2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示PPT专用课堂实录内容

说课流程：

编构网络，向量表示

复习回顾，提出问题

指导思想与理论依据

教材内容分析

教材分析

教学重、难点

学生认知特点

学情分析

教学目标分析

教学问题诊断

教学方式

教法分析

教学手段

学生演示结果

获得初步结论

迁移知识，构建定理

课件演示，完善定理

过程分析

平面向量的夹角

课堂练习（1）

编构网络，向量表示

归纳领悟，提升能力

板书设计

正交向量及坐标表示

课堂练习（2）

评价分析

第

1 页

共

10 页

一、指导思想与理论依据

1．指导思想

新课程标准指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式……，还应注重提高学生的数学思维能力……，以及实现现代信息技术与数学课程有机整合”．

2．理论依据

根据前苏联教育家赞科夫的“教学与发展”理论：教学过程既要使学生掌握应有的知识和技能，又要使学生的能力得到理想的发展，最终使学生真正高质量地领会知识，掌握技巧，提升能力.

二、教材分析

1．教材内容分析

本课时包含“平面向量基本定理”和“平面向量的正交分解及坐标表示”两节内容．

在前面利用实际问题，引入向量概念并研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特征．从本节开始主要研究向量的坐标及坐标运算，更多的是反映向量的代数形式．

本课时先综合前面的向量知识，研究出平面向量基本定理，并以此为基础定义平面向量的坐标，从而有了向量的坐标运算．因此本节课的内容在向量学习中起到承前启后的作用．

2．教学重、难点

重点：了解平面向量基本定理及其意义，会用坐标表示坐标平面的向量．

难点：体会平面向量坐标的建立过程．

三、学情分析

1．学生认知特点

前面学生已学习了向量的概念和线性运算，对向量的加法和共线向量已有了较好的认识，对物理中常见的力、位移和速度的合成与分解亦有所了解．另外我执教班的学生数学基础扎实，解决问题的能力较强．

2．教学目标分析

知识与技能：

（1）了解平面向量的基本定理及其意义。

（2）会求平面向量的夹角。

（3）理解平面向量的正交分解及其坐标表示。

过程与方法：

（1）经历从平面向量的线性运算，到平面向量的基本定理，再到平面向量的正交分解，最后到坐标表示的探究过程。

第

2 页

共

10 页

（2）体验“由具体到抽象再到具体”的认知规律。

（3）体会“转化与化归”与“数形结合”等数学思想方法在数学问题研究中的价值。

情感态度与价值观：

（1）引导学生从生活中挖掘数学内容。

（2）培养学生勇于发现，自主探究的意识。

（3）感受数学是自然的，数学是有用的，数学是精确的。

3．教学目标诊断

（1）为什么要学***面向量基本定理？

对于平面向量基本定理，很多学生只是从形式上记忆，缺乏对定理本质的理解，从卷面上看，可能不会出现大的问题，但对学生思维能力的发展肯定会带来较大影响．事实上，平面向量基本定理是建立向量坐标的逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在一组基底下的分解是唯一的，向量才能和有序实数对建立一一对应关系，从而定义向量的坐标才具备合理性．

（2）如何理解平面向量基本定理中出现的“任意性”、“存在性”和“唯一性”？

对于平面向量基本定理的研究，教材并没有给出严格证明．为了帮助学生理解，可以借助Flash或几何画板等交互性强的软件制作课件，通过动态演示，直观呈现，帮助学生突破认识障碍．

（3）为什么要引入平面向量夹角？

以往的教材通常在学习向量的数量积时才引入向量的夹角，而人教版在这里引入，我认为其作用之一是为了更准确地定义向量的正交分解，让学生感受数学的严谨性．

（4）怎样表示起点不在坐标原点的向量坐标？

在直角坐标系中，点的坐标与点是一一对应的，而向量的坐标只与起点在坐标原点的向量一一对应．因此在教学中教师可以从两方面进行引导，一方面是抓住向量相等的本质：只要不改变向量的大小和方向，向量可以任意平移，当向量的起点平移到与坐标原定重合时，此时向量的终点坐标就是该向量的坐标；另一方面可以把已知向量用两个起点在坐标原点的向量线性表示，继而通过线性运算求得向量坐标．

四、教法分析

1．教学方式

结合教材和学情分析，我决定采用由省特级教师，新会一中数学科组长钟烙华老师根据赞科夫的“教学与发展”理论而研究出来的“发展教学模式”．此模式的流程是：提出问题——观察，分析迁移——解决“最近发展区”——编构发展的网络——归纳领悟，形成能力．

2．教学手段

本课时理论性强，知识容量大，在教学中我借助多媒体课件和学案进行辅助教学．

第

3 页

共

10 页

（1）教材不要求对平面向量基本定理进行严格证明，为了帮助学生突破思维障碍，我借助Flash和几何画板的动态演示，直观呈现任一向量在同一基底分解的“存在性”

和“唯一性”．

（2）课前设计学案，给出绘图区和坐标轴，减少学生不必要的作图，提高教学效率．

五、过程分析

为了更好地突出教学重点，突破教学难点，实现教学目标，本节课我按照“发展教学模式”的特点分为四大环节：复习回顾，提出问题——迁移知识，构建定理——编构发展网络——归纳领悟，提升能力．

1．复习回顾，提出问题

师生一起回顾向量的加法、减法、数乘和向量共线，以及上一节已完成的一道习题．

从课本这道习题，我们可以发现：不共线的两个向量a和b可以表示图形中的所有已知向量，那么给定平面内的两个不共线向量e1、e2，对于平面内的任一向量a，是否都可以用e1、e2来表示，其表示形式是怎样？

设计意图：教育心理学告诉我们：数学教学要以学生思维的最近发展区为认识的起点，按照学生的思维活动的规律进行设计．通过复习回顾，提出问题，一方面使学生巩固已学的知识，并以问题形式设置“最近发展区”，为平面向量基本定理的研究提供问题情境和方法，另一方面亦让学生感受到新知识就是旧知识的引申和拓展，从而消除学生对新知识的恐惧心理，促使学生从“要我学”转变为“我要学”．

第

4 页

共

10 页

2．迁移知识，构建定理

（1）学生对问题进行探究，作图并借助实物投影演示结果，教师进行点评和补充．

设计意图：通过动手实践，自主探究，让学生经历知识迁移的过程，体验知识与方法的实用性，培养自主解决问题的能力．

（2）在得出初步结论后，提出新的问题，借助几何画板，进一步完善定理．

问题①

：给定平面内的两个不共线向量e1、e2，改变a的大小和方向，观察a是否均能由e1、e2表示？

问题②：

给定向量a，改变e1或e2的大小和方向，观察a是否均能由e1、e2表示？

问题③：

如果e1、e2是两个共线的向量，那么a是否均能由e1、e2表示？

第

5 页

共

10 页

设计意图：通过几何画板的动态演示，直观呈现，为学生设置“最近发展区”，通过观察与发现，帮助学生突破认识障碍，感受任意一个向量在给定两个不共线的向量的分解都是存在且唯一的，从而保证了定理的合理性和有效性，最终完善定理．

3．编构发展网络

（1）平面向量的夹角：

（2）课堂练习(一)

（3）平面向量的正交分解

设计意图：

从定义平面向量夹角——课堂练习——定义向量的正交分解，目的在于为定义平面向量的坐标表示编构知识网络，使得学生在知识与能力上得到进一步发展．

①平面向量夹角的范围，可以借助Flash课件，动态演示向量夹角的变化，帮助学生纠正向量夹角可以大于180的错误认识．

②课堂练习1的设计主要体现平面向量基本定理的简单应用：在给定两个不共线的e1、第

6 页

共

10 页

e2的条件下，让学生认识到平面内的任意一个向量都可以由一组基底量化，而且量化的结果是唯一的．课堂练习2和3的设计主要是考察学生是否真正理解基底和向量夹角的定义．

③通过讲解物理学中重力G的分解，抽象出向量正交分解的概念，让学生初步认识到选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便，亦为接下来的平面向量的坐标表示奠定基础．

（4）平面向量的坐标表示

问题1：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）来表示，那么对于直角坐标平面内的每一个向量，又如何表示呢？

问题2：联系平面向量基本定理，对于平面内的任一向量a，只要找到两个不共线的向量作为基底，总能用这组基底去表示向量a，那么在平面直角坐标平面，我们如何选取基底会为我们表示a带来方便？

问题3在平面直角坐标系中，每一个点有且只有一对有序实数与之一一对应，那么对于每一个向量能否找到唯一确定的一对有序实数与之一一对应？

设计意图：

通过提出问题，设置“最近发展区”，让学生在思考和解决问题的过程中，迁移知识，进而得到平面向量的坐标表示的定义．

问题1目的是让学生通过类比点的坐标的特征，理解向量坐标的定义．

问题2目的之一是让学生了解引入向量正交分解的必要性；二是让学生体会基底选在第

7 页

共

10 页

坐标轴上的优越性．

问题3目的是引导学生通过探究，利用向量相等的等价条件，把向量起点平移到坐标原点，此时向量的终点坐标就是所求的向量坐标，从而很自然地得到向量坐标表示的定义．

（5）课堂练习(二)

设计意图：

第一道练习的设计意图之一是想考察学生是否掌握平面向量的基本定理与及向量坐标的正确表示；二是让学生感受向量坐标表示的定义．

第二道练习的设计意图之一是让学生学会求点B坐标可以转化为求OB的坐标；二是让学生带着问题预习下一节的向量的坐标运算知识，进一步调动学生继续研究数学的积极性，达到每一节课均能带着问题来，又带着问题去的目的．

4．归纳领悟、提升能力

设计意图：通过学习向量的坐标表示，让学生体会到在定义向量坐标前，先研究平面向量基本定理，目的是说明平面上的任一向量在给定的基底上分解是唯一的，从而一个向第

8 页

共

10 页

量就能和一个有序数对建立一种对应关系，体现了向量坐标表示的合理性，然后通过向量的正交分解，说明向量坐标表示的实用性．这一过程让学生真实感受到数学是自然的，数学是有用的，数学是精确的．

六、板书设计

七、评价分析

1．评价学生

我通过在课堂观察学生的思维反应、探究问题的参与程度、课堂练习的质量反馈等方式对学生进行及时有效的评价．经过课堂实践，无论是学生的自主探究还是课堂练习，效果良好，较好地实现教学目标．

2．评价教师

整个教学过程，我紧紧围绕“发展教学模式”，以问题形式或课件演示，为学生设置“最近发展区”，引导学生通过观察，对知识进行迁移，对问题进行探究，逐步解决“最近发展区”，较好地发展了学生的思维能力．

第

9 页

共

10 页

《平面向量的基本定理及坐标表示》教案说明

江门市新会第一中学 张景辉

新课程标准指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式……”“还应注重提高学生的数学思维能力”“以及现代信息技术与数学课程有机整合……”.而我这节《平面向量基本定理及坐标表示》录像课的基本想法就是通过学生不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括等数学思维活动，再借助信息技术的直观再现，使学生在获得新知的同时，对数学本质以及数学思想方法的理解也获得了一定程度的发展.

本课时内容包含“平面向量基本定理”及“平面向量的正交分解及坐标表示”．此前的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特征，而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标及坐标运算，并运用向量的坐标运算来解决问题，更多的是向量的代数形态，本节内容从前面的知识中得出平面向量基本定理，并以此为基础定义向量的坐标，所以本节内容是向量中承前启后的内容．

下面是教案设计的几点说明．

1.教学方式的处理

本节课的内容偏于理论，在容量上有些偏多，这就使得在教学设计的各个环节都要有细致的规划．考虑到我所授课的班级学生，数学基础较好，整体的思维能力较强，而且在平时的教学中我也比较常采用问题探究的教学模式：带着问题来学习和探究，带着问题去反思和预习．因此整一节课的设计主要是由老师提出问题作为引导，把时间放手给学生进行自主探究，在一定程度上亦培养了学生进行自主探究的能力和意识． 2．教案整体设计的理念

本节从平面向量共线定理的一维量化，到平面向量基本定理的二维量化，再到基底的特殊化，进而得到向量的坐标表示．实践证明这种设计不仅符合学生的认知规律，而且还充分展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，有助于学生领会数学思维的方式和方法，培养学生进行数学学习的能力．

3．平面向量基本定理和向量坐标表示的关键点处理

（1）在教学设计中，“向量在两个方向上进行分解”的问题贯穿始终，无论是在学生的自主探究过程，还是在师生的共同观察、类比、发现环节，“分解”问题的解决都是至关重要的．甚至到了向量坐标表示的教学环节，依然是要将向量在与坐标轴平行的两个方向上进行分解，进而得到向量的坐标表示．正是有了这样的设计，才使得每一个教学环节都得以顺畅的进行，同时亦培养了学生的思维能力．

（2）在向量坐标表示的设计中，我借助教材的设计，直接通过类比给出直角坐标系，让学生直观感知向量与有序实数对的“一一对应”．

4．教学手段的选择

恰当选择现代信息技术手段进行辅助教学，真正意义上实现多媒体课件功能的最大化，为学生理解向量的任意性起到非常关键的作用，从而帮助学生更加全面准确地认识问题、分析问题．

第

10 页

共

10 页