2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学目标

第2讲

平面向量基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．

其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

2λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y1．

(2)向量坐标的求法：

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

→②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，

→|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．

[做一做] →→→1．若向量BA＝(2，3)，CA＝(4，7)，则BC＝(

) A．(－2，－4)

B．(2，4) C．(6，10)

D．(－6，－10) 答案：A 2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(

) 8－13，8

1，

A.B.333134－13，－4

，

C.D.3333答案：D 1．辨明三个易误点

(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．

(2)注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0. (3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．

2．有关平面向量的两类本质

平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．

向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．

[做一做] 3．已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是(

) A．a＝0，b＝e1＋e2

B．a＝3e1＋3e2，b＝e1＋e2

C．a＝e1－2e2，b＝e1＋e2

D．a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2

答案：C 4．已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若a∥b，则实数m等于(

) A．－2

B.2 C．－2或2

D．0 答案：C

→→→→

已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM→＝3c，CN＝－2b. (1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

→(3)求M、N的坐标及向量MN的坐标．

[解]

由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)

＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，

－6m＋n＝5，m＝－1，∴解得

－3m＋8n＝－5，n＝－1.(3)设O为坐标原点，

→→→∵CM＝OM－OC＝3c，

→→∴OM＝3c＋OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．

→→→∴M(0，20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b，

→→∴ON＝－2b＋OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，

→∴N(9，2)．∴MN＝(9，－18)．

[规律方法]

平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．

2.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，→→→|BC|＝2|AC|，则向量OB的坐标是________．

→→→→解析：由点C是线段AB上一点，|BC|＝2|AC|，得BC＝－2AC.设点B为(x，y)，则(2－x，2－x＝－2，x＝4，→3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量OB的坐标是(4，7)．

3－y＝－4，y＝7.答案：(4，7) 考点三__平面向量共线的坐标表示(高频考点)____

平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．

高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度：

(1)利用两向量共线求参数；

(2)利用两向量共线的条件求向量坐标；

(3)三点共线问题．

18，x，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的

(1)已知向量a＝2值为(

) A．4

B．8 C．0

D．2 (2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．

18－2x，x－2，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，

[解析]

(1)a－2b＝2由已知(a－2b)∥(2a＋b)，显然2a＋b≠0，

18－2x，x－2＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R，

故有28－2x＝λ（16＋x）∴1⇒x＝4(x>0)．

x－2＝λ（x＋1）2→→→→→(2)法一：由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP＝OP－OA＝(4λ－4，4λ)．

3→→→→→又AC＝OC－OA＝(－2，6)，由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，4→3→所以OP＝OB＝(3，3)，所以P点的坐标为(3，3)．

4xy→→→→法二：设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，因为OB＝(4，4)，且OP与OB共线，所以＝，即44x＝y.

→→→→又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2，6)，且AP与AC共线，

所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，

所以P点的坐标为(3，3)．

[答案]

(1)A

(2)(3，3) [规律方法]

(1)向量共线的两种表示形式

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.

(2)两向量共线的充要条件的作用

判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．