2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案和课堂实录

平面向量基本定理与向量的坐标运算

考试说明要求：了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

说明要求解读：

能够应用本节理论知识解决下列问题：

（1）平面向量基本定理的应用;(2) 求点的坐标和向量的坐标；（3）用坐标表示向量共线的条件. 学习过程：

一、课前自主预习

1、平面向量基本定理

如果e 1

, e 2

是同一平面内的两个不平行向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一

的一对实数a1,a2，使a=a1e 1+a2e 2．不共线向量e 1

, e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为｛e 1

, e 2｝．a1e 1+a2e 2叫做a关于基底｛e 1

,e2｝的分解式．

2、平面向量的正交分解及其坐标表示

（1）平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交基底．

（2）在直角坐标系xoy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e 1

, e 2，

建立正交基底｛e 1

, e 2｝，对于坐标平面xoy内任一向量a

，存在唯一的有序实数对a1,a2，

使得a=a1e 1+a2e 2

，则a1,a2就是a在基底｛e 1

, e 2｝下的坐标，即a=a1,a2，其

中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做向量a在y轴上的坐标分量．

3、平面向量的坐标运算

(1) 向量的加法、减法、数乘运算及向量的模；

λ

a

a1,a2a1,a2，︱a︱

（2）向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设Ax1,y1，Bx2,y2则ABx2x1,y2y1，AB4、平面向量共线的坐标表示

设aa1,a2

设a

a1,a2，b

b1,b2，则a+ba1b1,a2b2，a-ba1b1,a2b2，

a12a22

x2x1y2y122．

bb1,b2，其中b0，a∥b

a1b2a2b10．

二．基础自测

1、下列各组向量，能作为表示他们所在平面内所有向量基底的是：

（

）

A . e 1(0,0)

e 2(2,3)

B . e 1(3,5)

e 2(6,10)

C . e 1(2,3)

e 2(2,3)

D . e 1(1,2)

e 2(5,7)

2、若a3,2，b

0,1，则2b-a的坐标是

（

）

A . 3,4

B . 3,4

C . 3,4

D .3,4

3、若向量a1,1，b1,1，c4,2．则向量c=

（

）

A . 3a+b

B . 3a-b

C . -a+3b

D .

a+3b

4、已知向量a

3,1，b0,1，ck,3．若a2b与c共线，则k=＿＿＿＿＿

三．典型例题

例1．如图，在平行四边形ABCD中，M,N分别为DC,BC的中点，已知AMa,ANb试用a,b表示. AB,AD

.

D

M

C

N

A

B 变式：在三角形ABC中，若点D是边AB上靠近B的三等分点，且CB=a,

CA=b,则CD= 例2．已知, O0,0

，A2,4，B3,1，C3,4．设AB=a，BCb，CA=c，且CM=3c，CN=-2b，

(1)若a=mb +nc则实数m,n的值为

（

）；

A . m1,n1

B . m1,n1

C .

m1,n1

D . m1,n1

(2) M的坐标为＿＿＿＿＿,N的坐标为＿＿＿＿＿及向量MN的坐标为＿＿＿＿＿．

变式：已知向量a6,4，b0,2，OC=a+b，O为坐标原点，若点C在函数

ysinx12的图象上，则实数的值为＿＿＿＿＿＿．

例3.已知向量OA(3,4)，OB(6,3)，OC(m,m1)，若AB∥OC，

则实数m的值为（

）

3113

B . 

C .

D .

2422变式：已知向量a1,2，b1,0，c3,4．若为实数，且（a+b）∥c, 则=（

）

11

A .

B .

C .

1

D . 2

42

A . 四．对应练习

1、已知M (3,-2) , N (-5,-1) ,且MP1MN,则P点的坐标为

（

）

23232

A . 8,1

B . (1,)

C . (1,)

D .8,1

2、已知向量p= (2,-3) ,q= (x,6) , 且p∥q

，则︱p+q︱的值是＿＿＿＿＿＿．

3、已知A (7，1) , B(1，4) ,直线y1ax与线段AB交于C ,且AC2CB, 则实数a等于＿＿．

224、设a6,3a，b2,x2x，若存在实数x使a∥b，则实数a的取值范围为＿＿＿＿．

5、若向量BA=（2，3），CA(4,7),则向量BC=

(

) A . 2,4

B . 2,4

C . 6,10

D .6,10

6、已知向量a1,m，bm,2，若a∥b，则实数m等于（

）

2

C .

2

或2

D . 0

7、设x,yR,向量ax,1，b1,y，c2,4，且ac，b∥c，

则︱a+b︱=＿＿＿＿＿＿．

A . 2

B .