2.1.2 向量的几何表示教案1

2.1.2-3《向量的几何表示

和相等向量与共线向量》设计

教学分析

本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础. 三维目标

1.通过实例,利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素,搞清数量与向量的区别. 2.理解相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判断向量之间的关系,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量. 3.在教学过程中,应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系,揭示向量可以平移这一特性. 重点难点

教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

1.复习向量的两要素：方向、大小

判断一下图形中的量是否是向量.

根据向量的两个要素思考:时间,路程,功是向量吗?速度,加速度是向量吗?

2.由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，…而且不同的点表示不同的数量。

对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长度

表示向量的大小，箭头表示向量的方向。

推进新课

新知探究:引入相关概念

1.

有向线段：在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向。具有方向的线段叫做有向线段。

2.

有向线段的三个要素：起点、方向、长度

3.

向量的几何表示：用有向线段表示。

的大小，也就是向量 的长度（或称模） |。

4.

向量 ，记作|

。

5.

长度为0的向量叫做零向量，记作

6.

长度等于1个单位的向量，叫做单位向量

,

,

, . . .

7.

向量的字母表示：（1） 8.

用表示向量的有向线段的起点和终点字母

， 9.

表示，例如，

活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量. 教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题. 提出问题

①如何表示向量? ②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么? ③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量? ④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗? ⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量? ⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系? ⑦数量与向量有什么区别? ⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别? 活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点、B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.起点要写在终点的前面. 已知AB,线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度,记作|AB|.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.

图1 知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定. 用有向线段表示向量的方法是: 1.起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作:AB. 这里要提醒学生注意AB的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点. 2.用字母a,b,c,…表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用a) 3.向量AB(或a)的大小,就是向量AB(或a)的长度(或称模),记作|AB|(或|a|). 教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a＞b就没有意义,而|a|>|b|有意义. 讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a →来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB、CD. 注意:手写体上面的箭头一定不能漏写. ②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.

图2 ③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量. ④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. ⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图2.

图3

又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA＝a,OB=b,OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量. 说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系. ⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小. ⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关. 例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. (1)ABCD中,AB与CD是共线向量; (2)单位向量都相等. 活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7. 因为AB//CD,所以AB∥CD.由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定. 解:(1)正确; (2)不正确. 点评:本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.

图8 例3 如图8,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中所示向量与OA、OB、OC、相等的量. 活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断OA与EF,OB与AF是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念. 解:OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO. 点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同. 变式训练

本例变式一:与向量OA长度相等的向量有多少个？(11个)

本例变式二:是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？(存在) 例4 下列命题正确的是( ) A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,即只有C正确. 答案:C 点评:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合. 变式训练

1.判断: (1)平行向量是否一定方向相同？(不一定) (2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定) (3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量) (4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量) (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？(平行向量) (6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同) (7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定) 2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一条线段 B.一段圆弧 C.两个点 D.一个圆

答案:D 3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一个点 B.两个点

C.一个圆 D.一条线段

答案:B 知能训练

课本本节练习. 解答: 1.通过具体的例子,让学生动手画两个方向不同、大小不等的力(向量),图略. 2.|AB|,|BA|,这两个向量的长度相等,但它们不等. 点评:向量是既有大小,又有方向的量.长度相等的两个向量未必是两个相等的量. 3.|AB|=2,|CD|=2.5,|EF|=3,|GH|=22. 点评:方格纸是学生学习几何、向量等内容的好工具.在方格纸中,长度和角度非常容易表现.建议在向量内容的学习中把方格纸作为重要的学具.

4.(1)它们的终点相同;(2)它们的终点不同. 点评:方向相同的两个向量,如果它们的起点相同,它们的终点只与长度有关. 课堂小结

本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好. 作业

课本习题2.1 1、2. 设计感想

本节是平面向量的第一节,显然属于“概念课”,概念的理解无疑是重点,但也是难点.本教案设计的指导思想是:把学生划分小组合作讨论学习,经过小组成员们的合作探究,对平面向量的基本概念和基本解题方法都明了了不少,应该有很多的成功之处或收获.对失败或教训之处可能是由于一些概念性问题没有深入研究,导致解题存在困难,不过这些会通过学习的深入弥补过来的. 作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后,给中学数学带来了无限生机.通过本节具体问题的解决,让学生体会到数学在生活中的重要作用,并在实际课堂教学中规范学生的习惯,培养严谨的思考习惯和代数与几何相结合的习惯,为后面学习打下基础.