探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期国家优质课一等奖

函数yAsinx与函数yAcosx的周期的教学设计

一、教学目标 知识目标：根据正弦、余弦函数的周期及诱导公式得到yAsinx与函数yAcosx的周期，并灵活应用周期解题。 能力目标：培养分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力；增强自主探究的能力。 情感目标：学生亲身经历数学的研究过程，感受数学的魅力，享受成功的喜悦。 二、教材分析

本节课是《数学必修4》的第一章三角函数的内容，是学习了正弦函数、余弦函数的图像及周期性之后，进一步得到三角函数yAsinx与三角函数三角函数的图像和性质是三角函数的重点内容,也是高yAcosx的周期。考热点考察的内容之一。通过本节课的学习，不仅可以培养学生的观察能力，分析问题、解决问题的能力，而且渗透了数形结合、类比、分类讨论等重要的数学思想方法，为以后、为高考的学习打下基础。 三、教学重难点

教学重点：理解周期函数的定义并会求函数yAsinx与函数yAcosx的周期。 教学难点: 根据正弦、余弦函数的周期定义及诱导公式推出形如函数yAsinx与函数yAcosx的周期。

四、教学过程

（一）知识回顾：

1．什么是周期函数？

对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

2．什么是最小正周期？

1

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期. 特别说明：今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期. 3.正弦函数是周期函数吗？

下面是正弦函数ysinx(xR)图象的一部分：[中国教^育@出~&版网%]

1-6-5-4-3-2--1y023456xfx = sinx从图形上看,正弦曲线每相隔

个单位重复出现.其理论依据是什么？

诱导公式

sinx(k2)

sxink(Z结论：正余弦函数都是周期函数

sin(x2k)sinx(kZ)cos(x2k)cosx(kZ)，2k（kZ;k0)都是它的周期。

正余弦函数的周期为2π，4π，6π……

最小正周期为2π

（二）例题引入，新知自学

问题：三角函数yAsinx的周期是多少？

回答这个问题之前，我们先看几个例子

例1 求下列三角函数的周期：

1①

y3sinx ②ysin2x （3）y2sin(x)，xR．

26解：（1）∵3sin(x2)3sinx，

所以，函数y3sinx，xR的周期是2．

（2）∵sin(2x2)sin2(x)sin2x，

所以，函数ysin2x，xR的周期是．

111（3）∵2sin(x2)2sin[(x4)]2sin(x)，

2626261所以，函数y2sin(x)，xR的周期是4．

26从例子中发现（1）y3sinx，xR

形如y=Asinx的函数周期为2π

（2）ysin2x，xR

2

形如ysinx的函数周期为2

1（3）y2sin(x)，xR

26形如yAsinx，xR的函数周期为即：三角函数yAsinx的周期为T推测：三角函2

2

x前面的系数数yAsinx2及

yAcosx其中A，，为常数，且A0，0的周期为T验证：利用周期函数的定义及诱导公式证明

在函数yAsinx及函数yAcosxA0，0中

Asin(x)Asin(x2)Asin[(x22))

Acos(x)Acos(x2)Acos[(x则最小正周期为T2))

总结：函数yAsin(x)及函数yAcos(x),xR2

的周期T.。

三、习题巩固

1、求下列三角函数的周期：

（1）y3sinx4,xR1x1),xR2(2)ysin(32x),xR

(3)y2cos(2、函数y2sin(3x),xR的最小正周期是4，求的值。

四、课堂小结

1．求函数最小正周期的方法

（1）定义法：先观察周期，再用定义来验证;也可以由函数所具有的某些性质推出f (x+T)=f (x)成立的T。

3

（2）图象法：做出yfx的图象，观察图象可求出T，如y|sinx|。

2.思想方法：数形结合、化归的思想、整体思想。

五、课后作业

课本36页练习1、2

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