二次根式的混合运算教案和学案内容

16.3

二根次式的加减

第2课时

二次根式的混合运算

一、学习目标

1. 掌握二次根式的混合运算的运算法则.（重点）

2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.（难点）

二、新授

复习引入

问题1

单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 问题2

多项式与单项式的除法法则是什么?

(ma+mb+mc)÷m=a+b+c 思考

若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？

一、二次根式的混合运算及应用

二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 例1 计算：

（）1（8+3）6；（2）（4236）22；（3）(23)(25).

二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行. 【变式题】计算：

(1)（323）27+63；

6(2)（20163）+312-.2

0有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数. 例2

甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，

其中有一段路基的横断面设计为上底宽

42m

，下底宽62m，高6m的梯形，这段路基长

500 m，那么这段路基的土石方

(即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？

42m6m62m

解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：

1

42626500223265002

526500

50003m3.

3答：这段路基的土石方为

50003m.

练一练

计算：

 (

1

) 6 -3

2

； ( 2 ) 2 + 21

-2 .8解：

( 1 ) 6 -

2

8

=

62-328

=

62-328

3

= 23-

2

=

33.

2

3( 2 ) 2 + 21 -2

= 2-22 + 2-22 = 2-22 + 2-2 = -2 .三、利用乘法公式进行二次根式的运算

问题1

整式乘法运算中的乘法公式有哪些?

平方差公式：(a+b)(a-b)=a完全平方公式：(a+b)22-b2; =a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.

问题2

整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?

典例精析

例3

计算：

（）1(53)(53);(2)(32)2.

（）1(53)(53)22（5）（3）532.(2)(32)22（3）232+22343+4743.(3)32481843;

(3)3248

32243

184332433243230.

(4)



a3a2bab(4).aabab

a3a2baabaaabaabababababbaab归纳：进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算. 【变式题】计算：

20182018

（）（1223）（223）;

320172019

（2）（2-3）（23）2.2

2018解：(1)原式

=[（223）（22+3）]

2018

=（1）

=1.

320172

(2)原式

（[2-3）（23）]（23）22



12017（7+43）3

7+433

7+33.

练一练

2

(

1

) 22-1

； (

2

) 2-3

57

23

.

(

2

) 2-3

57

23

2

解： (

1

) 22-1

2-3

23

57

2

22212221

57

942.

57.

,y31,试求x2+2xy+y2的值.例3

已知x31

222

把

代入上式得

2

原式=

2

【变式题】

已知x=3-2，y=3+2

，求x3y+xy3.

xy3232321,

33222

21232110.



三、求代数式的值

x31,y31,

解：

x+2xy+y=（x+y)



（3+1）（+31）（23）12.

解:∵

x



3



2,

y



3



2

x



y



，3

∴

23223,∴xy+xy=xy(x+y)=xy[(x+y)-2xy]



归纳：用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求x+y,xy,x-y,

等的值，然后将所求代数式适当变形成知含x+y,xy,x-y,

等式子，再代入求值.

在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次

根式的方法，比如:

57355

7777

思考

如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如：

21,32

等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？

师：根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？

例

4

计算:

14（1）;（2）.

3251

1321

132.解:

（）

323232

4514514（2）51.

4515151

拓展探究



归纳：分母形如

manb

的式子，分子、分母同乘以

manb

(a+b)(a-b)=a2-b2

(a+b)2=a2+2ab+b2

的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号. 课堂小结

乘法公式

二次根式混合运算

化简求值

(a-b)2=a2-2ab+b2

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

化简已知条件和所求代数式

分母有理化