信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表ppt配用优秀获奖教案

教学设计 主备人：芒市一中数学备课组

高中课程新标准 数学必修4 3.1.1 两角差的余弦公式

一、内容及解析

1.内容：《3.1.1两角差的余弦公式》是人教A版普通高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一课时的内容。两角差的余弦公式是用两角的三角函数值来表示两角差的余弦值,这一内容在三角函数模块中起着承上启下的作用，是任意角三角函数知识的延伸，也是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的知识基础。

2.内容解析：两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示两角差的三角函数。教材采用了一种学生易于接受的推导方法，即先用数形结合的思想，借助于单位圆中的三角函数线，推出α、β、α-β均为锐角时公式成立。对于α、β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。

教学重点：两角差的余弦公式的探索和运用

教学难点：两角差的余弦公式的探索

二、教学目标及解析

1.教学目标

知识与技能目标：(1)理解两角差的余弦公式的推导；(2)掌握两角差的余弦公式并能进行初步的应用。 过程与方法目标：通过对两角差余弦公式的推导及应用，培养学生分析问题、解决问题的能力，进一步体会向量方法的作用，体会数形结合、由特殊到一般、化归与转化的数学思想。 情感、态度与价值观目标：培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑的学习品质与严谨、求实的科学态度。 2.教学目标解析

（1）掌握两角差的余弦公式，并能初步运用。

（2）体验“探求结果，证明结果”这一常用探究步骤，通过两角差余弦公式的探究过程体会数形结合、分类讨论、观察联想等数学思想方法和思维方法。

（3）知道怎样运用向量解决问题，充分认识和感受向量的工具价值；

（4）鼓励学生大胆猜想，合作探究，在激情展讲、质疑对抗中，得到共同提高。

1

3.教学问题诊断分析

在本节课的学习中，学生在学习中可能会出现的障碍及对策：

（1）怎样求两角差的余弦值？我将采用让学生先大胆猜想，再进行验证，激发学生探知兴趣。

（2）如何想到用三角函数线来推导两角差的余弦？我采用：一是让学生联系相关已学知识，二是联系数学思想方法（数形结合思想）来处理问题，把学生的思维引到三角函数线上。

（3）用三角函数线推导公式时，辅助线的添加对学生的思维有很高的要求。所以这个内容以我制作的PPT课件分步骤进行展示。

（4）如何想到用向量来证明两角差的余弦公式？如果突兀的给出，不符合科学知识产生的自然过程。所以我采用让学生仔细观察公式的构成要素和结构特征，联系所学知识进行思考。

（5）用向量的数量积公式对两角差的余弦公式的探究过程，对学生来说难度较大。这个环节我将采用学生小组合作进行探究，发挥集体智慧，共同解决。

四、教学支持条件

本节课拟将借助多媒体进行辅助教学。当α、β、α-β都是锐角时，采用三角函数线得到两角差的余弦公式，这个推导过程比较复杂，用PPT动画演示展示关键步骤，帮助学生理解。α-β与向量夹角之间的关系，我将利用几何画板的作图演示，将抽象的问题直观化。

五、教学过程设计

（一）教学基本流程

提出问题、引入新课 新知探究、两角差的余弦公式 例题讲解 目标检测 课堂小结

（二）预习导学

1.利用单位圆定义任意角的三角函数

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y)，那么

（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinαy；

（2）x叫做α的余弦，记作cosα，即cosαx； （3）yxy0). 图1 叫做α的正切，记作tanα，即tanα(x≠x

2.在图1作出角α的正弦线、余弦线. 3.数量积的定义ababcosθ，其中θ是a与b的夹角,θ0，π. 数量积的坐标表示：若a（x1,y1)，b（x2,y2)，则abx1x2

2 y1y2.

4.同角三角函数的平方关系：sin2αcos2α1. （α-β）5.两角差的余弦公式：cos= cosαcosβsinαsinβ . [设计意图]：回顾旧知，为新知的探索、证明、运用做铺垫. （三）问题引领、知识探究

探究活动1 利用三角函数线探究cos与sinα,

cosα，（α-β）

sinβ，

cosβ之间的关系.（图2）

分析：设角α的终边与单位圆的交点为P1,∠POP1=β,则∠POx= α-β . （α-β）过点P作PM垂直于x轴垂足为M,那么OM就是角α-β的余弦线,即OM= cos . 过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为C.那么,OA= cosβ ,AP= sinβ ,并且∠PAC=∠P1Ox= α . 图2 于是,OM=OB+BM =OB+CP = OAcosα + APsinα = cosβcosα + sinβsinα . （α-β） 即：cos= cosαcosβsinαsinβ . [设计意图]：借助三角函数的“形”——三角函数线探究两角差的余弦公式.在特殊情况α、β皆为锐角的情况下得出公式，发现推广的一般情况下的过程比较麻烦、困难，从而引出相对简单的向量法。 探究活动2 借助向量知识证明两角差的余弦公式（图3） 在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α,β，其终边分别与单位圆交于点 A(cosα，sinα）β，sinβ）,B(cos

.α，sinα）β，sinβ）则OA

(cos ,OB

(cos

，AOB α-β . 图3

3

由数量积的坐标表示: OAOB= cosαcosβsinαsinβ .

由数量积的定义得：

OAOB =  . （α-β）OAOBcos(α-β) = cos（α-β）所以 cos = cosαcosβsinαsinβ . [设计意图]：利用平面向量数量积证明两角差的余弦公式，相比用三角函数线证明要更容易理解掌握. 问题1 在用向量证明两角差余弦公式的过程中，α-β与向量夹角θ存在什么关系？

答：α-β是任意的，不一定是向量夹角，它们的关系应该是α-β2kπθ,kZ.

所以根据诱导公式得：cosθcos(α-β)cosαcosβsinαsinβ.公式得证. [设计意图]：引导学生关注两个向量的夹角θ与α-β间的联系与区别，并通过观察课件和讨论得出α-β2kπθ,kZ，增强学生用数形结合、分类讨论的方法解决问题的意识，感受数学思维的严谨性．

问题2 两角差的余弦公式在结构上具有怎样的特点？

答：①公式中两边的符号相反（一负一正）；②式子右边为同名三角函数乘积的和；③公式中只有两个角，且α，β是任意的；④式子的逆用也要注意. [设计意图]：要达到公式的正用、逆用、灵活运用，就要对公式有全面、深刻的理解. （四）例题讲解、练习内化

例1.利用差角的余弦公式求值.

(1)cos15. [分析]：角15可拆为特殊角的差,如15°°°°°45°－30°或者15°60°－45°,再利用公式求解. °解法一：原式=cos（45－30） 解法二：原式=cos（60－45°） cos45°cos30°sin45°sin30° cos60°cos45°sin60°sin45° 23211232×× ××22222222624 

264

4

(2)cos5ππππcoscossin.126126

[分析]：差角余弦公式的逆用，角不同利用诱导公式化为相同的角.5ππ5ππcossinsin

解：原式=cos126126

cos（ 5ππ3ππ2-）coscos1261242

°变式训练1.cos50cos20°sin50°sin20°的值是（ C ）

A. 0 B.12 C.32 D.22 [小结] 非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值；公式逆用也要注意，角不同、形式不同利用诱导公式进行互化.

例2.已知sinα4π53π,α(,π),cosβ,β(π，)，（α-β）求cos的值. 52132（α-β）[分析]：结合余弦公式,欲求cos的值,必先知道sinα、cosα、sinβ、cosβ的值,然后利用公式C(α-β)sinα即可求解.注意角α、β所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.解:∵∴cosα1sin2α 4π,α(,π)

523

553π,β(π，)

132 12sinβ1cos2β ∴13∵cosβ3335412×（）×（）∴cos（α-β）cosαcosβsinαsinβ 65

5135133π（α-）变式训练2.已知cosα,0＜α＜π，求cos的值. 563cosα,0＜α＜π解:∵5

π4∴0＜α＜，sinα25

πππ3341334∴cos（α-）cosαcossinαsin××

666525210 [小结] 一定要弄清角的范围,若范围大的，则需缩小角的范围，准确判断三角函数值的符号，提醒学生注意,养成良好的学习习惯.

5

（五）目标检测

°°1.若a(cos60,sin60)，b(cos15°,sin15°)，则ab（ B ）

A. 0 B.22° C.13 D.22 解：abcos60cos15°sin60°sin15°cos(60°15°)

22.所以选B. cos45°3ππ,α(,π)，（-α）求cos的值. 5243π解：cosα,α(,π)52

4sinα1cos2α5

πππcos（-α）coscosαsinsinα444

2.已知cosα （六）课堂小结

23242（）252510

（α-β）1.两角差的余弦公式 coscosαcosβsinαsinβ 2.数形结合思想将抽象问题直观化；.

；

3.公式要灵活使用，注意公式的逆向使用；

4.解题时要注意角的范围和掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.

（七）分层配餐

A组题

1.

sin42sin18+cos42cos18 . °°（α30）cosαsin（α30）sinα

．

2. 化简cos3.已知sin4，,，求cos．

532

6

B组题

1.sin15 . 2. 已知sinα23π3π-,α(π，),cosβ,β(0，)，求cos的值. （α-β）3242C组题

1. 已知α，β都是锐角，cosα111,cos（αβ）,求cosβ的值. 714

（八）板书设计

投影

屏幕

3.1.1 两角差的余弦公式

α、β，cos（α-β）cosαcosβsinαsinβ

六．教学反思

7