阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质ppt专用说课稿内容

平面向量的数量积(1) ①理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

教②了解平面向量的数量积与向量投影的关系；

学③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

目④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

标

本讲主要以选择题、填空题形式考察平面向量的数量积的定义和性质及坐标表示，重点考察平面向量的数量积的计算及性质。在平面向量的性质方面分三个命题角度进行考察：说命题点1.平面向量的模；命题点2.平面向量的夹角；命题点3.平面向量的垂直。重点体会

明

数量积运算是向量中的一个重要工具，它能与数学的其它知识产生千丝万缕的联系。

此类题难度不大，属于中档题。

教学多媒体课件，三角板

准备

一．考情分析

从考点分布，考纲要求，命题趋势三方面进行分析，让学生知道考什么，怎么考。

二．知识自主梳理：

1．向量的数量积

教（1）两个非零向量的夹角

学过已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫a与b

程

的夹角；

说明：（1）当θ＝０时，a与b同向；

（2）当θ＝π时，a与b反向；

（3）当θ＝2时，a与b垂直，记作a⊥b；

（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的，范围 ０≤θ≤π 。

（2）数量积的概念

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与b的数量积（或内积）。规定0a0；

ab|a|向量的投影：︱b︱cos=为射影；

∈R，称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值称（3）数量积的几何意义：

a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。

（4）向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系：aaa2|a|2。

②乘法公式成立

ababa2b2aa22b；

2ab2a22abb222abb；

③平面向量数量积的运算律

交换律成立：abba；

对实数的结合律成立：abababR；

分配律成立：abcacbccab。

④向量的夹角：cos=cosa,babab0=2x1x2y1y2x1y12。

y22x22当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=0，当且仅当a与b反方向时θ=180，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。

（5）两个向量的数量积的坐标运算

已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a·b=x1x2y1y2。

（6）垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b。

两个非零向量垂直的充要条件：a⊥ba·b＝Ox1x2y1y20

00

设a(x,y)，则|a|xy或|a|222x2y2。

如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，那么|a|(x1x2)2(y1y2)2(平面内两点间的距离公式)。

三．考点疑难突破

考点一.平面向量数量积的运算 →→→例1．已知AB＝(2,1), 点C(－1,0)，D(4,5)，则向量

AB在CD方向上的投影为(

)

32A．－

B．－35 232C.

D．35 2

B．D→→→解析：因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又AB＝(2,1)，所以向量

AB在→→→→→→AB·CD1532CD方向上的投影为|AB|cos〈AB，CD〉＝＝＝2. →52|CD|→→例2．已正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________.

→→111解析.解法一：AE·BD＝AD＋AB·(AD－AB)＝AD2－AB2＝22－×22＝2. 222解法二：以A为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A(0,0)，E(1,2)，B(2,0)，C(2,2)，→

→→→D(0,2)，AE＝(1,2)，BD＝(－2,2)，则AE·BD＝(1,2)·(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2. →→→→→→D

同步自测1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(

) A．(－15,12)

B．0

C．－3

D．－11 解析：∵a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，

∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3. 2．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝________. 解析：因为a＝(－2，－6)，

所以|a|＝－22＋－62＝210，

又|b|＝10，向量a与b的夹角为60°，

1所以a·b＝|a|·|b|·cos60°＝210×10×＝10. 2例题由师生共同完成，同步自测由学生独立完成，之后师生共同总结求数量积的两种方法。

考点2.平面向量数量积的性质

常见的命题角度有

(1)平面向量的模；

(2)平面向量的夹角；

(3)平面向量的垂直．

角度一

平面向量的模

例1.(2017年全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 1【解析】

∵a·b＝|a||b|cos60°＝2×1×＝1，

2∴|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4a·b＋4b2＝

4＋4＋4＝23. 角度二

平面向量的夹角

例2.a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于(

) 88A.

B．－

6565

B．

1616C.

D．－

6565

【解析】

由题可设，设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x，6＋y)＝(3,18)，所以可以解得xa·b16＝－5，y＝12，故b＝(－5,12)．由cos〈a，b〉＝＝，故选C. |a||b|65角度三

平面向量的平行与垂直

例3.

已知A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，O为原点．

→→→→→∴3cosα＝－3sinα，

∴tanα＝－1. →→→→(2)AC＝(cosα－3，sinα)，BC＝(cosα，sinα－3)，

∵AC⊥BC，

∴cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα＝0，

118∴sinα＋cosα＝，两边同时平方得，1＋2sinαcosα＝，∴sin2α＝－. 399教师启发，引导，师生共同完成三道例题，然后小结解决此类题目的方法，然后给出三道自测题，检测学生的达标水平。

同步自测题

1．平面向量a，b的夹角为60°，a＝(2,0)，|a＋2b|＝23，则|b|＝________. 解析：因为a＝(2,0)，所以|a|＝2，

把|a＋2b|＝23两边平方可得a2＋4a·b＋4b2＝12，

即|a|2＋4|a|·|b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝12，

1代入数据可得22＋4×2|b|×＋4|b|2＝12，

2整理可得|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1. 2．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ为(

) ππA.

B．

63→→→(1)若OC∥AB，求tanα的值；

(2)若AC⊥BC，求sin2α的值；

【解】

(1)∵OC＝(cosα，sinα)，AB＝(－3,3)，OC∥AB，

D

2π5πC.

D．

36解析：cosθ＝a·b－633＝＝－. |a|·|b|2×625π，故选D. 6B．又因为0≤θ≤π，

所以θ＝3.

已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb互相垂直,则实数k=

.

D【解析】由已知a=(1,2),b=(3,4),

若互相垂直,则(a+kb)·(a-kb)=0,

即a2-k2b2=0,

221即5-25k=0,即k=

5,

所以k=±

5.

课堂小结：

1．向量数量积运算的常用解法：

1）定义法；2）坐标运算法；3)几何图形法;

2．数量积运算是向量中的一个重要工具，它能与数学的其它知识产生千丝万缕的联系；

3．“等价转化”、“数形结合”等重要数学思想穿插在数量积运算中，要细细体会。

平面向量的数量积（1）

1．向量的数量积

（1）两个非零向量的夹角的定义

（2）向量夹角的范围0≤≤180。

板2. 数量积的概念

书设计

4. 向量数量积的性质

①aaa|a|。

②乘法公式成立

225a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与b的数量积（或内积）。规定0a0；

C 3. 向量的投影：︱b︱cos称为向量b在a方向上的投影。

ababa2b2a22b；

ab2a22abb2a222abb；

x1x2y1y2③向量的夹角：cos=cosa,babab=2。

y22x1y12x225. 两个向量的数量积的坐标运算

已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a·b=x1x2y1y2。

6. 垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b。

两个非零向量垂直的充要条件：a⊥ba·b＝Ox1x2y1y20。

07. 设a(x,y)，则|a|xy或|a|222x2y2。

8. 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，

那么|a|(x1x2)2(y1y2)2(平面内两点间的距离公式)。

向量数量积容易与三角函数或解析几何联系出题，要让学生准确把握数量积的定义、坐标表示教学反思

及相关性质。

向量的平行与垂直是特殊位置关系，是易考题型，要学生注意区分它们的坐标表示的区别，以免混淆。

由条件求向量的模有两种情形，一种是利用性质|a||a|x2a2，另一种是坐标形式y2，需通过题目进行训练，使学生熟练掌握。