探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期公开课教案

1.5 函数yAsin(x)的图象（第1课时）

一、教学内容分析

1、教材分析

本节课是在前面学习了正弦函数的图象和性质的基础上对正弦函数图象的深化和拓展，由此进一步理解yAsin(x)与ysinx的图象间的变换关系，通过学习yAsin(x)的图象变换的学习有助于学生进一步理解正弦函数的图象和性质，加深学生对其他函数图象变换的理解和认识。

同时本节的课标要求是结合具体实例，了解yAsin(x)的实际意义，能借助计算机画出函数yAsin(x)的图象，并观察参数A,,对函数图象变化的影响，同时结合具体函数图象的变化，使学生领会由简单到复杂，特殊到一般的化归思想。

2、学情分析

学生能用五点作图法作函数ysinx的图象，了解函数ysinx的性质。并且有了一定的读图能力，能根据图象抽象概括出一些简单的性质。但学生利用五点作图法作yAsin(x)的图象可能存在一定的困难，需加强指导。部分学生只注重常规解题经验的积累，缺乏自主探究新问题的意识和方法，本节课应加强数学探究的方法引导与启迪。

3、教法分析 本节课遵循“探索—研究—运用”亦即“观察—思维—迁移”的三个层次要素，侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习，由旧知识类比得新知识，自主探究图象与图象之间的变换关系，让学生用手探，动脑思。 二、教学目标

本节课借助计算机辅助教学，动态探究参数A,,对函数yAsin(x)的图象变化的影响，领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想。在教学中让学生会用“五点法”画出函数yAsin(x)的简图，并结合具体实例，了解

- 1 -

yAsin(x)的实际意义。使学生掌握从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。通过对曲线的伸缩、平移等变换，体会三角函数曲线的平滑流畅的美感。

三、教学重点和难点

教学重点：考察参数A,,对函数图象变化的影响，理解函数ysinx图象到yAsin(x)的图象变化过程。

教学难点：对yAsin(x)的图象的影响规律的概括。

四、教学过程设计

教学环节

教学内容

师生活动

设计意图

让学生意识到本节课的内容（新知）是建立在函数y=sinx图象、五点作图法（旧知）的基础上的。

在上一节我们学习了函数y=sinx教师提问：五点作图法图象，并能用“五点法”快速作出要领。

函数y=sinx的草图，今天我们继学生：思考，回答。

续学习与函数y=sinx图象有关的内容——函数y=Asin(ωx+φ)的图象

1、

简谐振动的图象

2、

交流电电流与时间的关系

二、创设情境

教师：展示视频和图片

学生：欣赏观察，发现图象与y=sinx图象的异同。

一、复习引入

以生活实例揭示学习本节内容的必要性和重要性，通过图象再次暗示学生函数y=Asin(ωx+φ)的图象与y=sinx图象的关联。

引导学生认识到φ、

ω、

A对

y=Asin(ωx+ φ)的图象的影响，明示学生数形结合思想是本节课探究的指导思想。

通过讨论的形式让学生自主意识到“从特殊到一般，从具体到抽象”的思维方法对于本节课的探究的必要性，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

三、探究方法

思考1：

函数y=Asin(ωx+ φ)的解析式和图象与函数y=sinx的解析式和图象有什么关系呢？

思考2：你认为可以怎样讨论参数φ、

ω、

A对

y=Asin(ωx+ φ)的图象的影响？

教师：引导学生从“数”的角度解释“形”。

教师：数缺形时少直观，形缺数时难入微。

学生：在教师的启迪下提出数形结合思想。

教师：组织学生讨论。

学生：讨论、报告。

师生合作，提出“各个击破、归纳整合”的研究方案

- 2 -

1、探究φ对

y=sin(x+φ)的图象的影响

方法：可以对φ任取不同的值，作出这些函数在同一坐标系中的图象，观察它们与y=sinx的图象之间的关系。

四、探究

φ,ω, A对结论：一般地,函数y=sin(x+函数φ),(φ≠0)的图象,可以看作是把y=Asin(ωy=sinx的图象上所有的点向左(当x+φ>0时)或向右(当φ<0时)平行φ)(A>0, 移动|φ|个单位而得到. ω>0)图像

的影响

练习：已知函数y=sinx的图象为C,为了得到函数

y=sin(x-π/4)的图象,只要把C上所有的点(

) (A)向右平行移动π/4个单位长度

(B)向左平行移动π/4个单位长度

2、探究ω(ω>0)对

y=sin(ωx+φ)的图象的影响

结论：一般地,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1/ω

(纵坐标不变)而得到的.

- 3 - 教师：用“五点法”在同一坐标系画出下列几组函数(在一个周期的)图象,比较它们与函数

y=sinx 的图象的形状和位置，你有什么发现？

探究一：y=sinx 与y=sin(x-π/3)【奇数组学生】

探究二：y=sinx 与y=sin(x+π/3)【偶数组学生】

教师：指导学生作图

学生：分组作图、观察、讨论、总结、发言。

教师：1、利用投影仪展示学生成果；

2、根据学生的回答肯定或完善结论。

3、追问一般结论

学生：稍加思考后不难给出一般结论（猜想）。

教师：利用多媒体动态演示，指导学生观察φ的变化是如何影响图象的，从而证实结论。

练习：（口答）

多媒体技术不应该取代学生的动手操作，所以要给学生作图、观察、讨论的时间，为提高效率，采用了分组讨论。

通过展示，肯定学生的成果，也有利于探究碰到障碍的学生的学习。

“大胆猜想、小心求证”，既要培养学生合情推理的能力，也要防止学生以点盖面的错误思想的形成，多媒体动态教学在本节课中起到非常重大的作用!

及时巩固，防止出现理解偏差。

教师：你能用上述方法“授之以鱼不如授之以讨论参数ω(ω>0)对

渔”，探究1的研究方法y=sin(ωx+φ)的图象的为以后的探究打下了坚影响吗？

实的基础。

比较函数



ysin(2x)与

3

ysin(x)的图象

3的形状和位置，你有什

么发现？

练2:已知函数y=sin(x-π/4)的图教师：利用多媒体演示学生已在探究1中亲自体象为C,为了得到函数

五点作图法的全过程。

验了作图、观察、讨论、y=sin(x/3-π/4)的图象,只要把C生成图象。

总结的完整过程。这里由上所有的点(

) 学生：认真观察整个演多媒体演示提高课堂效(A)横坐标伸长到原来的3倍,纵示流程，根据图象讨论。

率，实现从“动手探”到

坐标不变

“用脑想”的重心转移。

(B)横坐标缩短到原来的1/3倍,纵

坐标不变

教师：及时了解各小组虽然动态演示能够让学

讨论情况，根据具体情生直观观察到变化情况，(C)纵坐标伸长到原来的3倍,横坐况调整教学方案。

但剥夺了学生理性思维标不变

预设方案（1）提醒学生的空间。教师及时了解学

研究特殊点

生的讨论情况，掌握学生(D)纵坐标缩短到原来的1/3倍,横预设方案（2）标注特殊的认知基础，情况较好坐标不变

点，动态演示图像

时，先执行方案（1），否

预设方案（3）标注特殊则执行方案（2）、（3）。

点，动态演示图像，给

出变化前后的数据

学生：总结结论

教师：用“五点法”作出一方面，有了刚才的探究函数

经验，学生抓住特殊点的

1变化可得结论。

ysin(x)在一另一方面，学生可合情推23个周期内的图象，比较理提出猜想，用特殊点加以验证。

它与ysin(x)

3

的图象的形状和位置，

你又有什么发现？

学生：观察、总结。

教师：追问一般结论

学生：回答

经历从特殊到一般的历教师：补充，强调。动程，前面已述

态演示

学生完成练习2（口答）

3.探究A(A>0)对

y=Asin(ω

x+φ)的图象的影响

结论：一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0

学生：观察、总结

4、归纳整合

Φ：沿x轴平

移

|φ|个单位

，

口诀：

“左加”

“右减”

ω: 横坐标伸长或缩短为原来的1/ω

A：纵坐标伸长或缩短为原来的A倍

例题探究：由y=sinx的图象变换得

到y=3sin(2x+π/3)的图象可以分解为几步变换？如何变换？

教师：对三个结论进行提炼。

教师：提出问题

学生：组织语言，回答问题。

引导学生总结一般变换流程。

教师：有几种不同的变换顺序？

学生：讨论回答。

教师：演示周期-平移-振幅变换并解释。

教师：请结合本节课的学习谈谈你学到了哪些数学知识、数学方法和数学思想？

学生：思考、回答

教师完善小结。

用最精炼的语言帮助学生理解φ、ω、A对

y=Asin(ωx+φ)的图象的影响，为归纳整合打下基础。

用具体例子让学生叙述，回答的学生能够表达更加流畅，其他的学生接受起来更加容易，平稳过渡到一般变换流程。

五、升华拓宽

平移变换、周期变换、振幅变换的顺序可以任意交换，但注意！只要周期变换在平移变换之前，平移单位不是||，而是|| /,请体会教科书中的探究顺序。

小结：

1、

知识：

①

A、

ω、

φ对

y=Asin(ω

x+φ)的图象的影响(A>0,

w>0) ②

函数y=Asin(ωx+φ)的图象的画法

2、方法：

①五点作图法

②图象变换法

3、

思想：

①

数形结合思想

②“由简单到复杂，由特殊到一般”的化归思想

③类比与整合的思想。

题组1：课本P65 2题；3题. 深化理解，让学生抓住变换的本质，防止因变换顺序的不同导致错误的发生。

①

引导学生对所学的知识、数学思想方法进行小结. ②引导学生对学习过程进行反思，为今后的学习中进行有效调控打下良好的基础.

六、课堂反思

①

布置作业有弹性，避免一刀切. ②使学有余力的学生进一步训练逆向思维，使知识掌握更加深刻. 七、课后作业

题组2：作y＝2sin（x＋）、y241＝sin(2x－)的图象，并说明22与y＝sinx图象关系.

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