3.2.2 （整数值）随机数（random numbers)的产生课堂实录

古典概型的教学设计

概率是源于生活，和实际生活联系最密切的数学知识点之一，也是学生非常感兴趣的内容。他对指导人们从事生产、生活具有十分重要的意义，所以概率成为近几年新课程高考的一个热点。

本节课是高中数学必修3（人教A版）第三章3.2.1古典概型的内容，学生在初中阶段学习了概率初步，在高中阶段学习随机事件的概率之后，尚未学习排列组合的情况下进行教学的。

古典概型是一种最基本的概率模型，它曾是概率论发展初期的主要研究对象，在概率论中占有相当重要的地位。它的引入，使我们可以解决等可能事件的概率，而且可以得到概率精确值，同时避免了大量的重复试验。学好古典概型有利于理解概率的概念，为其它概率知识的学习奠定基础，并能够解释生活中的一些问题。[来源:Z_xx_k.Com]

课程目标

学科素养

1. (1)掌握基本事件；(2)理解古典概型的定义a.数学抽象：古典概型的计算方法；

及概率公式。

2. 通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，；

3. 用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现和归纳的学习品质。

b.逻辑推理：古典概型的条件；

c.数学运算：运用古典概型计算概率；

d.直观想象：运用图示等方法列举基本事件；

e.数学建模：在实际问题中建立古典概型模型；

重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。

难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事

件的个数和试验中基本事件的总数。

教学环节

（一）开门见山，揭示课题

通过试验和观察的方法，我们可以得到一些事件的概率估计.但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.在一些特殊的情况下，我们可以构造出计算事件概率的通用方法，这就是我们今天要研究的古典概型. （二）设置情境，得出概念

1．基本事件

I.基本事件的概念

思考1：掷一枚质地均匀的硬币，可能出现的结果有几个，每个结果出现的可能性是否相同？是否互斥？

思考2：掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的结果有几个，每个结果出现的可能性是否相同？是否互斥？[来源学科网ZXXK][来源学科网ZXXK]设计意图

通过掷硬币与掷骰子两个接近于生活的试验的设计。先激发学生的学习兴趣，然后引导学生观察试验，分析结果，找出共性。

教师加以引导与启发，利用基本事件的关系发现基本事件的特点。学生归纳与总结，鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力. 教材中例1的作用，一方面是加深对基本事件概念的理解，另一方面是为了引出古典概型的概念。将数形结合和分类讨论的思想渗透到具体问题中来。由于没有学习排列组合，因此用列举法列举基本事件的个数，不仅能让

上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类事件称为基本事件.

II．基本事件的特点

思考3：看上面两个引例，指出下列事件包含的基本事件：

⑴事件A：掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面；

⑵事件B：掷一枚质地均匀的骰子，得到点数是偶数；

⑶事件C：掷一枚质地均匀的骰子，得到点数是3的倍数. 基本事件的特点：[来源:学§科§网]

⑴任何两个基本事件是互斥的；

⑵任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

III．基本事件的理解

例1：⑴从字母a、b、c、d中任意取出一个字母的试验中，有哪些基本事件？⑵任意取出两个不同字母呢？分别列举出来. 分析：⑴a,b,c,d；

⑵a-b,a-c,a-d,b-c,b-d,c-d

学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏。解决了求古典概型中基本事件总数这一难点。

2．古典概型

通过归纳分析前面的试验得到：

I．古典概型的概念

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

II.

古典概型的辨析

本节课概念的教学

思考5：⑴射击一次命中的环数”是古典概型吗？为什么？

（不是，因为命中各环数的可能性不相等）

⑵向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？

（不是，因为结果不是有限个）

III.

古典概型的公式

思考6：在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？

⑴在掷一枚硬币的试验中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即

P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）

由概率的加法公式，得

P（“正面朝上”）＋P（“反面朝上”）＝P（必然事件）＝1 因此

P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）＝

模式遵循了试验——概念与公式——辨析与应用.既符合一般的认知规律，又牢牢夯实了概念。

教师引导学生，先通过用概率加法公式求1

2

1“出现正面朝上”所包含的基本事件的个数（“出现正面朝上”)＝＝即P

2基本事件的总数⑵在掷一枚骰子的试验中，出现各个点的概率相等，即

P（“1点”）＝P（“2点”）＝P（“3点”）

＝P（“4点”）＝P（“5点”）＝P（“6点”）

反复利用概率的加法公式，我们有

P（“1点”）＋P（“2点”）＋P（“3点”）＋P（“4点”）

＋P（“5点”）＋P（“6点”）

＝P（必然事件）＝1 所以P（“1点”）＝P（“2点”）＝P（“3点”）

＝P（“4点”）＝P（“5点”）＝P（“6点”）＝出随机事件的概率，再对比概率结果，发现其中的联系。

从具体到抽象、从特殊到一般的方法来分析问题，同时让学生感受数学化归思想的优越性和这一做法的合理性，突出了古典概型1

6的概率计算公式这一重点。

进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如，

通过丰富的实例，充111P（“出现偶数点”）＝P（“2点”）＋P（“4点”）＋P（“6点”）＝＋＋＝666分增加感性认识。像剥31＝

圆葱一样，通过层层剥623“出现偶数点”所包含的基本事件的个数即P

（“出现偶数点”）＝＝6基本事件的总数

根据上述两则试验，可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为：

P（A）＝A所包含的基本事件的个数

基本事件的总数离，逐渐接近问题的核心。

思考：在使用古典概型的概率公式时，应该注意什么? （1）要判断该概率模型是不是古典概型；[来源学§科§网Z§X§X§K]

（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

（三）例题讲解，巩固深化

例1 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考差的内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？

让学生明确决概率的计算问题的关键是：先要判断该概率模型是不是古典概型，再要解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、找出随机事件A包含选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案是选择A，的基本事件的个数和B，C，D的可能性是相等的。从而由古典概型的概率计算公式得：

试验中基本事件的总数。

教师指出“画树状图”和“列纵横表”是列“答对”所包含的基本事件的个数1P（“答对”）＝＝＝0.25

基本事件的总数4例2

同时掷两个骰子，计算：

（1）一共有多少种不同的结果？

（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？

（3）向上的点数之和是5的概率是多少？

解：（1）掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果（如表），其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果。（可由列表法得到）

举法的基本方法。

这节课的难点就是1号骰子2号骰子1（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）古典概型的判断，对例2 的分析是突破难点的契机，引导学生分析例2是否满足古典概型的两个基本特征有限

123456性与等可能性，由此掌

由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种。

（2）在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，分别为：

（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）

（3）由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果（记为事件A）有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得握求此类题目的方法，让学生进一步理解古典概型的概率计算公式，体验概率与实际生活是息息相关的。

A所包含的基本事件的个数41P（A）＝＝＝

基本事件的总数369

（四）小结

1．师生共同总结解题步骤：

① 列举基本事件（验证基本事件是否有限，所有基本事件出现是否等可能）；

② 列举目标事件所包含的基本事件；

③ 利用公式进行计算。

2．我们将具有

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

3．古典概型计算任何事件的概率计算公式

P（A）＝A所包含的基本事件的个数

基本事件的总数使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识。

4．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法.

（五）当堂检测

1．假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2…，9十个数字中的任意一个。假设一个人完全忘记了密码，问他到自动提款机上随机式一次密码就能取到钱的概率是多少？

2．一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率。

为了体现了知识的递近与螺旋式上升。在教材安排练习的基础上，设计了一题多解的解法1：设A表示“出现点数之和为奇数”，用（i,j）记“第一颗骰子出现i点，变式练习，有三种解第二颗骰子出现j点”，i= 1,2,3,4,5,6。显然出现的36个基本事件组成等概样本空间，其中A包含的基本事件个数为18个，故P(A)法，体现了数学的多变性和灵活性。更为重要的是万变不离其中，只有掌握了古典概型的特征，才能体会这道题的意境。

1. 2解法2：若把一次试验的所有可能结果取为：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），则它们也组成等概样本空间。基本事件总数为４，Ａ包含的基本事件个数

为２。

解法３：若把一次试验的所有可能结果取为：{点数和为奇数}，{点数和为偶

数}，也组成等概样本空间，基本事件总数为２，Ａ所含基本事件数为1。