1. 圆周运动优质公开课教案

1

圆周运动

[学习目标]

1.知道什么是匀速圆周运动，知道它是变加速运动.2.掌握线速度的定义式，理解线速度的大小、方向的特点.3.掌握角速度的定义式，知道周期、转速的概念.4.理解掌握公式v＝rω和ω＝2πn.

一、线速度

[导学探究]

如图1所示为自行车的车轮，A、B为辐条上的两点，当它们随轮一起转动时，回答下列问题：

图1 (1)指出A、B两点的速度方向. (2)A、B两点在相同的时间内沿圆弧运动的轨迹长度相同吗？哪个运动得快？

(3)如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等，B做匀速运动吗？

答案

(1)两点的速度方向均沿各自圆周的切线方向. (2)不相同，B运动的轨迹长，B运动得快. (3)B运动的速率不变，但B运动的方向时刻变化，故B做非匀速运动. [知识梳理]

对线速度的理解

(1)线速度

Δs①定义：质点做圆周运动通过的弧长与所用时间的比值.即v＝，单位：m/s. Δt

Δs②定义式：v＝. Δt如果Δt取的足够小，v就为瞬时线速度. ③方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向，与半径方向垂直. ④物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢. (2)匀速圆周运动

定义：质点沿圆周运动，并且在相等的时间内通过的圆弧长度相等. (3)匀速圆周运动是一种变速(填“匀速”或“变速”)运动. [即学即用]

(多选)关于匀速圆周运动，下列说法正确的是(

) A.匀速圆周运动是匀速运动

B.匀速圆周运动是变速运动

C.匀速圆周运动是线速度不变的运动

D.匀速圆周运动是线速度大小不变的运动

答案

BD 解析

这里的“匀速”，不是“匀速度”，也不是“匀变速”，而是速率不变，匀速圆周运动实际上是一种线速度大小不变、方向时刻改变的变速运动，故B、D正确. 二、角速度和周期

[导学探究]

图1中A、B两点转一周的时间相同吗？它们绕圆心转动的快慢相同吗？只用线速度描述圆周运动能全面说明问题吗？

答案

A、B两点转一周的时间相同

绕圆心转动得一样快

不能

[知识梳理]

角速度、转速和周期的概念

(1)角速度

①定义：连接质点和圆心的半径所转过的角度Δφ与所用时间Δt的比值. Δφ②公式：ω＝(如图2所示).国际单位：弧度每秒，符号：rad/s. Δt

图2 (2)周期T：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫做周期，用符号T表示. [即学即用]

(多选)一准确运动的机械钟表，下列说法正确的是(

) A.秒针转动的周期最长

C.秒针转动的角速度最大

答案

BCD B.时针转动的频率最低

πD.秒针角速度为

rad/s 30

解析

秒针转动的周期最短，角速度最大，A错误，C正确；时针转动的周期最长为12小时，2ππ频率最低，B正确；秒针的角速度为ω

＝

rad/s＝

rad/s，故D正确. 6030三、描述圆周运动的各物理量之间的关系

[导学探究]

月球绕地球、地球绕太阳的运动都可看成是匀速圆周运动，甲同学认为地球绕太阳运动的快，因为地球绕太阳运动1 s要走29.79 km，而月球绕地球运动1 s才走1.02

km.乙同学认为月球绕地球运动的快，因为他认为地球一年才绕太阳转一圈，而月球27.3天就能绕地球转一圈，到底谁转得慢？甲说得对，还是乙说得对？

答案

甲和乙说的均是片面的，他们选择描述匀速圆周运动快慢的标准不同.正确的说法是：地球绕太阳运动的线速度比月球绕地球的线速度大，地球运动得较快.而月球转动的角速度比地球转动的角速度大，月球转动得较快. [知识梳理]

描述圆周运动的各物理量的关系

(1)线速度与周期的关系：v＝2πr. T2π(2)角速度与周期的关系：ω＝. T(3)线速度与角速度的关系：v＝ωr. ①当半径r一定时，线速度v与角速度ω成正比. ②当角速度ω一定时，线速度v与半径r成正比. ③当线速度v一定时，角速度ω与半径r成反比. [即学即用]

下列关于甲、乙两个做匀速圆周运动的物体的有关说法中正确的是(

) A.若甲、乙两物体的线速度相等，则角速度一定相等

B.若甲、乙两物体的角速度相等，则线速度一定相等

C.若甲、乙两物体的周期相等，则角速度一定相等

D.若甲、乙两物体的周期相等，则线速度一定相等

答案

C 解析

由v＝rω可知，只有在半径r一定时，线速度相等，角速度一定相等，角速度相等，2π则线速度一定相等，故选项A、B均错误；由ω＝可知，甲、乙两物体的周期相等时，角T2π速度一定相等，故选项C正确；由v＝rω＝r可知，因半径r不确定，故周期相等时，线T速度不一定相等，选项D错误.答案为C.

一、匀速圆周运动的理解

例1

以下关于匀速圆周运动的说法中正确的是(

) A.做匀速圆周运动的物体任意相等时间内通过的位移相等

B.匀速圆周运动的物体任意相等时间内通过的弧长相等

C.匀速圆周运动的速率不变

D.匀速圆周运动的角速度不变

解析

做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的弧长即路程相等，但位移不一定相等，A错B对；匀速圆周运动的线速度大小不变，也就是速率不变，但线速度方向时刻改变，故C对；匀速圆周运动中角速度不变，D对. 答案

BCD [总结提升]

匀速圆周运动的特点

(1)线速度的大小处处相等，角速度不变，周期不变. (2)由于匀速圆周运动的线速度方向时刻在改变，所以它是一种变速运动.这里的“匀速”实质上指的是“匀速率”而不是“匀速度”.

二、对描述圆周运动的各物理量的关系的理解

例2

做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：

(1)线速度的大小；

(2)角速度的大小；

(3)周期的大小. Δs解析

(1)依据线速度的定义式v＝可得

ΔtΔs100v＝＝

m/s＝10 m/s. Δt10v10(2)依据v＝rω可得，ω＝＝

rad/s＝0.5 rad/s. r202π2π(3)T＝＝

s＝4π s. ω0.5答案

(1)10 m/s

(2)0.5 rad/s

(3)4π s [总结提升]

Δs2πr(1)v与T的关系为：v＝＝，T一定时，v与r成正比；

ΔtTr一定时，v与T成反比. Δφ2π(2)ω与T的关系：ω＝＝，ω与T成反比. ΔtT2π(3)ω与T、f、n的关系：ω＝＝2πf＝2πn，ω、T、f、n四个物理量可相互换算，其中一个T

确定了，另外三个量也就确定了. 针对训练

甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其转动半径之比为1∶2，在相等的时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的角速度之比为________，线速度之比为__________，周期之比为________. 答案

4∶3

2∶3

3∶4 ω甲60°4Δφ解析

由ω＝，得＝＝，

Δtω乙45°3v甲ω甲r甲412由v＝rω，得＝·＝×＝

v乙ω乙r乙323T甲ω乙32π由T＝，得＝＝. ωT乙ω甲4三、同轴转动与皮带传动问题

例3

如图3所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比为(

)

图3 A.角速度之比1∶2∶2

C.线速度之比1∶2∶2

B.角速度之比1∶1∶2 D.线速度之比1∶1∶2 解析

A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等. a、b比较：va＝vb

由v＝rω得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2 b、c比较：ωb＝ωc

由v＝rω得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2 所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2 va∶vb∶vc＝1∶1∶2 故A、D正确. 答案

AD 例4

一个圆环，以竖直直径AB为轴匀速转动，如图4所示，求环上M、N两点的：

图4 (1)线速度的大小之比；

(2)角速度之比. 解析

M、N是同一环上的两点，它们与环具有相同的角速度，即

ωM∶ωN＝1∶1，两点做圆周运动的半径之比

rM∶rN＝sin 60°∶sin 30°＝3∶1，故

vM∶vN＝ωMrM∶ωNrN＝3∶1. 答案

(1)3∶1

(2)1∶1 [总结提升]

常见的传动装置及其特点

同轴传动

A、B两点在同轴的一个圆盘上

装

置

皮带传动

两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点

齿轮传动

两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点

特

点

角速度、周期相同

线速度大小相同

ωA角速度与半径成反比：ωBr＝.周期与半径成正比：RTAR＝

TBr

线速度大小相同

ωA角速度与半径成反比：ωBr2＝.周期与半径成正比：r1TAr1＝

TBr2规

律

vA线速度与半径成正比：＝vBr

R

1.关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下列说法中正确的是(

) A.线速度大的角速度一定大

B.线速度大的周期一定小

C.角速度大的半径一定小

D.角速度大的周期一定小

答案

D 解析

由v＝rω知，v越大，ω不一定越大；ω越大，r不一定越小，故A、C均错误；由v

＝2πr2π知，v越大，T不一定越小，B错误；而由ω＝可知，ω越大，T越小，故D正确. TT2.(多选)自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，如图5所示.在自行车正常骑行时，下列说法正确的是(

)

图5 A.A、B两点的线速度大小相等

B.B、C两点的角速度大小相等

C.A、B两点的角速度与其半径成反比

D.A、B两点的角速度与其半径成正比

答案

ABC 解析

大齿轮与小齿轮类似于皮带传动，所以两轮边缘的点A、B的线速度大小相等，A正确；小齿轮与后轮类似于同轴转动，所以B、C的角速度大小相等，B正确；A、B两点的线速度大小相等，由v＝rω知A、B两点的角速度与半径成反比，C正确，D错误. 3.(多选)如图6所示，圆盘绕过圆心且垂直于盘面的轴匀速转动，其上有a、b、c三点，已知1Oc＝Oa，则下列说法中正确的是(

) 2

图6 A.a、b两点线速度相同

B.a、b、c三点的角速度相同

C.c点的线速度大小是a点线速度大小的一半

D.a、b、c三点的运动周期相同

答案

BCD 2π解析

同轴转动的不同点角速度相同，B正确；根据T＝知，a、b、c三点的运动周期相同，ωD正确；根据v＝rω可知c点的线速度大小是a点线速度大小的一半，C正确；a、b两点线速度的大小相等，方向不同，A错误.

一、选择题(1～6为单项选择题，7～10为多项选择题) 1.一质点做匀速圆周运动时，圆的半径为r，周期为4 s，那么1 s内质点的位移大小和路程分别是(

) πrA.r和

2C.2r和2r

答案

D 1解析

质点在1 s内转过了圈，画出运动过程的示意图可求出这段时间内的位移为2r，路4πr程为，所以选项D正确. 22.汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长.某国产汽车的车轮半径约为30 cm，当该型号汽车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车车轮的转速为(

) A.1 000 r/s

C.1 000 r/h

答案

B 解析

由v＝rω，ω＝2πn得

v120×103n＝＝

r/s≈17.7 r/s≈1 000 r/min. 2πr3 600×2×3.14×30×10－23.如图1所示是一个玩具陀螺.a、b、c是陀螺上的三个点.当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是(

) B.1 000 r/min D.2 000 r/s πrπrB.和

22πrD.2r和

2

图1 A.a、b、c三点的线速度大小相等

B.a、b、c三点的角速度相等

C.a、b的角速度比c的大

D.c的线速度比a、b的大

答案

B

解析

a、b、c均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度ω，B对，C错；三点的运动半径关系为ra＝rb>rc，据v＝rω可知，三点的线速度关系为va＝vb>vc，A、D错. 4.如图2所示，两个小球a和b用轻杆连接，并一起在水平面内绕固定点做匀速圆周运动，下列说法中正确的是(

)

图2 A.a球的线速度比b球的线速度小

B.a球的角速度比b球的角速度小

C.a球的周期比b球的周期小

D.a球的转速比b球的转速大

答案

A 解析

两个小球一起转动，周期相同，所以它们的转速、角速度都相等，B、C、D错误；而由v＝rω可知b的线速度大于a的线速度，所以A正确. 5.两个小球固定在一根长为1 m的杆的两端，杆绕O点逆时针旋转，如图3所示，当小球A的速度为3 m/s时，小球B的速度为12 m/s.则小球B到转轴O的距离是(

)

图3 A.0.2

m

B.0.3

m

C.0.6

m

D.0.8

m 答案

D 解析

设小球A、B做圆周运动的半径分别为r1、r2，则v1∶v2＝ωr1∶ωr2＝r1∶r2＝1∶4，又因r1＋r2＝1 m，所以小球B到转轴O的距离r2＝0.8 m，D正确. 6.如图4所示，甲、乙、丙三个齿轮的半径分别为r1、r2、r3，并且r1＜r2＜r3.若甲齿轮的角速度为ω1，则丙齿轮的角速度为(

)

图4 r1ω1r3ω1r3ω1r1ω1A.

B.

C.

D.

r3r1r2r2答案

A r1ω1解析

甲、乙、丙三个齿轮边缘上各点的线速度大小相等，即r1ω1＝r2ω2＝r3ω3，所以ω3＝，r3选项A正确.

7.甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是(

) A.它们的半径之比为2∶9 B.它们的半径之比为1∶2 C.它们的周期之比为2∶3 D.它们的周期之比为1∶3 答案

AD vr甲v甲ω乙22π2π2π1解析

由v＝rω，得r＝，＝＝，A对，B错；由T＝，得T甲∶T乙＝∶＝，ωr乙v乙ω甲9ωω甲ω乙3C错，D对. 8.质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是(

) A.因为v＝rω，所以线速度v与轨道半径r成正比

vB.因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径r成反比

rC.因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比

2πD.因为ω＝，所以角速度ω与周期T成反比

T答案

CD 解析

当ω一定时，线速度v才与轨道半径r成正比，所以A错误.当v一定时，角速度ω才与轨道半径r成反比，所以B错误.在用转速或周期表示角速度时，角速度与转速成正比，与周期成反比，故C、D正确. 9.一般的转动机械上都标有“转速××× r/min”，该数值是转动机械正常工作时的转速，不同的转动机械上标有的转速一般是不同的.下列有关转速的说法正确的是(

) A.转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的线速度一定越大

B.转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的角速度一定越大

C.转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的周期一定越大

D.转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的周期一定越小

答案

BD 2π1解析

转速n越大，角速度ω＝2πn一定越大，周期T＝＝一定越小；由v＝rω知，只有ωnr一定时，ω越大，v才越大，B、D对. 10.如图5所示，一个匀速转动的半径为r的水平圆盘上放着两个木块M和N，木块M放在1圆盘的边缘处，木块N放在离圆心r的地方，它们都随圆盘一起运动.比较两木块的线速度3和角速度，下列说法中正确的是(

)

图5 A.两木块的线速度相等

B.两木块的角速度相等

C.木块M的线速度大小是木块N的线速度大小的3倍

D.木块M的角速度大小是木块N的角速度大小的3倍

答案

BC 1解析

由转动装置特点知，M、N两木块有相同的角速度，又由v＝rω知，因rN＝r，rM＝r，3故木块M的线速度大小是木块N的线速度大小的3倍，选项B、C正确. 二、非选择题

11.某转盘每分钟转45圈，在转盘离转轴0.1 m处有一个小螺帽，求小螺帽做匀速圆周运动的周期、角速度、线速度. 43π3π答案

s

rad/s

m/s 3220解析

由周期和转速的关系可求周期

1604Δφ2π3πT＝＝

s＝

s，角速度ω＝＝＝

rad/s n453ΔtT23π线速度v＝rω＝

m/s. 2012.如图6所示为皮带传动装置，皮带轮的圆心分别为O、O′，A、C为皮带轮边缘上的点，12B为A、O连线上的一点，RB＝RA，RC＝RA，当皮带轮匀速转动时，皮带与皮带轮之间不23打滑，求A、B、C三点的角速度之比、线速度之比.

图6 答案

2∶2∶3

2∶1∶2 解析

由题意可知，A、B两点在同一皮带轮上，因此ωA＝ωB，又皮带不打滑，所以vA＝vC，

故可得ωC＝vCvA3＝＝ωA，

RC22RA33所以ωA∶ωB∶ωC＝ωA∶ωA∶ωA＝2∶2∶3. 2

vA1又vB＝RB·ωB＝RA·ωA＝，

221所以vA∶vB∶vC＝vA∶vA∶vA＝2∶1∶2. 213.如图7所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：

图7 (1)B球抛出时的水平初速度；

(2)A球运动的线速度最小值. 答案

(1)Rg

(2)2πR2hg

2h解析

(1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，

则R＝v0t①

在竖直方向上做自由落体运动，

1则h＝gt2②

2R由①②得v0＝＝Rtg. 2h(2)设相碰时，A球转了n圈，则A球的线速度

2πR2πRvA＝＝＝2πRnTtng

2h当n＝1时，其线速度有最小值，即

vmin＝2πR

g. 2h