2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀公开课教案

平面向量基本定理

知识梳理

1、平面向量基本定理

条件

结论

基底

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量．

这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2、向量的夹角

条件

产生过程

范围

θ＝0°

特殊情况

θ＝90°

θ＝180°

两个非零向量a和b

作向量OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角

[0，π]

a与b同向

a与b垂直，记作a⊥b

a与b反向

常考题型

题型一、用基底表示向量

例1、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若AB＝a，AD＝b，试用a，b表示DC，BC，MN.

用基底表示向量的方法

将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．

变式训练

如图所示，已知在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若AB＝a，AD＝b，试用a，b为基底表示向量DE，BF.

题型二、向量夹角的简单求解

例2、已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？

变式训练

如图，已知△ABC是等边三角形．

(1)求向量AB与向量BC的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．

题型三、平面向量基本定理的唯一性及其应用

例3、(1)设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(

) A．0,0

B．1,1

C．3,0

D．3,4 (2)在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，求λ＋μ的值．

1、平面向量基本定理唯一性的应用

x1＝x2，设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则

y1＝y2.

2、重要结论：设e1，e2是平面内一组基底，

当λ1e1＋λ2e2＝0时

恒有λ1＝λ2＝0 当λ2＝0时，a与e1共线

若a＝λ1e1＋λ2e2

当λ1＝0时，a与e2共线

λ1＝λ2＝0时，a＝0

变式训练

若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．

课堂小测

1、设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB，其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是(

) A．①②

B．①③

C．①④

D．③④

2、若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(

) A．60°

B．120°

C．30°

D．150°

3、如图，C，D是△AOB中边AB的三等分点，设OA＝e1，OB＝e2，以e1，e2为基底来表示OC＝________，OD＝________.

4、已知e1，e2不共线，且a＝ke1－e2，b＝e2－e1，若a，b不能作为基底，则k等于________．

5、已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝2e1－3e2，试用a，b表示c.

同步练习

1、若a,b不共线，且ab0,R，则(

) A．a0,b0

B．0

C．0,b0

D．a0,=0

2、设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB，其中可作为该平面其他向量基底的是(

) A．①②

B．①③

C．①④

D．③④

3、下面三种说法中，正确的是(

) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．

A．①②

B．②③

C．①③

D．①②③

4、已知向量ae12e2,b2e1e2，其中e1,e2不共线，则ab与c6e12e2

的关系是(

) A．不共线

B．共线

C．相等

D．不确定

5、在△ABC中，D,E,F依次是BC的四等分点，以ABe1,ACe2为基底，则AF等于(

) A. 13e1e2

44

B. 3111e1e2

C. e1e2

4444

D. 11e1e2

446、若OP1a,OP2b,PP1PP21，则OP等于(

) A．ab

B．a1b

C．ab

D. 7、如图，在△ABC中，BDA．a1ab

111DC，AE3ED，若ABa，ACb，则BE(

) 2131111111b

B．ab

C．ab

D．ab

32424338、如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OPxOAyOB，且BP3PA，则(

) A．xC．x1312，y

B．x，y

44333121，y

D．x，y

44339、设向量m2a3b，n4a2b，p3a2b，用m，n表示p的结果是________．

10、已知e1与e2不共线，ae12e2，be1e2，且a与b可作为一组基底，则实数的取值范围是________．

11、设a，b是两个不共线向量，已知AB2akb，CBab，CD2ab，若A、B、D三点共线，则k________．

12、如图，梯形ABCD中，ABCD，M、N分别是DC和AB的中点，若ABa，ADb，CD，且AB2试用a，b表示DC、BC、MN.

13、如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若ABa，ACb，用a，b表示AD，AE，AF.

14、如图所示，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120，OA与OC的夹角为30，且OAOB1，OC23，若OCOAOB

、R，求的值．