小结名师教学视频（文字实录）

《必修4平面向量小结》 教学设计 中山市杨仙逸中学

高一数学备课组

张梅玲 教学

目标

知识与技能：对知识点归纳

、小结，深化知识间的内在联系。

过程与方法：通过集体回忆向量有关概念、定理、运算律，然后通过典型题型分层练习，让学生进一步掌握有关知识。

情感态度与价值观：通过分层练习，让所有学生学有所得，让学生在练习中体验成功的愉悦。

重重点是掌握基础知识、基础题型。

难难点是向量知识的灵活应用。

点

学杨仙逸中学是一所走读的普通中学，生源较差，高一（11）班是音乐班，虽然数学基础较差，但他们不服输，情积极向上，成绩在进步。

分析

课理解平面向量的几何意义和代数意义，掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用，用向量标语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。

要求

教多媒体一体机、平版电脑

具

教集体复习，分层练习，导生制辅导。

学方法

教

知识点归纳

学

一.

向量的基本概念与基本运算

过

针

1向量的概念：

程

对

a,b,c……来表示，或用有向线段的___与_____的大性

①向量：既有______又有_______的量向量一般用aa授

写字母表示，如：AB几何表示法

AB，；坐标表示法xiyj(x,y)

向量的______即向量课

的模（长度）a，记作|AB|即向量的大小，记作｜｜

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关

aa000②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是______，与任意向量_____ 零向量

＝｜｜＝0

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）

③单位向量：_____________的向量

aa向量0为单位向量｜0｜＝1④平行向量（共线向量）：

1

（i）方向__________的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为__________

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．

（ii）两个向量共线定理：

向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a

⑤相等向量：______________的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ab大小相等，方向相x1x2y1y2

同(x1,y1)(x2,y2)aa⑥

相反向量：与长度____、方向____的向量，叫做的相反向量

a记作,零向量的相反向量仍是______

(a)关于相反向量有：

（i）=a；

(ii) a+(a)=(a)+a=0；

(iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0

2向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法

ABa,BCba设，则+b=ABBC=AC

（1）0aa0a；

（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法有“________法则”与“____________法则”：

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共_____的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条______，而差向量是另一条对角线，方向是从__向量指向_____向量

（2）

三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的____指向最后一个向量的_____的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从_______的终点指向__________的终点

当两个向量的起点公共时，用_________法则；当两向量是首尾连接时，用______法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加，但这时必须“首尾相连”．

（3）若

3向量的减法

ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2

（1）向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，

记作：aba(b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法

（2）

作图法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）

(3)

若

ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2

2

||a||b|||ab||a||b|

4实数与向量的积：

aa①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：

aa（Ⅰ）；

00aaaa（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向____；当时，λ的方向与的方向____；当0时，a0，方向是任意的

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律

二、平面向量的数量积

1两个向量的数量积：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos

叫做a与b的数量积（或内积）

规定0a0

22aaa|a|2向量的模与平方的关系：

3乘法公式成立：

abababaaba2abba222222b2；

222abb

6平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：abba

②对实数的结合律成立：abababR

abcacbccab③分配律成立：

abcabc特别注意：（1）结合律不成立：；

（2）消去律不成立abac不能得到bc

（3）ab=0不能得到a=0或b=0

7两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则ab=x1x2y1y2

8向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB=

（0180）叫做向00量a与b的夹角

cosa,bcos=abab2x1x2y1y2=x1y1x2y2222

当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

9．垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a⊥b

3

10两个非零向量垂直的等价条件：

a⊥bab0x1x2y1y20

三、平面向量的基本定理：

e,ea12如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1,2aeee1122，其中不共线的向量1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

使：四、重要结论：

课

堂

一、

检

测

基础练习

1．下列命题中，正确命题的个数是(

) ①单位向量都共线；

②长度相等的向量都相等；

③共线的单位向量必相等；

④与非零向量A．3

B．2

C．1

2．下列命题中，正确的是(

) A．|a|＝1⇒a＝±1

B．|a|＝|b|且a∥b⇒a＝b C．a＝b⇒a∥b

D．a∥0⇒|a|＝0 3．在四边形ABCD中，若AC＝AB＋AD，则(

) A．四边形ABCD为矩形

B．四边形ABCD是菱形

C．四边形ABCD是正方形

D．四边形ABCD是平行四边形

→→→aa共线的单位向量是|a|. D．0

4

4．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(

) →→

5.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(

) A．e1＋e2和e1－e2

B．3e1－4e2和6e1－8e2

C．e1＋2e2和2e1＋e2

D．e1和e1＋e2

6.

已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为(

) →→→→→→→→→→→A.EF＝OF＋OE

B.EF＝OF－OE

C.EF＝－OF＋OE

D.EF＝－OF－OE

343443A.，－

B.，－

C.－，

555555

43D.－，

557.已知向量＝(1，－2)，＝(m，4)，且∥b，那么2－＝(

) A．(4，0)

B．(0，4)

C．(4，－8)

D．(－4，8)

8.已知|b|＝3，2方向上的投影是，则3abaaba在ba·b为

(

) 14A.

B.

C．3

D．2 33

9.

若向量＝(3，m)，＝(2，－1)，·＝0，则实数m的值为(

) 33A．－

B.

C．2

D．6 22

二、

能力练习

→→→

→→→→→→→→→abab1.设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则(

) A.PA＋PB＝0

B.PC＋PA＝0 C.PB＋PC＝0

D.PA＋PB＋PC＝0 312.若＝，sin α，b＝cos α，，且∥b，则锐角α为(

) 32aaA．30°

B．45°

C．60°

D．75°

5

3.设向量a，b满足|a＋b|＝10，|－b|＝a6，则a·b＝(

) A．1

B．2

C．3

D．5

4.在边长为1的正三角形ABC中，|AB－BC|的值为(

) A．1

B．2

C.

三、高手速度练习

1.已知||＝1，|b|＝

2.已知向量求|PQ|2

→32

D.3 →→a2，且－b与aa垂直，则a与b的夹角为________度．

→→a和b的模都是2，其夹角为60°，又知OP＝a＋2b，OQ＝－2a＋b，

课

后

【课后作业】必做：课本P118复习参考题A组1-7 作

选做：《作业100》平台作业。

业

1．若平面向量a，b满足ab1，ab平行于x轴，b(2,1)，则a

．

2．已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2,|b|3，则向量a和向量b的数量积ab=

3．已知向量a和b的夹角为120，|a|1,|b|3，则|5ab|

．

4. 设向量a(4cos,sin),b(sin,4cos),c(cos,4sin)，

0o（1）求|bc|的最大值；（2）若tantan16，求证：a∥b..

6