测试国家优质课一等奖

勾股定理教学设计

【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

学习重点：勾股定理的内容及证明。

学习难点：勾股定理的证明。

学习过程

一、自学导航（课前预习）

A1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）

（1）两锐角之间的关系： D（2）若D为斜边中点，则斜边中线 （3）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： C2、勾股定理证明：

B方法一；

CD如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。

S正方形＝_______________＝____________________

方法二；

ab已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

cAB222求证：a＋b=c。

baba分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形caaa的面积相等。

cbc左边S=______________ c右边S=_______________ cbbbca左边和右边面积相等，

ab即

化简可得。

ab二、合作交流（小组互助）思考：

（1）观察图1－1。 A的面积是__________个单位面积；

B的面积是__________个单位面积；

C的面积是__________个单位面积。

（图中每个小方格代表一个单位面积）

（2）你能发现图1－1中三个正方形A，BC的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？

，

1

由此我们可以得出什么结论？可猜想：

如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么__________________ _____________________________________________________________________。

（三）展示提升（质疑点拨）

1.在Rt△ABC中，C90 ，

（1）如果a=3，b=4，则c=________；

（2）如果a=6，b=8，则c=________；

（3）如果a=5，b=12，则c=________；

(4) 如果a=15，b=20，则c=________. 2、下列说法正确的是（

）

A.若a、b、c是△ABC的三边，则abc

B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则abc

第4题图

C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，A90，

则abc

222D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，C90

，则abc

222222222S1

S2

S3

3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）

A．斜边长为25 B．三角形周长为25 C．斜边长为5 D．三角形面积为20 4、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________． 5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为 。

（四）达标检测

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，

①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；

③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。

2、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。

3、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的为 。 4、已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．

求

①AD的长；②ΔABC的面积．

八年级数学（下）教学案 第2课时

2

班级_______ 姓名______ 唐山二十中学导学案 导学案编号：8sx17.1 课题：17.1勾股定理

（2） 课型:新授 主备:王建新 时间 审核

学习目标：1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．勾股定理的实际应用，树立数形结合的思想、分类讨论思想。

学习重点：勾股定理的简单计算。

学习难点：勾股定理的灵活运用。

学习过程

一、自学导航（课前预习）

1、直角三角形性质有：如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）

（1）两锐角之间的关系： ；

A

（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ；

（3）直角三角形斜边上的 等于斜边的 。

（4）三边之间的关系： 。

（5）已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

bcc= 。（已知a、b，求c）

a= 。（已知b、c，求a）

b= 。（已知a、c，求b）. 2、（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c=

。

（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=6，c=8，则b=

。

（3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=12，c=13，则a=

。

二、合作交流（小组互助）例1：一个门框的尺寸如图所示．

若薄木板长3米，宽2.2米呢？

C

a

B

C 2m

A B 1m

实际问题

数学模型

例2、如图，一个3米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．如果梯子的顶端A沿墙下滑

0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？（计算结果保留两位小数）

分析：要求出梯子的底端B是否也外移0.5米，实际就是求BD的长，而BD=OD-OB

3

A

C

A O C B D O B

O

D （三）展示提升（质疑点拨）1、一个高1.5米、宽0.8米的长方形门框，需要在其相对的顶点间用一条木条加固，则需木条长为

。

2、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面

钢缆A到电线杆底部B的距离为

。

3、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，

圆的直径至少为

（结果保留根号）

A

B

第2题

C 4、一旗杆离地面6m处折断，其顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前高

。

如下图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方

向成直角的AC方向上一点．测得CB＝60m，AC＝20m，

你能求出A、B两点间的距离吗?

5、如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长100cm，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为60cm，当端点B向右移动20cm时，滑杆顶端A下滑多长？

A E C D B

（四）达标检测

1、若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16 cm，那么第三边上的高为

4

(

)

A、12 cm

B、10 cm

C、8 cm

D、6 cm 2、若等腰直角三角形的斜边长为2，则它的直角边的长为 ，斜边上的高的长为 。

3、如图，在⊿ABC中，∠ACB=900，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB与D。

求：（1）AC的长；

（2）⊿ABC的面积； （3）CD的长。

八年级数学（下）教学案 第3课时

班级_______ 姓名______ 唐山二十中学导学案 导学案编号：8sx17.1

5

课题：17.1勾股定理（3） 课型:新授 主备:王建新 时间 审核

学习目标：

1．能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的思想。

2．会用勾股定理解决简单的实际问题。

学习重点：运用勾股定理解决数学和实际问题

学习难点：勾股定理的综合应用。

学习过程

A D 一、自学导航（课前预习）

1、（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c=

。

（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=5，c=13，则b=

。

C B 2、如图，已知正方形ABCD的边长为1，则它的对角线AC=

。

二、合作交流

例：用圆规与尺子在数轴上作出表示13的点，并补充完整作图方法。

步骤如下：1．在数轴上找到点A，使OA＝

；

2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB＝

；

3．以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示13 的点．

分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。如图，已知OA=OB，

(1)说出数轴上点A所表示的数

（2）在数轴上作出

8对应的点

-4

-3-2-1AB1O0123

6

三、展示提升（质疑点拨）1、你能在数轴上找出表示2的点吗？请作图说明。

2、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

C

3、已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。

（1）求等边△ABC的高。

（2）求S△ABC。

四、达标检测

1、已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为

。

2、已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为

，面积为

。

3、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

4、在数轴上作出表示17的点。

5、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°，CD=3，

求线段AB的长。

A

D

B

AD

CB八年级数学（下）教学案 第4课时

班级_______ 姓名______ 唐山二十中学导学案 导学案编号：8sx17.2 课题：17.2勾股定理逆定理（1）

课型:新授

主备:王建新

时间

审核

7

学习目标：1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和过程；

2、理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；

3、能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形. 学习重点：勾股定理的逆定理及其应用。

学习难点：勾股定理的逆定理的证明。

学习过程

一、自学导航

1、勾股定理：直角三角形的两条_________的平方____等于______的_______，即___________. A 2、填空题

b

（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a8，b15，则c

。

（2）在Rt△ABC，∠B=90°，a3，b4，则c

。（如图）

C 3、直角三角形的性质

（1）有一个角是

；（2）两个锐角

，

（3）两直角边的平方和等于斜边的平方：

二、合作交流

1、怎样判定一个三角形是直角三角形？

2、下面的三组数分别是一个三角形的三边长a.b.c 5、12、13 7、24、25 8、15、17 （1）这三组数满足abc吗？

（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

222c

a

B （4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的

边是

边的一半．

b、猜想命题2：如果三角形的三边长a、满足abc，那么这个三角形是 三c，角形

问题二：命题1： 命题2： 命题1和命题2的 和 正好相反，把像这样的两个命题叫做 命题，如果把其中一个叫做 ，那么另一个叫做 由此得到

勾股定理逆定理：

命题2：如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角A'A形. 已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且a2b2c2

c求证：∠C=90°

222baCB'ba8 C'B

思路：构造法——构造一个直角三角形，使它与原三角形全等，

利用对应角相等来证明．

证明：

三、展示提升

1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：

（1）a15,b8,c17； （2）a13,b14,c15．

2、说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗? （1）两条直线平行，内错角相等．

（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．

（3）全等三角形的对应角相等．

（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

四、达标检测

1、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________，能构成直角三角形的是____________．（填序号）

①3，4，5 ②

1，3，4 ③

4，4，6 ④

6，8，10 ⑤

5，7，2 ⑥

13，5，12 ⑦

7，25，

9

24 2、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（

）

A．5，6，7

B．1，4，9

C．5，12，13

D．5，11，12 3、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（

）

A、a=9，b=41，c=40

B、a=b=5，c=52

C 、a∶b∶c=3∶4∶5

D a=11，b=12，c=15 4、若一个三角形三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（

）

A．42

B．52

C．7

D．52或7 5、命题“全等三角形的对应角相等”

（1）它的逆命题是 。

（2）这个逆命题正确吗？

（3）如果这个逆命题正确，请说明理由，如果它不正确，请举出反例。

八年级数学（下）教学案 第5课时

班级_______ 姓名______ 唐山二十中学导学案 导学案编号：8sx17.2 课题：17.2勾股定理逆定理（2）

课型:新授

主备:王建新

时间

审核

10

学习目标：1、勾股定理的逆定理的实际应用；

2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合. 学习重点：勾股定理的逆定理及其实际应用。

学习难点：勾股定理逆定理的灵活应用。

学习过程

一、自学导航

1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：

（1）a1,b2,c5；（2）a1.5,b2,c2.5

（3）a5,b5,c6

2、写出下列真命题的逆命题，并判断这些逆命题是否为真命题。

（1）同旁内角互补，两直线平行；

解：逆命题是： ；它是 命题。

（2）如果两个角是直角，那么它们相等；

解：逆命题是： ；它是 命题。

（3）全等三角形的对应边相等；

解：逆命题是： ；它是 命题。

（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

解：逆命题是： ；它是 命题。

二、合作交流

1、勾股定理是直角三角形的

定理；它的逆定理是直角三角形的

定理. 2、请写出三组不同的勾股数： 、 、 . 3、借助三角板画出如下方位角所确定的射线：

①南偏东30°；②西南方向；③北偏西60°.

②

①

③

例1：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

11

三、展示提升

1、已知在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求S△ABC.

A

BDC

2、如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：

（1）△ABC是什么类型的三角形？

（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？

M （3）走私艇C最早会在什么时间进入？

E A C

B

N

四、达标检测

1、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为

，AB此三角形的形状为

。

12 CD

2、已知：如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=52，

∠B=90°，求四边形ABCD的面积.

3、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西n°，问：甲巡逻艇的航向？

C N A 13 B E

八年级数学（下）教学案 第6、7课时

班级_______ 姓名______ 唐山二十中学导学案 导学案编号：8sx17 课题：勾股定理全章复习

课型:复习

主备:王建新

时间

审核

13

学习目标：复习勾股定理及其逆定理，能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角三角形. 学习重点：勾股定理及其逆定理的应用。

学习难点：利用定理解决实际问题。

学习过程

一、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边

1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为a，b，c，C90，则

。

公式变形①：若知道a，b，则c

；

公式变形②：若知道a，c，则b

；

公式变形③：若知道b，c，则a

；

例1：求图中的直角三角形中未知边的长度：

b ，c .

b

15 9 c

24 10 (1)在RtABC中，若C90，a4，b3，则c . o(2)在RtABC中，若B90，a9，b41，则c . (3)在RtABC中，若A90，a7，b5，则c . 二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。

例2：在数轴上画出表示5的点.

在数轴上作出表示10的点．

三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。

例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。

1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）

A．12，15，17

B．9，16，25

C．5a，12a，13a（a>0）

D．2，3，4 2、判断由下列各组线段a，b，c的长，能组成的三角形是不是直角三角形，说明理由. （1）a6.5，b7.5，c4； （2）a11，b60，c61；

（3）a81031，b2，a； （4）a3，b2，c4；

3344四、知识要点4：利用列方程求线段的长

例4：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB

14

于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

D C A

如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．

E B

五、知识要点5：构造直角三角形解决实际问题

例5：如图，小明想知道学校旗杆AB的高，他发现固定在旗杆顶端的绳子垂下到地面时还多l米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能求出旗杆的高度A 吗?

B C 一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为6cm，杯深16cm.今有一根长为22cm的吸管如图2放入杯中，露在杯口外的长度为2cm，则这玻璃杯的形状是 体.

六、课后巩固练习

（一）填空选择

1、写出一组全是偶数的勾股数是 . 2、直角三角形一直角边为12 cm，斜边长为13 cm，则它的面积为 .

15

3、斜边长为l7 cm，一条直角边长为l5 cm的直角三角形的面积是（

）

A．60 cm2

B．30 cm2

C．90 cm2

D．120 cm2

4、已知直角三角形的三边长分别为6、8、x,则以x为边的正方形的面积为 . 5、若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是 . 6、若一三角形铁皮余料的三边长为12cm，16cm，20cm，则这块三角形铁皮余料的面积为

cm2．

7、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外

壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行

cm．

（二）解答题

1、在数轴上作出表示13的点．

2、已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．

求：①AD的长；②ΔABC的面积．

3、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．

（1）求DC的长；

（2）求AB的长；

（3）求证：△ABC是直角三角形．

4、如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，顶角∠BAC=120°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。（结果保留根号）

A

BEDFBAC A D 图4 B 16 C

5、（如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边222上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）ADDBDE．

6、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．

7、如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0．1米）．（供选用的数据：2≈1．414，3≈1．732）

17