探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期课堂实录及点评

函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象教学设计

[核心必知] 1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P49～P55的内容，回答下列问题．

(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象有什么影响？

提示：函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．

(2)ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象有什么影响？

提示：函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0且ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(x1＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标ω不变)而得到的．

(3)A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象有什么影响？

提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当00，ω>0)中，A、ω、φ的物理意义各是什么？

2πω提示：A是振幅，是周期，是频率，φ是初相．

ω2π2．归纳总结，核心必记

(1)参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响

①φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响

1

②ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响

③A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响

(2)由函数y＝sin x的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径

由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

①先平移后伸缩

②先伸缩后平移

(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A、ω、φ的物理意义

①简谐运动的振幅就是A；

②简谐运动的周期T＝2πω；

2

1ω③简谐运动的频率f＝＝；

T2π④ωx＋φ称为相位；

⑤x＝0时的相位φ称为初相．

[问题思考] π(1)如何由y＝sin x的图象得到y＝sinx＋的图象？

4π提示：将y＝sin_x的图象向左平移个单位长度即可．

41(2)如何由y＝sin x的图象得到y＝sin 2x和y＝sin x的图象？

21提示：将y＝sin_x的图象的横坐标变为原来的，即可得y＝sin_2x的图象；将y＝sin_x21的图象的横坐标伸长为原来的2倍，即可得y＝sin_x的图象．

21(3)对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x，y＝sin x的函数值有什么关系？

21提示：y＝2sin_x的函数值是y＝sin_x的函数值的2倍，而y＝sin_x的函数值是y21＝sin_x的函数值的倍．

2[课前反思] (1)A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响：

；

(2)由函数y＝sin x的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径：

；

(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)中，A、ω、φ的物理意义：

．

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[思考] 用“五点法”作正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的图象时，“五点”具体指哪些点？

名师指津：用“五点法”作正弦函数y＝sin_x的图象时，“五点”是指(0，0)，π，1，2(π，0)，3π，－1，(2π，0)；用“五点法”作余弦函数y＝cos_x的图象时，“五点”2π3π是指(0，1)，，0，(π，－1)，，0，(2π，1)．

22

用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤

第一步：列表.

ωx＋0

φ

－π

2π－2ωφ

ω3π

23π－2ωφ

ω－A π

2π

π－ωφ

ω0

2π－ωφ

ω0 x φ

ω0

y A 第二步：在同一坐标系中描出各点．

第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．

练一练

xπ1．已知f(x)＝2sin＋. 23

4

(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象；

(2)写出f(x)的单调递增区间；

(3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值．

解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到解析式也不同，这点应特别注意．

π2．如何由函数y＝sin x的图象得到函数y＝3sin2x－＋1的图象？

3

π3．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象的一部分，求此函数的解析2式．

由y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定解析式的方法

(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求

5

得φ. (2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．

(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．

————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————

1．本节课的重点是五点法作图、图象变换及由三角函数的图象确定解析式，难点是图象变换及由三角函数的图象确定解析式．

2．要掌握与函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象有关的三个问题

(1)用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，见讲1；

(2)三角函数图象变换，见讲2；

(3)由函数图象确定解析式，见讲3. 3．本节课的易错点是由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移φ的单位为而不是|φ|. ω

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