方法。著名数学家华罗庚就说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休。借助图形，来找到转化的方法，这是我们今天这节课重点研究的内容。

二、内化提升

1、出示“练一连”第2题

下图是一个装满了铅笔的铅笔架。第一层有6枝，第二层有7支，第三层有8支，依此类推，第10层的就有15支。一共有多少支铅笔？你能用加法计算吗？

师：这个算式，又有什么特点？

师：每两个数都相差1，是连续的自然数相加。一个一个加起来，就很麻烦。借助图形来想一想，这个算式还可以转化成哪个算式呢？

生：等差数列求和/梯形面积计算公式

师：两个完全一样的梯形铅笔架拼成了一个平行四边行铅笔架，现在你能把图和算式结合起来想一想，为什么可以这样来转化吗？和同桌交流一下。

学生汇报。

师：“6＋15”表示第1行有21个，第2行，第3行呢？这里每行都有21

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个，有这样的10行。那为什么还要“除以2”呢？

小结：借助这个图，我们发现求连续自然数相加的和，可以转化成求相同数相加的和，口算就能得出结果。

师：现在你能说说，怎样求连续自然数相加的和吗？

练习：

15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23＋24 师：结合刚才的转化想一想，这10个连续自然数的和，怎样计算比较简便？会算吗？作业纸上第2题。

师：像这样的连续自然数相加，在借助图形转化后，你又有什么感受？

小结：借助图形，可以把复杂的算式转换成简单的算式，对于我们原来记住的计算公式或算法，会有更深刻的理解。

2、完成练一练第7题。

师：同学们，其实关于连续自然数相加的规律，很早就有人研究了。古希腊数学家毕达哥拉斯喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，我们来看。

当小石子的数目是1、3、6、10等数时，小石子能摆成正三角形，它把这些数称为正三角形数。第2个正三角形数等于1＋2，第3个正三角形数等于1＋2＋3……，这是第11个正三角形，你能算出小石子的个数吗？

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11 师：和刚才的计算方法是相同的。如果我把第2、第4、第6层……去掉，这个算式有什么特点？（从1开始连续奇数相加）

师：借助图想一想，还能不能用刚才的方法计算？完成第3题。

师：连续奇数相加也可以像刚刚那样转化，对吗？同学们，从1开始连续奇数相加，每两个数相差2，和连续自然数相加，还是有区别的，它是否还能转化成更简单的算式呢？看来又要请谁来帮忙？（图形）

师：图就在你们手中。看要求：用1枚白子和3枚黑子摆出一个图形，表示“1＋3”；边摆边思考：摆出的图形能否把1＋3转化成其它的算式？

师：观察一下，两种摆法中，哪一种能带给你转化的灵感？

根据这个图，可以把1＋3转化成什么？2指什么？

小结：自己动手重新调整一下，摆一摆。这个正方形图非常有价值，每行有2个，有2行，那么1＋3就可以转化成2×2。

师：接下来请你在刚才的基础上摆一摆，摆出1＋3＋5的图。边摆边思考，

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1＋3＋5可以怎么转化？

师：想象一下，1＋3＋5＋7可以摆出怎样的图？（可以摆出一个边长4的正方形），那它可以转化成（4×4）

过渡：同学们，多么有趣，从1开始连续几个奇数相加的算式还对应着正方形图，并且转化成了2×2， 3×3，4×4，自然“1”就可以写成1×1。

师：结合刚才的例子想一想，从1开始连续几个奇数相加的和，可以转化为加数个数的平方。

练习：

师：接下来，根据规律重新来计算。

1＋3＋5＋7＋9＋11 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19 师：同学们，和刚才比，同样运用转化的策略，哪一种计算更简便？

小结：你看，同样的算式用不同的图形来表达，会有不一样的感受，有可能就会创造出新的计算方法，这就是数和图结合在一起的魅力。

刚才我们研究的“从1开始连续几个奇数相加的和”，就可以称为“正方形数”。当小石子的数目是1，5，12，22等数时，小石子都能摆成正五边形，把这些数叫做正五边形数……

于是，我们把这些数称为有形状的数。这样一来，自然数就有了生动的形象，借助图形，寻找它们之间的规律也就简单多了。

三、全课小结

师：同学们，今天这节课，我们继续学习了解决问题的策略，通过今天这节课的学习，你又有什么收获？

小结：每天经我们手计算的这些普普通通的算式里，都有一些值得发现的东西。我们可以像今天这样试着从图形、从新的角度来看待这些算式，说不定就会产生新的想法，得到新的启发。

师：最后，再来看一个加法算式，2＋4＋6＋8＋10＋12，这个算式和刚才的算式比，它又有什么特点？

你能不能把它转化成一个简单的算式？

我们可以从这个排成6行6列的点子图里看到6个连续奇数在连加1＋3＋5＋7＋9＋11，再添一行，就能看到6个连续偶数在连加2＋4＋6＋8＋10＋12，

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你会快速算出这6个连续偶数相加的和了吗？

总结：看来，算式就潜伏在图形中，图形就潜伏在算式中，借助图形完成复杂算式向简单算式、未知算式向已知算式、长算式向短算式的转化还真是奥妙无穷啊！

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