2.1.2 向量的几何表示教学评价实录

向量的概念与几何运算

知识梳理

1．向量的有关概念及表示法 2．向量的加法与减法 名称

定义

向量

既有 又有 的量．向量的大小

叫做向量的 或 零向

长度为 的向量，其

量

方向是 。

单位

长度为 的向量叫单

向量

位向量。

平行

方向或的向量叫平行的

向量

向量叫平行向量。

共线

的向量又叫做

向量

共线向量。

相等

且 向量

的向量

相反

且 向量

的向量

3．

共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ．

4．⑴ 平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任2，一向量a，有且只有一对实数1、使得 ．

表示法

向量 模 向量

运算

加法

定义

求两

个向

量和

法则

（几何意义）

运算律

①交换律

②结合律

记作0

a与b共线

记作 0与任意

向量

记作

记作

减法

的运

算

若b+x=a，则向量

x叫做a与b的

a-b

a+ b

b

a

平行四边形法则

b

a+ b

a

三角形法则

三角形法则

a

b

a- b

差，记作

数乘

求实数① |a|＝ (μa)② 当＞0时，＝ ．

a与a ；

(＋与向量a的积的运算。

当＜0时，⑵ 设e1、e2是一组基底，a＝x1e1y1e2，

b＝x2e1y2e2，则a与b共线的充要条件μ)a

a与a ；

＝ ． 当＝0，或

(a＋b)a=0时，

＝ ．

a ．

是 ．

举例解析

例1．在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，

D E C ABa，ADb，则BE等于

例2．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．

设ABa，ACb，求BE．

解：BE＝AE－AB＝

第

1 页

共

3 页

13(AB＋AC)－AB＝－44A C D E B a＋1b

4B A

变式训练1.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量CD等于（ ）

A．－BC＋BA B．－BC－BA

D 1212A C．BC－BA D．BC＋BA B C 1212例3. 已知向量a2e13e2，be12e2，c6e12e2，其中e1、e2不共线，

求证：ab与c共线。

变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：PAPBPCPD4PO

证明

PA＋PC＝2PO，PB＋PD＝2POPA＋PB＋PC＋PD＝4PO

例4. 已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若ABa，ADb，试用a、b表示BC和MN．

解：连NC，则NCADbMNMCCN111ABCNab；BCNCNBba

442变式训练3：如图所示，OADB是以向量OA＝a，OB＝b为邻边的平行四边形，又BM＝试用a、b表示OM，ON，MN．

1522解:OM＝a＋b，ON＝a＋b，

6633MN＝11BC，CN＝CD，33B D M N C O A 11a－b

26例5.

在□ABCD中M、N分别为DC，BC的中点，已知AMc，

D M C N ANd，试用c，d表示AB和AD。

A B 基本练习题：

1．OAOB ，2．4(3a2b)2(b2a) ，3．在□ABCD中，ABa，则CD 。

2．已知D是△ABC的边AB的中点，则向量CD（ ）

A：BC1111BA B：BCBA C：BCBA D：BCBA

22223．已知D是△ABC的边AB上的一点，且AD2DB，

CD CA+ CB

4．在△ABC中，ABBCCA 。

5．在△ABC中，ABACABAC，则在△ABC的形状是 。

6．已知两个非零向量a,b不共线，如果ABab，CD3(ab)，BC2a8b，

求证：A、B、D三点共线。

第

2 页

共

3 页

小结归纳

1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．

2．注意O与O的区别．零向量与任一向量平行．

3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证AB∥CD，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证AB∥AC即可．

4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．

第

3 页

共

3 页