方差的应用板书设计及设计说明

§20.2 数据的波动——-方差

班级

八（5）班

教学内容

数据的波动—方差

主讲人

王玲玉

《数学课程标准》指出，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。当今社会是信息社会，在“统计”教学中应重视培养学课标分析

生的统计意识和信息处理能力，促进学生正确认识统计的意义和作用，发展处理信息的基本能力。要关注学生整理和分析数据、对各种统计量的计算、解释和应用的能力，包括会使用计算器进行数据处理。

本节课的主要内容：探究数据的离散程度及认识“方差”及其实际意义。主要是运用具体的生活情境，让学生感受到当两组数据的“平均水平”相近时，而教材分析

实际问题中具体意义却千差万别，因而必须研究数据的波动状况，分析数据的差异，逐步抽象出刻画数据离散程度的“方差”量度，并掌握利用计算器求方差。

计算方差时，首先要求平均数。因此，求方差也是求平均数的练习和巩固的过程。但平均数与方差的最本质的区别是：平均数是反映一组数据的集中程度的统计量而方差是反映一组数据的离散程度的统计量。

根据我所教授的两个班的学生的水平，我对教学内容没有做将大的删改，而是将教大的比重放在公式的产生的必要性和合理性上，既公式的推导过程。对于八年纪的学生来说，要根据实际需要选择统计量，并通过数据分析作出判断或预学情分析

测。不仅需要学生有教高的综合分析能力，而且要有教丰富的生活实践经验，对于我们这个年龄段的学生来说，是比较薄弱的。因此，我在教学中会把握好教学要求，不要求学生去解教复杂或生疏的问题。但一定会要求学生学会完整的写出算式，并按课本要求将解题过程写完整，但可以借助计算器。

教学任务分析

知识技能

1理解方差的意义,掌握如何刻画一组数据波动的大小

2掌握方差的计算公式并会初步运用方差解决实际问题

经历画图,观察,探索如何表示一组数据的离散程度,发展合情推理能力,发展统计观念. 通过实践观察,掌握衡量一组数据波动大小的方法和规律,形成解决问题的一些基本策略和方法,发展应用意识. 经历探索如何表示一组数据的离散程度,感受数学来源于实践,感知数学知识的抽象美,提高参与数学学习的积极性

教

学

目

标

数学思考

解决问题

情感态度

重点

难点

方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题，掌握其求法。. 理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断。

教学过程

问题与情境

一、温故知新

PPT展示：

求下列各组数据的平均数：

已知数据:（1）2，3，5，6；

（2）3，4，5，8, 10；

师：平均数是用来表示什么的？

师（引导）：我们常会这样说：某个同学的数学成绩在班里是一般以上或是一般以下。评判的标准是什么？

生：依据成绩在平均分以上或是以下

师：很好。另外，我们在评价两个班的数学成绩时，常把平均分高的那个班评价为成绩较好的班。所以说平均分是用来表示什么的？

生：平均数用来表示一组数据的平均水平

二、创设情境 导入新课 师：同学们，谁看过射击实况转播？

相信绝大多数同学都看过，今天老师要让你们自己想办法解决一些射击方面的问题。

如果你是教练：甲，乙两名射击手现要挑选一名射击手参加比赛.你认为挑选哪一位比较适宜？

甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：

甲命中环数

乙命中环数

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

7 10 8 6 8 10 8 6 9 8

1.按要求与学生一起算出甲。

2.学生独立算出乙队。

理解

教师活动

1.教师出示问题

2.让学生分两组分别计算

学生活动

计算

思考

回答

⑴

请分别计算两名射手的平均成绩

甲

3.共同探讨想一想

计算

乙

⑵

请根据这两名射击手的成绩在下图中画出折线统图；

成绩（环）

10

8

6 射

4 击次

2 序

0 1 2 3 4 5

x =8（环），x

=8（环）

⑶

现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？

生：选甲，因为甲在平均数周围浮动较小。

师：回答的非常好，掌声……..，尽管平均环数相同，但二人的水平还是有差距的，经过观察图像，我们发现：甲最多9环，最少7环，波动范围较小；而乙最多10环，最少6环，波动范围较大。因此甲较稳定，应该选拔甲参赛。

师：谁的稳定性好，我们在数学上用什么数据来衡量呢？

师生探究：

1.甲，乙射击成绩与平均成绩的偏差的和

（两者相同，所以不能作为评判的依据）

2.甲、乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和

（找到不同点）

师：上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？

生：射击的次数，次数越多结果越大

师：数学上我们方差来表示数据的波动程度

三、讲授新知 了解方差

1. 方差的定义

设有n个数据x1, x2,…,xn ,各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1－x), (x2－x)

，…,(xn－x)，

我们用它们的平均数，即用

1S2=[(x1－x)2+(x2－x)2+…+(xn－x)2] [方差公式] n来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作S2. 2.方差的意义

意义：用来衡量一批数据的波动大小

在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，

越不稳定

归纳：

（1）方差应用更广泛衡量一组数据的波动大小

（2）方差主要应用在平均数相等或接近时

（3）方差大波动大，方差小波动小，一般选波动小的

3.因此在上一题的引入中：

21222220.4S9888888878

甲5

122222S2甲1086868108983.252221.介绍方差的计算方法

2.揭示方差的意义

3.上面的算一算就是在计算数据的方差

1.掌握方差的计算方法

2.了解方差的意义

师：

计算方差的步骤可概括为：

“先平均，后求差，平方后，再平均”.

在刚才的例子中，乙选手的方差为3.2，甲选手的方差为0.4，即S2甲< S2乙，因此，甲选手的稳定性比较好，发挥比较稳定，在平均数相同的情况下，建议教练选甲选手参赛

四、例题讲解，示范应用

1.出示例题

例1

在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表2.倾听学生分析，演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是：

甲团：163 164 164 165 165 166 166 167 乙团：163 165 165 166 166 167 168 168 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？

五、随堂练习，巩固深化

练习：p141 1.用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的

（1）6 6 6 6 6 6 6 （2）5 5 6 6 6 7 7 （3）3 3 4 6 8 9 9 （4）3 3 3 6 9 9 9

六、课堂总结

这节课同学们学到了哪些内容？有哪些收获？

1、方差的概念；

2、方差公式；

3、方差是衡量一组数据的波动大小的量

七、布置作业

家庭：课本 p141 E2

正本：习题20.2 T1、2

根据学生的回答补充、归纳

思考

回忆

回答

按要求完成作业

指导学生计算

3.板书解题过程

（强调书写格式及其计算方法）

学生分小组讨论解决问题的思路、方法，然后分组动手解答

1.让学生分四组练习

2.师生共同评议

分组练习

布置作业

纵观整个教学设计流程，本课时教学设计具备以下亮点。

1、教学内容的选取与组织符合本学段学生的年龄特征. 一堂课的教学内容如何组织，包括知识点如何展示、例题的选取和搭配、习题质和量的确定等，都对数学教学目标的实现有直接影响，从本节课从教学内容来看方差的公式是较难记忆和理解的，但只要选择好了引入的途径和延续的铺垫，那么学生在理解和接受上就能显得自然和配合了。因此一个好的情境对于感性经验尚不丰富的学生的思维发展具有重要意义

2、能采用弹性的教学设计，根据课堂学生的表现和课堂生成情况进行教学环节的局部调整。

本节课中很多问题的提出是做了两手准备的，如问题一与问题三，都可以既是学生发现先行提出，也可以是在学生没有疑问的前提下由教师给出。对于波动图的发现和生成，则是一个无法预设的问题，它的出现要取决于学生的思维和教师的点拨。这就是我们在备课时常说的有所备而有所不备，我们不能备学生的思维，但我们能备整堂课中的环节设置。因此，要求教师要有扎实的专业知识和驾驭课堂的能力。学生是学习的主体，教学中教师要依据学生学习规，留给时间和空间，引导学生利用已有的知识和生活经验，自己去解决问题，探求新知识。

3、以新课程理念作为指导，采用多媒体教学手段进行教学，同时以学生的自主学习、合作探究为教学模式，围绕“问题”，创设多样的教学情境，把课堂教学的问题化、案例化、情景化、生活化、活动化紧密地结合起来，充分发挥了学生的主体作用，引导学生自主、合作、探究地学习，教学过程气氛热烈，学生能够积极思考，踊跃发言，有效地实现了教学的“三维目标”。

课

后

反

思

评测练习

1. 若的平均数为x，方差为S2，则样本x1＋x，x2＋x，x3＋x的平均数是 ，方差是 。

2. 甲、乙两种水稻，经统计甲水稻的株高方差是2.0，乙水稻的株高方差是1.8，可估计 水稻比 水稻长的整齐。

3. 已知x1，x2，x3的方差是2，则数据2x1＋3，2x2＋3，2x3＋3的方差是 。

4. 若1，2，3，a的平均数是3，又4，5，a，b的平均数是5，则样本0，1，2，3，4，a，b的方差是 。

5. 甲、乙两学生在一年里，学科平均分相等，但它们的方差不相等，正确评价他们的学习情况是（ ）

A. 因为他们平均分相等，所以学***一样

B. 成绩虽然一样，方差较大的，说明潜力大，学习态度踏实

C. 表面上看这两个学生平均成绩一样，但方差小的学习成绩较稳定

D. 平均分相等，方差不等，说明学***不一样，方差较小的同学学习较稳定

6. 为了判定八年级（1）、（2）两班学生口语测试成绩哪个班比较整齐，通常需要知道两组成绩的（ ）

A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数

7. 一组数据的方差一定是（ ）

A. 正数 B. 任意实数

C. 负数

D. 非负数

8. 甲、乙两组各10名学生在八年级一次数学测验中得分如下：

甲组：77，94，88，79，87，90，75，86，89，85 乙组：80，91，86，95，78，82，85，88，84，81 分别计算两组数学成绩的方差，并说明哪个小组的成绩比较整齐。

9. 已知一个样本数据为1，4，2，5，3，那么这个样本的方差是 。

10. 甲、乙两种产品进行对比实验，得知乙产品性能比甲产品性能更稳定，那么分析计算22SS它们的方差甲、乙的大小关系是 。

11. 今天5月甲、乙两种股票连续10天开盘价格如下：（单位：元）

甲

乙

5.23 5.28 5.35 5.3 6.3 6.5 6.7 5.28 5.2 5.08 5.31 5.44 5.46 6.9 6.83 6.58 6.55 6.52 6.66 6.8 则在10天中，甲、乙两种股票波动较大的是 。

2221

S2x1xx2xxnxn12. 在方差公式中，下列说法不正确的是（ ）

A. n是样本的容量 B. xn是样本个体

C. x是样本平均数 D. S是样本方差

13. 某校从甲、乙两名选手中选一名参加市运动会的田径百米比赛，教练员对两名选手同时测了8次，结果如下：（单位：秒）

甲：12.1，12.2，13，12.5，13.1，12.5，12.4，12.2 乙：12，12.4，12.8，13，12.2，12.8，12.3，12.5

根据测试成绩，请你运用学过的统计知识判断派哪一位更好，为什么？

附：板书设计

§20.2.2 数据的波动——-方差

1、方差的概念

设有n个数据x1, x2,…,xn ,各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1－x)2, (x2－x)

，…,(xn－x)，

我们用它们的平均数，即用

1S2=[(x1－x)2+(x2－x)2+…+(xn－x)2] [方差公式] n来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差（variance），记作S2. 2、方差的意义：方差是衡量一组数据的波动大小的量，方差越大，数据的波动越大；方差22越小，数据的波动越小。

3、例题：