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第三节

几何概型

备高考| 2个任务

1．了解几何概型的意义．

2．学会解决与长度、面积、体积等有关的几何概型计算．

理教材| 回扣自测

要点梳理

一、几何概型

1．定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的

成比例，则称这样的概率模型为

几何概率模型，简称几何概型．

2．特点

(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有

个；

(2)等可能性：每个试验结果发生的可能性是

的．

[易错提醒]

古典概型与几何概型的异同点

几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数一个是有限的，一个是无限的，基本事件可以抽象为点．

二、几何概型的概率公式

P(A)＝

. 基础自测

1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)概率为1的事件一定是必然事件．(

) (2)在一个三角形区域内任取一点的概率为零．(

) (3)与体积有关的几何概型的概率与几何体的形状有关．(

) (4)在几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(

)

2．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是(

) 3421A.5

B.5

C.5

D.5

3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，

小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(

)

4．一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体

玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个

位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为(

) 111A.8

B.16

C.27

3D.8

︵5．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的

概率为________．

研考点| 梯度提升

考向1

与长度(角度)有关的几何概型

题型：填空题

基础考点

难度：低

命题指数：★★☆

命题热点：(1)与长度(线段长、时长、弧长)有关的问题．

(2)与角度(弧度)有关的问题. [自主突破] (1)在等腰直角△ABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM小于AC的概率为________．

1(2)(2015·山东高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤logx＋2≤1”发生的概率为(

) 213211A.4

B.3

C.3

D.4

[规律总结] 1．解答本题要准确把握“测度”是角度还是长度，(1)中点M在斜边AB上是等可能出现的，所以“测度”应是长度；(2)中要注意“在∠ACB内部任作一条射线CM，与斜边AB交于点M”这句话，由此确定“测度”是角度．

2．求与长度(角度)有关的几何概型的概率方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，解题的关键是构造区域长度(角度)．

考向2

与面积有关的几何概型

题型：选择、填空题

难度：中

命题指数：★★★

能力考点

命题热点：(1)与平面几何图形面积有关的问题．

(2)与线性规划有关的问题. [师生共研] (1)(2015·广东七校联考)如图10-3-1，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC的内角A，B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为(

) 11(2)(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤2”的概率，p2为事件“xy≤2”的概率，则(

) 1A．p1

1C.2

[规律总结] 解决与面积有关的几何概型问题，关键是要构造出随机事件的几何图形，利用图形的几何特征求出面积．对于涉及两个变量的问题，常把变量看成点的坐标，利用线性规划[(理)或定积分]知识来解决．

[变式训练] 1．在区间[0,1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为(

) 1231A.2

B.3

C.4

D.4

2.(2014·重庆高考)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答) 考向3

与体积有关的几何概型

题型：选择、填空题

命题热点：与体积有关的几何概型问题.

[师生共研] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(

) πππA.12

B．1－12

C.6

[规律总结] 对于基本事件在空间的几何概型，要根据空间几何体的体积的计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算．但是有些问题貌似与体积有关，实际应当转化为长度、面积问题解决，解题时一定要认真分析．

[变式训练] (2015·开封模拟)已知线段AC＝16 cm，先截取AB＝4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方πD．1－6

难度：中

命题指数：★☆☆

能力考点

1B．p2<2

1D．p1<2

体的体积超过128 cm3的概率为________．