探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质PPT专用课堂实录内容

1.4.2 正弦函数、余弦函数的单调性

教学设计

汪清县第六中学

姜之宇

一、教材分析

1．教材的内容和地位

《正弦函数、余弦函数的单调性》是人教A版数学必修4的第一章三角函数的内容，是在学习了正弦函数、余弦函数的定义和图像之后，进一步学习正弦函数、余弦函数的性质，本节课涉及的是第二课时。前面已经学习了正弦函数、余弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，本节课是在其基础上进行学习探究的。在本节课的学习过程中，数形结合的思想方法贯穿了本节内容的始终，利用图象研究性质，反过来再根据性质进一步地认识函数的图像，充分体现了数形结合的数学思想。通过本节课的学习，不仅可以培养学生的观察能力，分析问题、解决问题的能力，而且渗透了数形结合、类比、化归等重要的数学思想方法，为以后、为高考的学习打下基础。

2.教学目标

根据《新课标》的具体内容，结合学生现有的认知水平，确定教学目标如下： （1）知识与技能：初步理解正、余弦函数的单调性的性质，并能用性质解决一些简单问题。

（2）过程与方法：以正、余弦曲线为研究工具，周期性为桥梁，得出正、余弦函数的单调性，体会数形结合的思想。

（3）情感、态度、价值观：通过对正、余弦函数性质的研究过程，让学生体验感悟数学的美。培养学生学习数学的兴趣与积极性。 3．教学重点与难点

教学重点：正、余弦函数的单调性 教学难点: 正、余弦函数单调性的理解与应用

二、学情分析

本课之前，学生已经学习了《必修一》函数的性质和研究函数的一般方法，学习了正弦函数、余弦函数的概念、图像以及诱导公式，这些都为本节课的学习打好了基础。通过前几节课研究了正弦函数、余弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性等性质，学生已经对通过研究图象得出函数性质这种方法掌握得比较熟练了，学生应该能够通过正弦函数、余弦函数

具有的特殊性质——周期性，进一步探究其单调性的性质。

三、教法学法分析

1．教法分析

本节课以学生为主体，教师引导学生通过观察正弦函数图像，自主探究，总结规律，再类比正弦函数，得到余弦函数的相应结论，并能应用规律，分析问题，解决问题，在教学中，以引导启发为主，在学生观察比较基础上，师生以问答形式，共同研究探讨，让学生经历知识再发现，再创造的过程。

2．学法分析

教师的“教”不仅要让学生“学会知识”，更重要的是要让学生学会方法，而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键。本节课通过观察函数图像，充分调动学生已有的学习经验，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识。

四、教学过程分析

这节课的流程主要分为四个阶段：课前自主预习、课堂合作交流、典例分析与应用、巩固训练。

（一）课前自主预习

师：观察下列图像，哪一个是增函数图像？哪一个是减函数图像？判断的依据是什么？（学法指导：可以通过复习回顾必修一函数单调性的定义及图像特征回答问题）

生：（预计）第一个图像是增函数图像，第二个图像是减函数图像。因为在定义域的某一个区间上，若x1

师：通过课前预习，你能解决预习小测的题目吗？

生：可以通过正余弦函数图像判断函数值的大小关系

师：事实上对于第一题，我们也可以直接计算出具体函数值比较大小关系，而对于在同一区间上的函数值比较大小问题我们可以通过单调性直接进行比较

【设计意图】：培养学生自主学习的意识和能力，为本节课的学习作铺垫

（二）课堂合作交流（学习目标1）

探究1：正弦函数的单调性

师：我们研究函数的单调性是在定义域范围内研究的，观察正弦函数的图象，它在整个定义域上具有严格的单调性吗？在区间上具有单调性吗？

生：在整个定义域上不具有严格单调性，在区间上具有单调性

师：我们前面研究了正余弦函数的一个重要性质——周期性，而对于周期函数，如果我们把握了它的一个周期内的单调性，那么整个函数的情况也就清楚了。因此该选择哪一个周期进行研究就比较重要，同学们可以根据导学案上的学法指导与小组成员共同交流一下问题2、3，尝试解决问题4.（学法指导：可以通过比较周期进行研究会更好？）

【设计意图】：培养小组合作能力及探究学习的精神

生：选择,223和0,2这两个周期，选择哪个33进行研究会比较好，因为函数在,上单调递增，在,上单,222222调递减，相对比较完整。

师：你能具体描述一下函数在这个区间上函数值的变化情况以及函数图像的变化趋势吗？

生：函数在3上单调递增，函数值由-1增大到1，在,上单调递减，函数值,2222由1减小到-1. 师：在定义域范围内还有没有与其性质相同的区间呢？你能在列举几个正弦函数的单调递增、递减区间吗？

5335,,,,,222222

生：单调递增区间：753357,,,,,,,22222222

单调递减区间：师：整个定义域范围内的所有的单调增、减区间该怎么统一表示呢？

请同学们观察在区间内函数值的变化范围？在整个定义域范围内的函数值变化情况呢？

正弦函数的单调性：正弦函数在每一个闭区间2k,2k,kZ

22上都是增函数，其值从-1 增大到

1 ；在每一个闭区间是减函数，其值从

1 减小到

-1 。

32k,2k,kZ上都22探究2：余弦函数的单调性（学生自主探究）

师：类比正弦函数的单调区间的研究过程，你能得出余弦函数的单调区间吗？（请提出你关心的问题）

生：余弦函数的单调性：余弦函数在每一个闭区间2k,22k,kZ上都是增函数，其值从

-1 增大到

1 ；在每一个闭区间2k,2k,kZ上都是减函数，其值从

1 减小到

-1 。

（三）典例分析与应用（学习目标2、3）

师：

我们来看一下单调性的第一个应用（学生会答，互相补充，师生一问一答间，得出结论。）

例1：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：

23（1）sin与sin；（2）cos1810517与cos4

【设计意图】：承接预习小测的训练，在此基础上如果遇到比较复杂的问题，让学生体会需要用诱导公式进行化简到同一单调区间上再比较大小并让学生学会总结规律和方法。

师：正余弦函数的单调性还有哪些应用呢？我们一起来看一下例2，（师生共同分析例2，师进行板书，并共同归纳总结正弦型函数单调区间的求解方法。）

例2：求函数ysin(

师：请同学们观察变式训练，思考变式训练与例题之间的区别与联系（学生先独立思考，然后小组交流各自的想法，分析得出变式训练与例题的区别与联系，并进行总结归纳）

1x),x2,2的单调递增区间。

231x),xR的单调递增区间。

231 （2）求函数ysin(x),xR的单调递增区间。

23变式训练：（1）求函数ysin(【设计意图】：通过例题及变式训练，让学生由一题而掌握一类题型，培养学生思维的灵活

性和完整性

（学生独立完成巩固训练，并进行展示）

巩固训练：求函数ycos(2x6),x0,的单调递减区间。

【设计意图】：检查学生知识的掌握情况，并为学生提供展示的舞台

（四）课堂小结

以问题的形式：本节课你有学习到了哪些知识？由学生进行总结

【设计意图】：通过小结，深化学生知识理解、完善学生认知结构。

（五）课后巩固训练

1、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：

（1）sin250与sin260；

（2）cosoo1514与cos；

89oo（3）cos515与cos530；

（4）sin(5463)与sin(). 782、求函数y3sin(2x

4),x0,的单调递减区间。