信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象第二课时教学设计

§2.3 幂函数

南涧一中

董利源

一、教学目标设计：

教学目的：

（1）理解幂函数的概念；

（2）通过五个具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.

二、教学重点与难点设计：

重点：从五个具体的幂函数中认识一般幂函数的概念和性质

难点：从具体幂函数的图象中概括其性质

三、教学特点设计：

以问题为载体；以学生为主体；以多媒体为辅助手段；以能力提高为主要目标.重视情感的体验过程；概念的提取过程；知识的形成过程；解题的探索过程.

四、教学过程设计：

教学过程是课堂的主体，我们应该对每堂课都做好充分的准备.我为这堂课设计了如下的六个教学环节：

1、创设情境，

提出问题：

在这堂课

，提出如下5个问题：

(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=_____元，

这里__是__的函数；

(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=______，这里__是1

__的函数；

(3) 如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V=______，这里__是__的函数；

(4) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长

a=______，这里__是__的函数；

(5) 如果某人t秒内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=_______km/s，这里__是__的函数. 设计意图：从身边发现数学问题，通过学生对现实生活中问题的关注，提高学生提出问题的能力，激发学生的学习兴趣，引发学生对实际问题的思考. 2、分析问题，形成概念

我先请同学回答上述问题，再给出下列问题.

1o

它们的对应法则分别是什么？

2o

以上问题中的函数有什么共同特征？

然后让学生先自主探究，再分组讨论交流，抽取一组代表发言，引导学生概括出结论. 【答案】1o乘以1 ；求平方；求立方

；求算术平方根；求－1次方. 2o上述的问题涉及到的函数，都是形如：yx，其中x是自变量，是常数.

设计意图：首先考察学生分析问题、解决问题的能力.再让学生自主探究，通过恰当的引导，从而使学生能更好地形成数学概念（由对实际问题的解决自然地过渡到对新概念的形成，使得知识的衔接较2

为顺畅，概念的形成水到渠成）. 3、提炼概念，探究新知

有了前面的探索，我可以提炼幂函数的定义. 一般地，形如yx（xR）的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数. 如yx,yx,yx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一21314样，都是基本初等函数.

在通过例子，巩固幂函数的概念. 例1. 判断下列函数是否为幂函数：

（1）y=3x

；

(2) y= xπ；

(3) y=【答案】(2) (3) 设计意图：培养学生对概念的把握，通过例题熟悉概念，从而可以做到举一反三，避免题海战术，避免解题的盲目性. 4、结合图像，深入探究

学习函数一般先研究函数的图象，再通过图像研究图象的性质，然后能应用性质.学习幂函数也一样，先研究幂函数的图象. 提问：如何画出以下五个函数图象？

（1）yx

；（2）yx

；（3）yx2

；（4）yx1

；（5）yx3.

引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图象，最后，画出以上五个数数的图象.

12132x；

(4) y=；

(5) y=x+1 x23

让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.

通过观察图象，填探究中的表格

图象

定义域

值域

奇偶性

R R 奇

yx

yx2

yx3

yx

12yx1

R R R 奇

x|x0

x|x0

{y|y0} 奇

0,

奇

0,

非奇非偶

在第Ⅰ象在第Ⅰ在第Ⅰ在第Ⅰ象在第Ⅰ象在第Ⅰ限单调性

象限单象限单限单调递限单调递象限单调递增

定点

调递增

增

增

调递减

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

再通过例子熟悉这种方法. 4

例2.画出y=x的图象，并指出它的定义域，值域，奇偶性，单调性. 【解析】用描点法画出函数的图象，然后由图象说性质. 解：定义域为R，值域为0,，偶函数，在,0单调递减，在0,单调递增. 再让学生分组讨论：幂函数具有哪些性质？

糅合学生的问题，总结出幂函数的几个基本性质：

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：1x1）；

（2）a>0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当a＞1时，图象形状向下凹；当0∠α＜1时，图象形状向上凸，. （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴. (4) 当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数．

设计意图：这是这节课的重点与难点.首先通过五个基本幂函数的图像，得出它们的性质，再在此基础上总结出幂函数的几个基本性质.培养学生的类比能力、探索能力、思维能力、归纳总结能力. 5、运用新知，解决问题

例3.幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图所示，5

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则a，b，c，d的大小关系是(

)

A．a>b>c>d

B．d>b>c>a

C．d>c>b>a

D．b>c>d>a

【解析】方法一：类比

方法二：取x=2来解【答案】D. 例4.证明幂函数f(x)x在[0,]上是增函数

【解析】回顾函数单调性的证明的一般步骤，并注意出现根式相减的一般处理方法. 证明：任取x1,x2[0,),且x1＜x2则

f(x1)f(x2)x1x2

==(x1x2)(x1x2)x1x2

x1x2

x1x2因x1x2＜0，x1x2＞0 所以f(x1)f(x2)，即f(x)x在[0,]上是增函数.

例5.判断下列两个值的大小

（1）

3

和3.1

；

（2）85252781

和（）8

；

（3）31.4和3.11.5.

97【解析】比较幂的大小，一般有几类：（1）底同指数不同；（2）指数6

相同底不同；（3）指数与底都不同，这是要找中介量. 【答案】(1) > ；

(2) >

；

(3) <. 设计意图：及时检验学生掌握所学新知识的情况，发现学生在解题过程中是否存在问题. 争取做到及时发现，及时纠正. 6、归纳总结，巩固提高

为了能使学生对这堂课所学的知识有一个清晰而完整的印象，我准备从以下两方面做个小结.

（1）掌握幂函数的定义；

（2）熟练掌握五种幂函数yx、yx、yx、yx、yx1的图2312象与性质；

（3）学会从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性多方面了解密函数的特征，并能进行简单的应用. 然后布置作业：

课后作业：习题2.3第1、2题. 设计意图：通过对所学知识进行归纳总结，可以使学生能从总体上把握这堂课的内容，并将所学知识纳入已有的认知结构.通过布置作业，可以使学生巩固课堂内容，并为下一课教学埋下伏笔. 五、教学反思设计

（1）与学生交流，反思自己的讲解有没有从根本上解决学生存在的问题，有没有提高学生的思维能力，教学是否达到了预期目标；

（2）与同事交流，反思设计的依据、出发点，反思教学重心、基本7

教学过程，反思富有创意的素材或问题等. （3）通过批改作业，反思知识的渗透是否到位，学生是否理解了问题的本质性的东西等.

（4）从参考资料、教学信息等方面反思.学习相关的数学教育理论，参考多方面的教学信息，可以丰富我的知识水平，开阔我的教学思路，使我理智的看待自己教学活动中“熟悉的”、“习惯性”的行为，能使我更大限度的做出有效的教学决策.

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