2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀说课稿

平面向量的正交分解及坐标表示

题型1

平面向量的坐标运算

例1

已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求a＋b，a－b，3a＋4b. 分析：利用向量的坐标运算法则．

解析：a＋b＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)，

a－b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)，

3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝

(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)

点评：(1)实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标．

(2)两个向量的和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．

跟踪训练

1．已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：

(1)2a＋3b；

(2)a－3b；

13(3)a－b. 22解析：(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)

＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).

(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)

－(6，3)＝(－7，－1).

1313－1，2(3)a－b＝()－(2，1)

22221371＝－2，1－3，2＝－2，－2.

1

题型2

用方程思想求向量坐标

例2

已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，

求a和b. 分析：设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则问题就可转

化为方程思想解决．

解析：方法一

设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则

n＋q＝－8，n＝4，m－p＝－8，解得p＝5，n－q＝16，q＝－12.方法二

a＝m＋p＝2，m＝－3，

∴a＝(－3，4)，b＝(5，－12).

1(a＋b)＋(a－b)]＝(－3，4)，

2[1b＝[(a＋b)－(a－b)]＝(5，－12).

2点评：上面两种方法都是通过解方程组得到解决，方法一侧重以坐标为主体的方程，方法二是整体思想，解向量方程．

►跟踪训练

2．已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，c＝(－6，19)，

用a，b表示c. 解析：设c＝xa＋yb，则有(－6，19)＝x(2，1)

＋y(－3，4)＝(2x－3y，

x＋4y)，

2x－3y＝－6，x＝3，∴

解得

x＋4y＝19，y＝4.∴c＝3a＋4b.

题型3

平面向量的坐标表示

2

例3

已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)和

→，AC→为一组基底来表示AD→＋BD→＋CD→. D(－2，3).以AB分析：本题主要是考查向量的坐标表示、向量的坐标

运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识，求解

→、AC→、AD→、

时首先由点A、B、C、D的坐标求得向量AB→、CD→等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式

BD→＋BD→＋CD→＝m·→＋n·→，再列出关于m、n的方程

ADABAC组，进而解方程求出所表示的系数．

→＝(1，3)，AC→＝(2，4)，AD→＝(－3，5)，

解析：AB→＝(－4，2)，CD→＝(－5，1).

BD→＋BD→＋CD→＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝

AD(－12，8).

根据平面向量的基本定理，一定存在实数m，n使得

→＋BD→＋CD→＝m·→＋n·→，

ADABAC即(－12，8)＝(m＋2n，3m＋4n)，

m＋2n＝－12，m＝32，可得

解得

3m＋4n＝8，n＝－22.→＋BD→＋CD→＝32AB→－22AC→.

所以AD点评：

坐标运算要熟记公式，始点和终点的前后顺

序不可颠倒，否则会出现错误．

►跟踪训练

3．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，

1→→→→的坐标．

－8，10()，求AB＋2BC和BC－2AC3

分析：本题主要是考查向量的坐标表示、向量的坐标

运算．问题已给出A、B、C三点的坐标，因此可写出向量

→、BC→、AC→的坐标，进而利用向量的数乘、加、减的坐标

AB运算，问题就可得解．

→＝(－2，10)，

解析：∵AB→＝(－8，4)，AC→＝(－10，14).

BC1→1→－2，10∴AB＋BC＝()＋2(－8，4)

2＝(－2，10)＋(－4，2)＝(－6，12).

→－2AC→＝(－8，4)－2(－10，14) BC＝(－8，4)－(－20，28)＝(12，－24).

题型4

平面向量坐标在几何中的应用

例4

已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，

B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平

行四边形ABCD的四个顶点．

分析：根据平行四边形对边平行且相等，

→＝CD→，AD→＝BC→.

即有BA解析：设D(x，y)，则

→＝(－2，1)－(－1，3)＝(－1，－2)，

BA→＝(x，y)－(3，4)＝(x－3，y－4).

CD→＝CD→，

∵BAx－3＝－1，x＝2，∴

解得

y－4＝－2，y＝2.∴D(2，2).

4

点评：设出所求点的坐标，利用向量相等或向量共线列方程组求解，利用方程的思想求解向量中未知的点的坐标，是一种最基本的方法．

►跟踪训练

4．已知平面上三点的坐标，分别为A(1，2)，

B(3，－1)，C(5，6)，求点D的坐标，使这四

点构成平行四边形ABCD的四个顶点．

解析：设D(x，y)，则

→＝(1，2)－(3，－1)＝(－2，3)，

BA→＝(x，y)－(5，6)＝(x－5，y－6).

CD→＝CD→，

∵BAx－5＝－2，x＝3，∴

解得

y－6＝3，y＝9.∴D(3，9).

5