7.公因数和最大公因数名师课堂实录

《公因数和最大公因数》教学设计

教学目标:

1.理解公因数和最大公因数的意义,掌握求两个数的公因数和最大公因数的方法。

2.让学生经历观察、计算、思考的过程,培养计算、推理的能力。

3.在学习的过程中让学生发现实际生活和数学的密切联系,在观察、操作、比较、归纳等活动中积累数学活动经验。

教学重点:

从实际问题中抽象出公因数和最大公因数的概念。

教学难点:

利用公因数和最大公因数的知识解决实际问题。

设计理念:

公因数与最大公因数是在学生掌握求一个数的因数有哪些的基础上进行教学的,主要为下一单元学习分数的约分做好准备。教师先创设铺方砖的生活情境,有利于学生理解公因数、最大公因数在生活中的现实意义。在教学公因数时,使学生经历猜测、画示意图探究、分析、归纳找规律,从而使公因数、最大公因数的概念水到渠成。

在求两个数的公因数和最大公因数的方法教学中,从一一列举的方法过渡到“只列出1个数的因数,然后逐一检验是不是另一个数的因数”的方法,既符合学生的认知规律,也体现了算法多样化、个性化的教学意图。在学习一般的求最大公因数的方法之后,抽象出了“两个数是倍数关系时,小的数就是它们的最大公因数”,“两个数都只有公因数1时,它们的最大公因数就是1”特殊的求最大公因数的两种方法。既符合学生的认知规律,也体现了算法多样化、个性化的教学意图。课尾独具匠心的卡片游戏环节把气氛推向高潮。

教学准备:

方格纸、数字板贴、集合圈板贴、36个同学每人一张1-36数字卡片、每组准备13个边长4厘米的正方形卡纸、一个长18厘米宽12厘米的长方形卡纸。

教学过程:

一、复习引入

1.前面我们学习了有关于因数的知识,谁来说说30的因数有哪些?(学生汇报,课件出示答案)说说你是怎样找的?

2.同学们,还记得你们的学号吗?学号是20的因数的同学请起立(1、2、4、5、10、20号6人),举起你的学号卡片给大家看看,坐下。学号是16的因数的同学起立(1、2、4、8、16号5人),并举起你们的学号卡片,坐下。好像有几个同学站起来两次,是哪几个同学?学号是多少?请站起来。1、2、4号同学为

什么要站起来两次呢?带着这个问题,我们一起走进今天的课堂。二、自主探究

(一)猜测验证,理解意义

1.徐老师家有一个小型的储藏室,要铺地砖,课件出示:储藏室长18分米,宽12分米。选择边长是几分米的正方形地砖,既比较美观,又不会浪费?

引导:说一说铺地砖有什么要求?(正方形、整块、边长是整分米数、要铺满)

【设计意图:用生活中的情境引入新课,体现了数学来自于生活,提出的相关要求让学生引起了重视,学生很快地进入观察、发现阶段。】

2.如果铺满储藏室的地面,地砖的边长可以是几分米呢?小组内猜一猜、说一说。

指名汇报。(依次板书学生的答案)

3.你们猜得对吗?光猜想还不行,还得想办法来验证。我们先从边长1分米的地砖开始研究。学生先回答。(课件出示:一个大长方形表示储藏室,小正方形表示边长1分米的地砖。)谁来说一说,怎么铺呢?(长铺18块,宽铺12块。)你是怎样想的?(18除以1等于18,沿着长可以铺18块;12除以1等于12,沿着宽可以铺12块。正好能够铺满。)同意吗?(课件演示)【设计意图:从边长是1分米的地砖开始研究,渗透了有序思考的思想方法。让学生说出怎样铺从而提出猜想,之后再用课件进行直观验证,初步开始渗透公因数的概念。】

4.提问:刚才同学们还说边长分别是2、3、6分米的地砖也符合要求,到底符不符合要求,通过操作才能确定。(出示操作要求:1.拿出方格纸,表示长18分米,宽12分米的储藏室地面;用彩笔在方格纸上分一分、画一画(可以选择1-2种规格的方砖);3.画图时只要将方砖的边框画出来,不要涂色。指名读一读操作要求。教师以边长1分米的方砖为例,用课件演示怎样在方格纸上画。)

请同学们拿出彩笔,直尺,像老师这样也将自己的想法在方格纸上画出来吧。

学生动手操作。教师巡视指导。

交流展示:同学们都把自己的想法用示意图画出来了,下面就请几位同学来展示自己的作品,并说一说自己是怎样铺的。

学生展台展示,说出自己选择的是什么规格的地砖,沿着长怎样铺,沿着宽怎样铺,共铺了多少块。(以边长2分米的地砖为例来说:我选择的是边长为2分米的地砖。18除以2等于9,沿着长要铺9块。12除以2等于6,沿着宽要铺6块。9乘6等于54,共铺了54块。正好可以铺满。)

小组交流:刚才有同学说用边长4分米的正方形地砖也行,

下面请同学们来铺一铺好吗?(教师拿出学具,介绍边长4厘米的正方形纸片代表边长4分米的地砖,长18厘米宽12厘米的长方形代表储藏室地面)那么边长4分米的地砖行吗?铺好后讨论!

哪位同学愿意到展台进行展示?(不行,宽虽然能够铺满3块,而长要铺4块多一点,不能铺满。)

【设计意图:符合要求的数据与不符合要求的数据进行对比,突出了公因数的特点。】

5.总结:刚才通过画图进行验证,边长1、2、3、6分米的方砖可以铺满储藏室,(课件出示)那么请同学们思考,为什么边长是1、2、3、6分米的正方形可以将储藏室铺满?

(1、2、3、6既是是12的因数,又是18的因数)

(二)计算分析,明确含义。

1.一一列举的方法:

设疑:也就是说,1、2、3、6是12和18公有的因数,我们把它们叫做12和18的公因数。(板书课题:公因数)而4是12的因数,不是18的因数,就不能叫做12和18的公因数。

刚才我们通过画示意图、铺方块等方法,找出了18和12的公因数,有没有更快捷的方法找出它们所有的公因数?怎么找?讨论一下。

指名回答。(根据学生回答,教师板书:分别把18、12的因数列举出来,然后再把相同的因数圈出来)

说明:1、2、3、6是18、12的公因数,其中最大的是——? (6)它叫做——(板书课题:最大公因数,和)数学上,我们通常把18、12的最大公因数写为:(18,12)=6。(板书)现在知道什么是公因数和最大公因数了吧?说说看。

2. “只列出1个数的因数,逐一检验是不是另一个数的因数”的方法

设疑:除了这种方法还有别的方法能求出18和12的公因数和最大公因数吗?

请这位同学说一说自己的想法。(把12的因数列出,然后用18除以这些数,看看谁是18的因数,就把哪个数字圈起出来。)小结:刚才同学们是把12的因数从小到大逐一检查是否是18的因数。

讨论:如果只找它们的最大公因数,怎样找更快呢?(先看12的因数,从大到小逐一检查是否是18的因数)

【设计意图:从一一列举的方法过渡到“只列出1个数的因数,然后逐一检验是不是另一个数的因数”的方法,让学生发现数学拥有简约之美。】

3.用集合圈表示的方法

小结:同学们知道了1、2、3、6是12和18的公因数,其

中6是12和18的最大公因数。

还记得集合圈吗?你能用集合圈表示出12和18的因数吗? (教师出示集合圈和数字卡片板贴:1、2、3、4、6、9、12、18)指名尝试摆。发现数字卡片不够。

设疑:数字卡片不够怎么办呢?小组内讨论。

指名尝试摆。说说是怎样想的?(把集合圈重叠摆放,重叠部分放12和18的公因数:1、2、3、6。)

4.12和9、18为什么不放在中间重叠的部分?(4、12只是12的因数,9、18只是18的因数,它们都不是12和18的公因数)

【设计意图:学生利用原有因数的知识储备,建立了因数和公因数之间的知识联系,利用韦恩图的直观性不仅强化了公因数的概念,还渗透了数形结合的思想。】

三、巩固练习。

1.(1)在18的因数上画三角形,在30的因数上画圆。18和30的公因数有(),最大公因数是()。

(2)先填一填,再说出15和20的最大公因数。

2.发现特殊规律。

徐老师发现同学们今天学的真好,下面看谁能很快找出几组数的最大公因数,其中有什么奥妙呢?

(课件出示:找出每组数的最大公因数:5和15、21和7、11和33。)

指名回答。

讨论:仔细观察这三组数,每组中的两个数与它们的最大公因数有什么关系?(小的数是它们的最大公因数)

每组的两个数是什么关系?(倍数关系)

谁能完整的说一说。(两个数是倍数关系时,小的数就是它们的最大公因数。)

两个数是倍数关系时,求它们的最大公因数还要用列举的方法吗?(不用)

2.应用规律。

出几题来试一试。(课件出示:找出每组数的最大公因数: 12和24,27和3,60和12,13和29。)

开火车汇报。

最后一道13和29的最大公因数到底是1还是13?说说是怎样想的?(这两个数的公因数只有1,所以最大公因数是1.)【设计意图:利用刚发现的规律不仅提高计算速度,巩固新知,掌握算法,还进一步加深对概念的认识,培养数感,提高学生观察、分析、推理、概括的能力。】

再出几题来试一试。(课件出示:找出每组数的最大公因数: 3和5,8和9,15和45,13和5)

3.开心游戏。

下面和同学们玩个游戏。课前每位同学都发到了一张数字卡片,这张数字卡片就是你自己的学号。

游戏1:

1这个数字很特别,请1号站起来,举起你的学号,你的同桌也站起来,1、2的最大公因数是多少?(1)

4号站起来,1、4的最大公因数是多少?(1)

7号站起来,1、7的最大公因数是多少?(1)

还有哪位同学认为自己的学号和1的最大公因数也是1? (学生陆续都站起来了)

你们为什么都站起来了?(1只有因数1,任何自然数的因数都有1,所以1和任何一个数的最大公因数都是1.)

游戏2:请看自己的学号,认为自己与另一个同学学号的最大公因数可能是10的同学,一起到前面来吧。

学生活动,点评。

4.实践应用:六一儿童节快到了,五1班为剪彩带遇到了问题,能帮忙解决吗?

把两根分别是45厘米、30厘米的彩带剪成长度一样的短彩带且没有多余,每根短彩带最长是多少厘米?

其实我们可以用短除法和分解质因数的方法解决彩带这一问题。(出示“你知道吗”,分别介绍用短除法和分解质因数法解决此题的过程。)

【设计意图:应用环节课堂节奏由慢到快,体现了知识从一般到特殊的发展规律,提醒学生在学习中不断积累自己的学习经验,优化自己的学习方法。】

四、全课小结。

1.同学们,回想一下刚上课时我们做的小游戏,现在你们知道1、2、4号同学为什么要起立两次吗?(1、2、4是20和16的最大公因数)

2.这节课你有什么收获?

3.拓展延伸(机动):把46块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个组的同学,结果水果糖剩 1块,巧克力剩3块,你知道这个组最多有几位同学吗?