2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案2

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3

平面向量的坐标运算

学习目标

1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.

知识点一

平面向量的正交分解

思考

如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？

答案

互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底. 梳理

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 知识点二

平面向量的坐标表示

思考1

如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?

答案

a＝23i＋2j. 思考2

在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定了吗？

答案

对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定.对于向量a，给定a的坐标为a＝(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关. →→→→思考3

设向量BC＝(1，1)，O为坐标原点，若将向量BC平移到OA，则OA的坐标是多少？A点坐标是多少？

→→答案

向量OA的坐标为OA＝(1，1)，A点坐标为A(1，1). 梳理

(1)平面向量的坐标

①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).

②在平面直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0). (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系

表示形式不同

向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号

点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位区别

意义不同

置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)

联系

知识点三

平面向量的坐标运算

思考

设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？

答案

a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，

a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，

λa＝λx1i＋λy1j. 梳理

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

向量加法

数学公式

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 文字语言表述

两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和

两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同

向量减法

a－b＝(x1－x2，y1－y2) 向量数乘

λa＝(λx1，λy1)

→已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量AB＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.

类型一

平面向量的坐标表示

→例1

如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA＝→a，AB＝b.

四边形OABC为平行四边形.

(1)求向量a，b的坐标；

→(2)求向量BA的坐标；

(3)求点B的坐标. 解

(1)作AM⊥x轴于点M，

则OM＝OA·cos 45°

＝4×2＝22，

2AM＝OA·sin 45°

＝4×2＝22. 2∴A(22，22)，故a＝(22，22). ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，

∴∠COy＝30°. 又∵OC＝AB＝3，

333333→→∴C－，，∴AB＝OC＝－，，

2222333即b＝－，. 22333→→(2)BA＝－AB＝，－. 22333→→→(3)OB＝OA＋AB＝(22，22)＋(－，) 22333＝22－，22＋. 22反思与感悟

在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围. 跟踪训练1

已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在→→→→第一象限，D为AC的中点，分别求向量AB，AC，BC，BD的坐标. 解

如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，

13∴C(1，3)，D(，)，

22→→∴AB＝(2，0)，AC＝(1，3)，

→BC＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，

333→1BD＝(－2，－0)＝(－，). 2222类型二

平面向量的坐标运算

→→→→→例2

已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b. (1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；

→(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标. 解

由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8). (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42). (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)，

－6m＋n＝5，m＝－1，∴解得

－3m＋8n＝－5，n＝－1.

(3)设O为坐标原点，

→→→∵CM＝OM－OC＝3c，

→→∴OM＝3c＋OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，

∴M(0，20). →→→又∵CN＝ON－OC＝－2b，

→→∴ON＝－2b＋OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，

→∴N(9，2)，∴MN＝(9，－18). 反思与感悟

向量坐标运算的方法

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.

(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 跟踪训练2

已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：

11(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 23解

(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1) ＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). 1111(3)a－b＝(－1，2)－(2，1) 232312172－，1－，＝－，. ＝23363类型三

平面向量坐标运算的应用

→→→例3

已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10).若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时：

(1)点P在第一、三象限的角平分线上；

(2)点P在第三象限内. 解

设点P的坐标为(x，y)，

→则AP＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，

→→AB＋λAC＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]

＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ). →→→∵AP＝AB＋λAC，

x－2＝3＋5λ，x＝5＋5λ，∴则

y－3＝1＋7λ，y＝4＋7λ.

(1)若点P在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，

1∴λ＝. 25＋5λ<0，(2)若点P在第三象限内，则∴λ<－1. 4＋7λ<0，

1∴当λ＝时，点P在第一、三象限角平分线上；

2当λ<－1时，点P在第三象限内. 反思与感悟

(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用. (2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.

跟踪训练3

已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________. 答案

－3 2m＋n＝9，解析

∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即m－2n＝－8，m＝2，解得故m－n＝2－5＝－3. n＝5，

1.设平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b等于(

) A.(7，3)

B.(7，7)

C.(1，7)

D.(1，3) 答案

A 1→→→2.已知向量OA＝(3，－2)，OB＝(－5，－1)，则向量AB的坐标是(

) 21－4，

A.2C.(－8，1)

答案

A →→→解析

∵AB＝OB－OA＝(－8，1)，

11→－4，. ∴AB＝22→→3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为(

) 72，

A.2C.(3，2)

答案

A →解析

设D点坐标为(x，y)，则BC＝(4，3)，

→AD＝(x，y－2)，

12，－

B.2D.(1，3) 14，－

B.2D.(8，1) 4＝2x，→→由BC＝2AD，得∴73＝2y－2，y＝

x＝22

7，∴D(2，). 2→→4.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC等于(

) A.(－7，－4)

B.(7，4)

C.(－1，4)

答案

A D.(1，4) →→→→→解析

AB＝(3，1)，AC＝(－4，－3)，BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4). 5.如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝________.

答案

19

7解析

建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得a＝(1，2)，b＝(2，－3)，c＝(3，4).

3＝x＋2y，∵c＝xa＋yb，∴

4＝2x－3y，

x＝7，解得2y＝7.17

19因此x＋y＝. 7

1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化. 2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的→终点坐标不是向量的坐标，此时AB＝(xB－xA，yB－yA). 3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积. 课时作业

一、选择题

1.已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，0)，那么向量3b－a的坐标是(

) A.(－4，2)

C.(4，2)

答案

D 解析

3b－a＝3(1，0)－(－1，2)＝(3，0)－(－1，2)＝(3＋1，0－2)＝(4，－2)，故选D. 12.已知a－b＝(1，2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(

) 2A.(－2，－2)

C.(－2，2)

答案

D 3.已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(

) A.－2，1

C.2，－1

答案

D λ1＋2λ2＝3，λ1＝－1，解析

由

解得

2λ1＋3λ2＝4，λ2＝2.B.(－4，－2) D.(4，－2) B.(2，2) D.(2，－2) B.1，－2 D.－1，2

→→→4.在▱ABCD中，已知AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC，BD相交于点O，则CO的坐标是(

) 1－，5

A.21，－5

C.2答案

B 1→1→→→解析

CO＝－AC＝－(AB＋AD) 22111－，－5，故选B. ＝－×(－2，3)－×(3，7)＝22231→→→5.如果将OA＝(，)绕原点O逆时针方向旋转120°得到OB，则OB的坐标是(

) 2213A.(－，)

22C.(－1，3)

答案

D 31→→解析

因为OA＝(，)所在直线的倾斜角为30°，绕原点O逆时针方向旋转120°得到OB所22在直线的倾斜角为150°，所以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为(－31，)，故22B.(31，－) 2231，) 221－，－5

B.21D.2，5

D.(－

31→OB的坐标是(－，)，故选D. 226.已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c等于(

) A.(－23，－12)

C.(7，0)

答案

A 解析

∵a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，

且3a－2b＋c＝0，

∴c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12). →→7.已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且PN＝－2PM，则P点的坐标为(

) A.(－14，16)

C.(6，1)

答案

D 二、填空题

8.已知e1＝(1，2)，e2＝(－2，3)，a＝(－1，2)，则以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)的形式为____________. 14答案

a＝e1＋e2

77解析

设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，

则(－1，2)＝λ1(1，2)＋λ2(－2，3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，

－1＝λ1－2λ2，由2＝2λ1＋3λ2，B.(23，12) D.(－7，0) B.(22，－11) D.(2，4)

λ＝7，解得4λ＝7.121

14所以a＝e1＋e2. 771→1→9.已知平面上三点A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，则AC－BC的坐标是________. 24答案

(－3，6) →→10.已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x，y)，且AC＝2BD，则x＋y＝________. 答案

11

2→解析

∵AC＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，

→BD＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，

→→又∵2BD＝AC，即(2x－4，2y－6)＝(－1，2)，

x＝，2x－4＝－1，∴由

解得22y－6＝2，

3y＝4，

11∴x＋y＝. 2→→→→→11.已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，CM＝3CA，CN＝2CB，则MN的坐标为________. 答案

(9，－18) →解析

CM＝3(1，8)＝(3，24)，

→CN＝2(6，3)＝(12，6)，

→→→MN＝CN－CM＝(12，6)－(3，24)＝(9，－18). →→12.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|＝6，∠xOA＝150°，向量OA的坐标为________. 答案

(－33，3) π13.已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝22，且∠AOC＝.4→→→设OC＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ＝________. 2答案

3π解析

过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝知，

4|OE|＝|CE|＝2，

→→→→→所以OC＝OE＋OB＝λOA＋OB，

→→即OE＝λOA，

2所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝. 3三、解答题

14.已知a＝(2，1)，b＝(－1，3)，c＝(1，2)，求p＝2a＋3b＋c，并用基底a、b表示p. 解

p＝2a＋3b＋c

＝2(2，1)＋3(－1，3)＋(1，2) ＝(4，2)＋(－3，9)＋(1，2)＝(2，13). 设p＝xa＋yb，

2x－y＝2，则有解得x＋3y＝13，

24y＝7.19x＝，7

1924∴p＝a＋b. 77四、探究与拓展

1→→1→→→15.已知点A(－1，2)，B(2，8)及AC＝AB，DA＝－BA，求点C、D和CD的坐标. 33解

设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，

→→由题意可得AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3，6)，

→→DA＝(－1－x2，2－y2)，BA＝(－3，－6). 1→→1→→∵AC＝AB，DA＝－BA，

331∴(x1＋1，y1－2)＝(3，6)＝(1，2)，

31(－1－x2，2－y2)＝－(－3，－6)＝(1，2)，

3x1＋1＝1，－1－x2＝1，则有和

y1－2＝22－y2＝2，x1＝0，x2＝－2，解得和

y1＝4y2＝0.

∴C，D的坐标分别为(0，4)和(－2，0)，

→∴CD＝(－2，－4).