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教学标题

三角函数基本公式复习

教学过程

知识点、任意角、任意角的三角函数

角：角的定义、角的分类（角概念的扩张）、终边相同的角、象限角、角的度量（弧度制）

锐角三角函数的定义：

BCsinα=

AC ABcosα=

AC BCtanα=

AB

研究工具：平面直角坐标系、终边上点的坐标、单位圆、三角函数线

任意角三角函数定义的有关知识

思想方法：数形结合、函数思想、对应思想、类比思想、从特殊到一般

终边定义法：

一般地，对于任意角α，设α的终边上任意一

P的坐标是(x,y)，我们规定：

点

y

y

(1)比值

r

叫做α的正弦，记作sinα=

r

;

x

(2)比值

r

叫做α的余弦，记作cosα

=

x; r

(3)比值

y

(x≠0)叫做α的正切，记作tanα=

y

。

xx单位圆定义法：

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么

(1) y叫做α的正弦，记作sinα= y; (2) x叫做α的余弦，记作cosα=

x;

y

y(3)

叫做α的正切，记作tanα=

( x≠0)。

xx

其中，r=x2+y2

。

定义域：

符号：

正弦sinα: {α|α∈R};

cosα: {α|α∈R}; tanα: {α|α∈R,α≠k+,k∈Z}. 余弦

2

y+- y-- y-+-++xx

正切++x-1

知识点二、l特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角比的值

知识点三、同角三角函数关系式

sina商数关系：tana，

cosa平方关系：sinacosa1

22

知识点四、诱导公式（k·/2+a所谓奇偶指的是整数k的奇偶性）

公式

诱导公式一

三角函数

sin

cos

tan

sin(k2)sincos(k2)cos

tan(k2)tan

诱导公式二

sin()sincos()cos

诱导公式三

sin()sincos()cos

诱导公式四

诱导公式五

sin()sin

cos()cos

诱导公式六

用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是什么？

①化负角的三角函数为正角的三角函数；

②化大于2π的正角的三角函数为0～2π内的三角函数；

2

③化0～2π内的三角函数为锐角的三角函数．

知识点五、两角和与差的三角函数：

（1）

两角和与差公式：

sin()sincoscossin, sin()sincoscossincos()coscossinsin, cos()coscossinsin

tantantantantan(), tan()

1tantan

1tantantan()tantantan()tantantan()tantan

1tantantan()tantantan()tantantan()tantan

1tantan

（2）

二倍角公式：

sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin2升幂公式tan22tan1tan2sin21cos221cos22sin2

(降幂公式）21cos21cos22coscos22知识点六、辅助角公式（在求最值、化简时起着重要作用。）

（其中a,b不能同时为0）

yasinxbcosxa2b2sin(x)，证明：ysinxcosxab(22aab22sinxbab22cosx)

a2b2(cossinxsincosx)

a2b2sin(x)

其中，cosaab22，sinbab22，tanb且角终边过点(a,b)

a 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想

如：sincos ；sincos 。

题型一、任意角与弧度制

1．下列选项中叙述正确的是（ ）

A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角

B．锐角是第一象限的角

C．第二象限的角比第一象限的角大

D．终边不同的角同一三角函数值不相等

2．下列命题中正确的是（ ）

3

A．终边在x轴负半轴上的角是零角

B．第二象限角一定是钝角

C．第四象限角一定是负角

D．若β＝α＋k360°(k∈Z)，则α与β终边相同

3．与463终边相同的角可以表示为(kZ)

（ ）

A．k360463 B．k360103

C．k360257 D．k360257

4．与﹣A．

5、若是第二象限角，试分别确定2，114 B． C． D．

6363角终边相同的角是（ ）

6，的终边所在的位置

23【答案】第三、第四象限的角或角的终边在y轴的负半轴上；第一或第三象限的角；第一或第二象限或第四象限的角

【规律总结】

所在象限的其他方法：可先将各个象限n等分，从第一象限离x轴最近的区域开始逆时针方向依次重n复标注数码1，2，3，4，直到将所有区域标完为止.如果在第几象限，则就在图中标号为几的区域内. nθθθcos＝－cos，则是(

) 6、设θ是第三象限角，且222确定A．第一象限角

C．第三象限角

o

B．第二象限角

D．第四象限角

7．将－300化为弧度为（ ）

A．－

4577；；；； B．－ C．－ D．－

3364题型二、任意角的三角函数值

1．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．

2．若角的终边在直线y2x上，且sin0，则cos和tan的值分别为（ ）

A．551,2 B．,

552525,2

,2 D．55C．

4

3．函数y=|sinx|cosx|tanx|++的值域是（ ）

sinx|cosx|tanxA.{-1，1} B.{-1，1，3} C.{-1，3} D.{1，3}

4．如果点P(sincos,2cos)位于第三象限，那么角所在象限是（ ）

Ａ.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

5、已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在(

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

6、1．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是(

) π3π5πA.2，4∪π，4

π3π5π3πC.2，4∪4，2

ππ5πB.4，2∪π，4

ππ3πD.4，2∪4，π

7．如图，在平面直角坐标系中，锐角,的终边分别与单位圆交于A、B两点．

（1）如果点A的纵坐标为53，点B的横坐标为，求cos；

135（2）已知点C23,2,OAOC2，求．

考点：1.三角函数的定义；2.平面向量数量积的坐标运算；3.配角公式．

【方法点睛】本题考查任意角的三角函数定义、两角差的余弦公式、配角公式和平面向量的坐标运算，属于中档题；三角函数和平面向量（尤其是平面向量的数量积运算）综合命题是较常见的题型，往往是借助平面向量的垂直或平行关系，得到三角函数关系式，再利用三角恒等变换或三角函数的图象与性质进行求解.

题型三、同角三角函数及诱导公式

1．已知向量错误！未找到引用源。//错误！未找到引用源。,则错误！未找到引用源。= A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

2．若，错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。= B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

A.错误！未找到引用源。

3．若tan θ=错误！未找到引用源。,则cos 2θ= 5

A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

4．已知tanα＝－2，求下列各式的值：

(1)sinα＋2cosα＝________；

cosα－5sinα(2)＝________；

3cosα＋sinαsin2α－sinαcosα－3cos2α(3)＝________；

5sinαcosα＋sin2α＋1(4)2sin2α－sinαcosα＋cos2α＝________. 15、已知向量错误！未找到引用源。,且错误！未找到引用源。. (1)求错误！未找到引用源。；

(2)若错误！未找到引用源。是钝角,错误！未找到引用源。是锐角,且错误！未找到引用源。,求错误！未找到引用源。的值. 【解析】本题考查向量垂直的充要条件,诱导公式,以及齐次式让分子分母同除以错误！未找到引用源。

得到关于错误！未找到引用源。

的式子；第二问用已知角表示未知角错误！未找到引用源。,再用两角和差公式展开计算. 6、利用诱导公式求任意角三角函数的步骤

(1)“负化正”——用公式一或三来转化；

(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；

(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；

(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．

43π(1)sin960°；(2)cos(－)．

67、化简：

(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；

sin2α＋πcosπ＋α(2). tanπ－αcos3－α－πtan－α－2π8、化简

(1)sin(180)sin()tan(360)；

tan(180)cos()cos(180)cossin(5)2cos(8). (2)

cos(3)sin(3)sin(4)6

题型四、两角和差公式与二倍角公式

类型一、直接求值

1.（2011年全国理5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos2（

）. A.4334

B.

C.

D.

55552.（2015全国Ⅰ理2）sin20cos10cos160sin10（

）. A．11332

B．2

C．2

D．2

3．已知P,Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为的横坐标为4，Q点55，则cosPOQ=

134．下列各式中，值为3的是（ ）

2A．2sin15cos15 B．cos215sin215

C．sin215cos215 D．sin215cos215

5．已知sin34，cos，则点P(cos,sin)位于（ ）

2525A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限

考点：倍角公式的应用. 6、tan95tan353tan95tan35 。

tan70tan503tan70tan50 。

类型二、附条件的求值问题

解题技巧：

解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量，哪些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值，注意根据角的象限确定符号．

其次需掌握常见的角的变换技巧：拆角、拼角等，将未知角用已知角表示出来．

341、已知sinα＋sinβ＝5，cosα＋cosβ＝5，求cos(α－β)的值．

7

132

若cosαcosβ－sinαsinβ＝5，cos(α－β)＝5，则tanα·tanβ＝________. 类型三、

由三角函数值求角问题

解题技巧：

解这类问题一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的范围写出所求角．

5101、已知α、β均为锐角，且sinα＝5，cosβ＝10，求α－β的值．

312、若sinα－sinβ＝1－2，cosα－cosβ＝2，则cos(α－β)的值为(

) 113π3

已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.求β. 7142类型四、两角差的余弦公式的综合应用

解题技巧：

将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换．如α＝(α＋β)α＋ββα－β，α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2＝(α－2)－(2－β)等

α＋ββ1α2ππ1、

设cos(α－2)＝－9，sin(2－β)＝3，其中α∈(2，π)，β∈(0，2)，求cos2

3π3π12π2、已知α、β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，则cos(α＋)＝________. 454134π5π3、已知cos(θ＋6)＝13，0<θ<3，则cosθ等于(

)

354、已知锐角α、β满足cosα＝5，cos(α＋β)＝－13，求cosβ的值．

题型五、辅助角公式

1．cosα＋3sinα化简的结果可以是(

) 1ππ1ππA.cos(－α) B．2cos(－α) C.cos(－α) D．2cos(－α)

263236

8